辽宁抚顺市七校协作体2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷

**基本信息** 高中数学期末试卷知识覆盖全面，能力梯度清晰，通过现实情境与数学问题的融合，考查抽象能力、运算能力及模型意识，体现数学核心素养的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约40分|函数与导数、立体几何|结合科技前沿情境，设置多问梯度，考查逻辑推理与空间观念，体现数学思维的严谨性|

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册第四章占25%，选择性必修第三册第五章占25%，第六章占25%，必修第一册第一、二章占25%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．命题：，，则为 A．， B．， C．， D．， 3．在数列中，若（为常数），且，则 A． B． C． D． 4．某物体做直线运动，其位移（单位：米）随时间（单位：秒）变化的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为 A．4米/秒 B．12米/秒 C．16米/秒 D．20米/秒 5．在等差数列中，若，则的前7项和 A．21 B．25 C．28 D．35 6．已知函数，则 A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知某电影院第一排有10个座位，从第二排开始的每一排比它前一排多2个座位，若该电影院共有190个座位，则一共有 A．8排座位 B．9排座位 C．10排座位 D．11排座位 8．函数图象上的点到直线的距离的最小值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．“”的一个充分不必要条件可以是 A． B． C． D． 10．甲、乙两名同学参加某答题活动，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为．假设甲、乙两人答题相互独立．现随机抽取一道题由两人共同作答（只要有一人答对即视为该题被攻克）．记事件为“甲答对该题”，事件为“乙答对该题”，事件为“该题被攻克”，则 A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是 A．当时，在上单调递减 B．存在，使得有唯一极值点 C．若，则当时，恒成立 D．若有两个极值点，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若方程的解集为，则 ▲ ． 13．已知，则的最小值为 ▲ ． 14．已知正项数列满足，，则 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16．（15分）某餐饮公司准备在某城市开分店，为合理安排分店数量，先决定开1家分店进行试点，该分店1月至5月的营业额（单位：万元）的数据如下： 月份 1 2 3 4 5 万元 15 12 11 10 9 （1）根据1月至5月的数据，求与之间的样本相关系数（精确到0.01）； （2）求关于的经验回归方程，并预测6月份的营业额能否突破7万元，说明理由．参考公式及数据：线性相关系数 ，． 关于的回归直线方程的斜率与截距的最小二乘估计分别为 ，． 17．（15分）已知数列满足，且． （1）证明：是等比数列． （2）求的通项公式． （3）设，数列的前项和为，证明：． 18．（17分）某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量． （1）求射中次数不少于3次的概率； （2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望． 19．（17分）定义：若两个函数与在公共的定义域内恰好具有相同的极值点且在相同的极值点处也具有相等的极值，则称它们为“友好联盟函数”．已知函数，，且． （1）若与是“友好联盟函数”，求的值． （2）当时，证明：，． （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 1.B因为A={x10<r<3},B=(-1.0.1,2,3,所以A∩B=1,2. 2.C一p就是对命题p改量词并否结论.所以一p:3x∈R,x2-x+2≤0. 8A因为0，--号所以p=2.则a,=品-号 4.D因为s'(t)-81一4，所以所求瞬时速度为s'(3)一24一1=20米/秒. 5.A由a+a:十a6=3a=9,得a1=3,则S,-7a1-21. A因为fx)-3xf+号所以了D=3+f+1.解得f0= 5 5 7.C设第n排的座位数为a。,则{u为等差数列，由题意知a1=10,公差d=2, 设数列{a,的前n项和为S则10十”，X2=190.解得n=10或n=-19(舍去. 2 8.C设直线十y十m=0与f)的图象相切于点（了，》，因为∫广(）=-子所以 1=一1，解得x,=1,所以切点坐标为1,0)，则所求的技小值d=后-2。 2 8AD由时号得言a即2子所以号的解案为M=0安>2 要找号的充分不必要条件对应的集合N.则N必须满是NCM,且N≠M,所以A.C.D 均正确，B错误 10,ABD由题意知P(A)=.P(B)=号，且A与B相互独立. 对于A.事件C表示“该题被攻克”，即甲，乙至少有一人答对，则P(C)=1一P(AB)=1 P④PB=1一×分所以A正充 对于B.由条件概率公式知PAO-智注意到ACC(若甲答对，则目一定被或攻 克放AC=A,即PAC)=PA)-是因此PAC)-子×吕-品所以B正路 对于C同理可得PABC)=PA,由于A三C.BEC所以AC-AB.每PAC) -PAB)=PAP(B)-×号-号周此PBC)专×号-品所以C错误 对于D因为PBC号×普景所以PAC)-PBC)品所以D正晚 1.AC对于A,当a2时)=21nx十/=2 -1 1=-(x-1) xr2 【高二数学·参考答索第1页（共5页】 因为x>0,所以f'(x)≤0恒成立.且f(x)不恒为0，则f(x)在(0，+oo)上单调递减，故 A正确. 对于fc)-g-1,今g=-a1当0g在0， x +∞)上单调递减.