精品解析：辽宁沈阳市联合体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册，必修第二册第四章，选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数是减函数，是增函数，在上为减函数， 则，，， 所以. 2. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系逐项求解即可. 【详解】∵， ，， ，. 故选:B. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数在上单调递减，再结合零点存在定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， ，， 根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为. 故选：C 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 5. 已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性及函数图象，分析选项即可. 【详解】由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数. 对于，，，故错误； 对于,，当时，，与图象不符，故错误； 对于，，当，与图象不符，故错误； 故选： 6. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】可举例说明“”推不出“”，利用基本不等式可说明“”成立时，“”成立，由此可得答案. 【详解】取 ，满足，但 ，故“”不是“”的充分条件， 因为，， ，故时，，因此“”是“”的必要条件， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 40 B. -30 C. 30 D. -30或40 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取反例可判断AD；利用二次函数单调性可判断B；利用不等式的性质可证明C. 【详解】对于A，取 ，， 此时 （因为 ）， 但 ，，有 ，因此 A 错误； 对于B，由于 ，而在  上单调递增，  所以，即 ，因此 B 正确； 对于C，因为 ，有 。 将不等式  两边同时乘以正数 ， 得即 ，因此 C 正确； 对于D，取 ，， 此时 （因为 ）， 但即 ， 因此 D 错误. 故选：BC 10. 已知随机变量，且，则（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 从该正态总体中随机抽取3个独立样本，取值均大于3的概率大于0.01 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知正态曲线关于对称且，由期望的性质判断A，由正态曲线的性质求概率、列不等关系判断B、C，应用独立乘法公式求概率判断D. 【详解】已知，则正态曲线关于对称， 由，得， A：由期望性质，正确， B：由和关于对称，故， 因此，正确， C：正态分布对称轴右侧的概率随分界点增大而减小， 由，则，得，错误， D：单个样本取值大于3的概率为，三个独立样本都大于3的概率为，正确. 11. 已知函数，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则的导函数的最小值为0 B. 若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 C. “在上单调递增”的充要条件是“”. D. 若方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数导数与单调性求最值判断选项A，利用导数的几何意义求切线方程分析得出选项B，根据函数在给定区间上的单调性得出恒成立，结合函数导数与单调性求最值即可得出选项C，由方程的根的个数等价出函数图象交点个数，构造新函数利用函数导数与单调性、极值结合函数大致图象分析即可得出选项D. 【详解】选项A，由，则， 令，则， 因为且，所以， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故A错误； 选项B，由，则曲线在处的切点为：， 又，则此时切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为即， 令，令， 所以切线与轴的交点坐标分别为：， 所以曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为： ，故B正确； 选项C，若在上单调递增，则等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，即，当时，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 即“在上单调递增”的充要条件是“”，故C选项正确； 选项D，由方程，即， 由，所以， 令，方程恰有两个不相等的实数根， 等价于与有两个不同的交点， 由， 当， 当，解得：或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 此时， 且当时，，当时，， 所以的大致图象为： 由图可知与有两个不同的交点，则，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题设， 则. 13. 已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 【答案】 3 【解析】 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 14. 已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等量关系及偶函数的性质得到是周期为的周期函数，再应用周期性求函数值. 【详解】对任意，， 令，得，化简得， 因为是偶函数，所以， 令，得，即， 综上，， 所以，即是周期为的周期函数， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着中国风文化兴起，非遗文创产品深受年轻人喜爱.某非遗文化体验馆为了研究每月举办的非遗体验活动场次（单位：场）与当月非遗文创产品销售收入（单位：万元）之间的关系，随机抽取了5个月的数据如下. 活动场次 1 2 3 4 5 销售收入 10 15 20 26 32 （1）根据上表数据，求关于的线性回归方程； （2）若该体验馆下个月计划举办6场非遗体验活动，试预测当月的非遗文创产品销售收入. 附：，，. 