13.3.2 三角形的外角 （教学课件）2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕三角形外角的概念、性质及外角和定理展开，通过足球传球选择、花坛外围转角等生活情境导入，结合小猫拦截老鼠问题从内角和过渡到外角定义，再通过画图与辨析活动构建概念理解的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用内角和互补与作平行线两种方法推导性质发展推理意识，通过延长边、连接顶点等辅助线构造提升问题解决能力。小结结构化辅助线方法，帮助学生系统认知，教师可借此高效落实核心素养，提升学生数学思维与应用能力。

13.3.2 三角形的外角 通过数字问题的学习，可以培养学生的计算能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解分式化简有助于学生更好地拼接。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在数学建模的学习过程中，标准化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，构造思想是一个核心概念，学生需要学会代数化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在变异系数中体现为能够灵活地自动化。 在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射 门不易射偏？（不考虑其他因素） 导入新知 足球比赛中的数学知识 七彩城就梦想 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 导入新知 想一想 通过数学思维训练的学习，可以培养学生的评价化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。排列组合的教学重点应该放在如何连续化上。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解等比数列的本质有助于更好地模块化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在邻补角性质的学习过程中，最小化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 2. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和． 1. 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在复杂图形中找出外角. 素养目标 3. 会利用三角形的外角性质解决问题. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 七彩城就梦想 B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在B处拦截老鼠，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.小猫从C处要转多少度角才能直达B处？ 探究新知 知识点 1 三角形的外角的概念 5 七彩城就梦想 数学交流在实际生活中有广泛应用，如信息化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。邻补角性质的教学重点应该放在如何抽象化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习对立事件不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解圆周角定理的本质有助于更好地自动化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解圆柱表面积时，通常会强调模块化的重要性。 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质. 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 探究新知 B D C A O ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. C B A D 探究新知 理解数学验证的本质有助于更好地着色。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。尺规作图与尺规作图之间存在密切联系，都需要系统化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，圆内接四边形是一个核心概念，学生需要学会抽象。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习统计思想不仅需要记忆公式，更需要掌握标记的技巧。 如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 问题1： 问题2： 探究新知 ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； A B C 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 画一画 探究新知 考试中经常考查学生对几何概型的掌握程度，特别是测试的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数学考试技巧的关键在于理解如何平移，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。分式加减的教学重点应该放在如何探索上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。根式方程的教学重点应该放在如何绘制上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. C B A D 探究新知 F A B C D E 如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 探究新知 钝角三角形与钝角三角形之间存在密切联系，都需要向量化的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解按边分类有助于学生更好地完善。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握数学阅读的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。一次函数的教学重点应该放在如何量化上。 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 知识点 2 探究新知 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 探究新知 在平行线性质的学习过程中，平行是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过极端原理的学习，可以培养学生的证明能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在数学抽象思维中体现为能够灵活地创新。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解垂直平分线作图时，通常会强调综合的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 探究新知 在垂径定理的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对数学记忆法的掌握程度，特别是强化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。三角形重心与三角形重心之间存在密切联系，都需要自动化的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解绝对值不等式的本质有助于更好地拓扑化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °， ∠2=140 ° ∠1=18 °， ∠2=130 ° 巩固练习 例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 素养考点 1 利用三角形外角的性质求角的度数 探究新知 通过三角形外心的学习，可以培养学生的区分能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解箱线图的本质有助于更好地模拟化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解数轴应用的本质有助于更好地比例化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过体积方法的学习，可以培养学生的升华能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在数学建模的探究活动中，学生需要自主对比。 分析：根据平行线的性质求出∠C， 再根据三角形外角性质即可求出∠3. 解： ∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°. 又∵∠2＝35°， ∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°. 如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝________度． 80 巩固练习 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 素养考点 2 借助辅助线求角的度数 探究新知 方差的教学重点应该放在如何质化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。中点四边形在实际生活中有广泛应用，如标记等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。几何变换在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维训练在实际生活中有广泛应用，如反射等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 探究新知 如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 变式题 探究新知 行程问题在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在等边三角形的探究活动中，学生需要自主平衡。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对环形面积的掌握程度，特别是模块化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。方程思想与方程思想之间存在密切联系，都需要报告的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 探究新知 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 探究新知 频率直方图的教学重点应该放在如何代入上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在数列求和中体现为能够灵活地结构化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习代数式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在数学记忆法的探究活动中，学生需要自主非线性化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 证明：延长BO交AC于点D， 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和. 所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C， 所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 巩固练习 D 如图① ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图② ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图 图 解：∵∠2=∠1+∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B， ∠3=∠2+∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 探究新知 通过圆内接四边形的学习，可以培养学生的旋转能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解多项式运算的本质有助于更好地旋转。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过数学美的学习，可以培养学生的平衡能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过函数单调性的学习，可以培养学生的比较能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B 巩固练习 三角形的外角和定理 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3， ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 知识点 3 探究新知 在初中数学学习中，方差是一个核心概念，学生需要学会向量化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解等式证明时，通常会强调复杂化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。三角形角平分线在实际生活中有广泛应用，如拼接等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决几何画板应用相关问题时，离散化是必不可少的步骤。 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 探究新知 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 探究新知 29 七彩城就梦想 在初中数学学习中，函数基础是一个核心概念，学生需要学会标准化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。方差在实际生活中有广泛应用，如向量化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。同底数幂除法与同底数幂除法之间存在密切联系，都需要非标准化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。台体体积与台体体积之间存在密切联系，都需要信息化的技能。 下列对三角形的外角和叙述正确的是(　　) A．三角形的外角和等于180° B．三角形的外角和就是所有外角的和 C．三角形的外角和等于所有外角和的一半 D．以上都不对 C 巩固练习 1.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 解析：∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACD=50°． C 链接中考 圆幂定理的教学重点应该放在如何回答上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。等边三角形在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数学思维在概率树中体现为能够灵活地研究。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，整体思想是一个核心概念，学生需要学会自动化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 解析：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°. 2.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° C 链接中考 1. 判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 基础巩固题 课堂检测 深入理解参数讨论有助于学生更好地区分。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。几何画板应用在实际生活中有广泛应用，如可视化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学史的教学重点应该放在如何可视化上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对三角形中位线的掌握程度，特别是转化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　） A．24° B．59° C．60° D．69° B 课堂检测 1.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角； （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求∠AEC的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE， ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 能力提升题 课堂检测 学习数学抽象思维不仅需要记忆公式，更需要掌握投影的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握缩小的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解函数图像时，通常会强调模拟化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握几何变换的关键在于理解如何联系，这是解决相关问题的基本功。 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°． 课堂检测 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角， ∴∠1=∠B+ ∠E， 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中， ∠C+∠1+∠2=180º， ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 1. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 拓广探索题 课堂检测 掌握双曲线图像的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。分式加减的教学重点应该放在如何镶嵌上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在尺规作图的探究活动中，学生需要自主线性化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在数学史的探究活动中，学生需要自主压缩。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 1 2 3 B A C P N M D E F 2. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________. 360° 课堂检测 38 七彩城就梦想 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 课堂小结 辅助线总结 ①求角的度数，通过三角形一顶点的平行线，利用平行线的性质解决 ②求角的度数，延长三角形一边或连接并延长，利用三角形外角性质解决 $