因为g(0)=一1<0，所以g(x)<0在(0，十©©)上恒成立，即f(x)在(0， +)上单调递减，不存在极值点，所以B错误 对打C.当a=1时，/)=h-+fc)=已. 分子对应的4=1一4<0，则f'(x)<0恒成立，f(x)单调递减，因为x≥1，所以f(x)≤ f(1)=0.所以C正确. 对于D,若f(.x)有两个极值点，则g(x)=一x十ax一1=0有两个正根x1·x,(x<x). 由韦达定理得x1十x,=a,x=1.要使一x2十a.x-1=0有两个正根，则需满足△=a” >0且e>0,即u>2.因为c片，)=aah)-(任+)(+） aln(x1,)一-a+十=0，所以D错误 12.-62x3-x2十mr=0可化为x(2x-x十m)=0,因为方程2x-x2+ma=0的解集为 一受0,2，所以方程2x-了中m=0的两根为-号，2由一号×2-受解得m=-6 1a9因为0<3所以8->0，所以”专+(G-0(十是)-10叶 3子兴)号当组仅当=时等号成立 14.3”-1由a.=3a-得1oga.=1+21og,a-,所以1+loga.=2(1+logu,, 所以1十1og4n=2×2一1=2，即a,=3” 15.解：(1)因为x一4r-5<0的解集为x一1<x<5,所以A={x一1<x<5,…2分 则儿A=xx≤一」或T≥5，…4分 当a=1时，B={x一2≤x≤4}。…5分 所以(GA)门B={x|-2x≤-1.……6分 (2)若AUB=B,则A二B.…8分 -2u≤u+3. 因为AB,B≠必，所以一2≤-1，…11分 a+3≥5. 解得a≥2，即a的取值范围为[2，一®).…13分 16.解：z-+2士34+5=3.y=15+12士+10-9=1.4.…1分 5 2y.=1X15+2×12+3X1+4X10+5×9=157,3分 【高二数学·参考答专第2页（共5页）】 (x,-x)=4+1十0+1+4=10…4分 2(y-)=3.6+0.+0.+1.f+2=21.2.…6分 xy,-i四 157-5×3×11.4--7 7 √红-)V,- 10×√21.2 3 ≈一7.28≈-0.96。…8分 (2)=1+22+3十4+52=55…10分 方之r-5y157-5×3×11.4-1, -3 55-5×32 a=y-江=11.-(-1.4)X3=15.6,…13分 所以y关于x的经验回归方程是少=一1.4x十15.6。…14分 当x=6时，y=-1.4×6+15.6=7.2>7. 所以预测6月份的营业额能突破7万元.… ……15分 1.（)证明：由2a=4,十4，得a=“. …1分 2 2,即241 所以a1-4=+手=“4 2 a.-4=2 ……3分 又a-4=-2,…4分 所以{a。一4是首项为一2，公比为的等比数列。…5分 (2)解：由(1)知a.一4=一2× 21 2，…7分 1 所以a.=2.8分 (3)证明：由(2)知b,=n一2， …9分 2 2…10分 设.十号++… 1,2,3 1111 1 n 上面两个等式相减得吃工.=2十十2十叶实一2”、…12分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 1”= -”=2-+ …13分 1一2 12 所以8a安2-2 …14分 2 因为”2>0，所以5，>n0-2=+-4 …15分 2 18.解：1)射中次数不少于3次的概率为P(X=3)+P(X=)=C(号)广×号+C(号)' …6分 (2)令Y=X2,由题意知Y的所有可能取值为0,1,4,9,16。…8分 Py-0)=P0X=0)=cx(g)- …9分 pY=D=pX-D-cx号x()广-品 ……10分 P-=PX=2=GX()x》- ……11分 pY-9y=PX=3)=Cx(号)×号器 …12分 Pr-6=px=4)=C×()'- ……13分 所以E0=0X+1×+4×+9X号+16 8 32 8-8.…16分 16 放该球员获得奖金的数学期望为8000元。…17分 181据：f)=a-anx的定义城为0，+o,fx=a-兰-(-》.1分 1 由fx)>0,得x>。:由f(x)<0,得0<x<a 所以了)在(。十)上单调递增，在0，白)上单调适政。 则当1=时，)取得极小值f(）=a十ana.u)无极大值.。…2分 又ge)=e-所以gx)=ae-=a(e》 由gu>0,得>电u0,得< a 所以g在(-，口)上单调递减在(-，十)上单调递增 【高二数学·参考答奏第4页（共5页）】 则当x=-血“时，gr)取得极小值g(一血4）=中ng)无极大值。…3分 a a 因为f与g)是友好联里函数，所以。-.解得。=昌 这时f()=a+alna=0,g(-n)=+n4=0.所以a= ………5分 e (2)证明：当a=1时，fx)十g(x)=c-lnx(x>0), 要证f(x)十g(x)>x十1，即要证e2一lnx-x一1>0。…6分 令k(x)=e-nx-t-1(x>0,则k'(x)=e-1-1(x>0. 易知'x)在(0，十0)上单调递增，且k'(号)=e-3<0,k'1)=e一2>0， 所以存在唯-一的∈(，1)，使得发(x)=。--1=0.…8分 当x∈(0，x)时k'(x)<0,k(x)单调递减，当x∈(x,十∞)时，k'(x)>0.k(x)单调递 增，…9分 所以kx>k(x)=e-n。-x。-1=+1-n,--1= -lnw一xo,… …10分 易知m)-hX一在(1)上单调递减，所以m>1)=0. 故k(x)>0,即x>0,f(x)十g(x)>x十1.…11分 (3)解：不等式f(x)+g(.x)≥0恒成立，即ax一unx十e-x≥0恒成立， 不等式可化为a2x十e>alnx十x,即a(a.r)十er≥alnx+x,亦即alne“+e≥alnx 十江，…12分 令g(x)=anx十x,则不等式aln e十c≥≥anx+x可化为g(er)≥g(x).…14分 又g'(x)=“+1>0,所以g(x)在(0，十e)上单调递增，所以e“≥r,即ar≥nr,所以a ≥ …15分 x 令h)血a>0.则')=1-n.当0<e时，h'x)>0:当x>e时，h'(x)< 2 0.所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十co)上单调递减，…16分 所以hz)的最大值为h(e)=。故a>。即a的取值范围为[是.中co.……17分