【答案】（1） （2）37.1万元 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，应用最小二乘法求回归直线方程； （2）将代入回归方程预测销售收入即可. 【小问1详解】 由题意，，，， 所以， 由，则， 所以， 因此，关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 将代入回归方程，即预测当月非遗文创产品销售收入为万元. 16. 已知数列满足，且对任意，有. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案； （2）裂项相消法求和即可 【小问1详解】 由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得. 所以. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在单调递增； 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，求解函数的单调区间； （2）首先根据极值点求，再利用导数分析函数在区间上的单调性，再转化为与的交点个数，求的取值范围. 【小问1详解】 ， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. 【小问2详解】 由条件可知，得， 当时，，得或 当或时，，当时，， 当的单调性如下表: 3 单调递减 单调递增 若方程在区间上有两个不同的实数根， 则与在区间有2个交点，所以. 18. 已知函数． （1）求的值域； （2）求不等式的解集； （3）若的解集为R，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，利用推导分式范围，得值域 （2）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，化简求解再还原 （3）换元法将指数、函数不等式转化为代数不等式，分类讨论保证区间恒成立求参数范围. 【小问1详解】 已知函数 ，即， 因为，所以，则, 因此，即的值域为 . 【小问2详解】 ，设 ()，不等式变为： ，化简得；， 展开右边并移项； 解得： 结合，得，即，因此. 【小问3详解】 令 ，，不等式变为，因式分解得， 所以，当时，不等式恒成立， 若，不等式解为，需， 若，不等式解为，需，即 ， 若，不等式为，不成立. 综上， a的取值范围为. 19. 对于有限数列，定义它的一次合成为一个项数为的数列：.记.若经过次合成后得到只含一个元素的数列，则称该元素为数列的合成核，记作.特别地，单元素数列的合成核即为该元素本身. （1）已知数列，写出，并求出； （2）已知数列的合成核，且各项均为正整数. （i）若，求的值； （ii）若是公差大于的等差数列，求； （3）若数列的各项均为正整数，记.已知，求的最小值，并给出一组符合条件的数列 【答案】（1）；. （2）（i）；（ii） （3）的最小值为，一组符合条件的数列为：. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件根据定义求解即可； （2）（i）结合已知条件根据定义建立方程求解即可；（ii）根据等差数列的通项公式以及新定义分类讨论即可； （3）根据所给条件结合新定义分类讨论分析即可. 【小问1详解】 由数列，根据定义：由可得：， 由，得， 由，得，故合成核. 【小问2详解】 （i）由，则，， ，故合成核，解得：； （ii）设等差数列的公差为，则， 此时， ， ，即合成核， 由均为正整数且，所以当时，不满足题意， 当时，满足题意， 当时，不满足题意， 当时，不满足题意， 综上所述：. 【小问3详解】 因为：， 所以，① 数列各项之和， 由①式得， 所以， 要使最小，即需使最大， 因为各项为正整数，故，从而， 所以，即， 记，由于，有， 所以，故， 要求的最大值，下面对从大到小逐一分析： 当时：，取， 此时，， 当时：，取， 此时，， 当时：，取． 此时，， 当时：，取， 此时，， 当时：，取， 此时，， 当时：，取， 此时，， 所以的最小值为，当时取得， 此时，故， 再取，（或，或）， 得到数列， 验证：，各项和为， 因此，的最小值为，一组符合条件的数列为（答案不唯一）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册，必修第二册第四章，选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） A. B. C. D. 6. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 40 B. -30 C. 30 D. -30或40 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知随机变量，且，则（ ） A. 当时， B. C. 若，则 D. 从该正态总体中随机抽取3个独立样本，取值均大于3的概率大于0.01 11. 已知函数，其中，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则的导函数的最小值为0 B. 若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则 C. “在上单调递增”的充要条件是“”. D. 若方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 14. 已知定义在上的偶函数满足：对任意，有，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着中国风文化兴起，非遗文创产品深受年轻人喜爱.某非遗文化体验馆为了研究每月举办的非遗体验活动场次（单位：场）与当月非遗文创产品销售收入（单位：万元）之间的关系，随机抽取了5个月的数据如下. 活动场次 1 2 3 4 5 销售收入 10 15 20 26 32 （1）根据上表数据，求关于的线性回归方程； （2）若该体验馆下个月计划举办6场非遗体验活动，试预测当月的非遗文创产品销售收入. 附：，，. 16. 已知数列满足，且对任意，有. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求的值域； （2）求不等式的解集； （3）若的解集为R，求的取值范围． 19. 对于有限数列，定义它的一次合成为一个项数为的数列：.记.若经过次合成后得到只含一个元素的数列，则称该元素为数列的合成核，记作.特别地，单元素数列的合成核即为该元素本身. （1）已知数列，写出，并求出； （2）已知数列的合成核，且各项均为正整数. （i）若，求的值； （ii）若是公差大于的等差数列，求； （3）若数列的各项均为正整数，记.已知，求的最小值，并给出一组符合条件的数列 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $