北京市首都师范大学附属中学朝阳学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 首师附朝阳高一数学期中卷聚焦向量、立体几何、解三角形等核心内容，通过正方体线面平行证明、圆弧上向量取值范围等问题，实现基础巩固与创新应用的梯度设计，体现数学眼光与思维的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|向量共线、复数象限、解三角形|基础概念辨析，如向量夹角与充要条件判断| |填空题|6/30|向量投影、三棱锥体积比、函数最值|空间观念与运算能力，如直三棱柱体积定值探究| |解答题|6/80|立体几何证明与体积、新定义集合|综合应用与创新，如四棱锥线面平行证明、集合新定义推理|

参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. A A A B B B C B A B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11． .12. ①. ②. 13. 14. 15. 16.①② 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17. 解：（Ⅰ），且为锐角 ------------3分 （Ⅱ） ------------4分 为锐角 -----------6分 ------------8分 -----------10分 -----------11分 18. （1） ； （2）当时，最小值. 19．【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 设，而，则， 由四边形是平行四边形，得，即，解得， 所以点的坐标是. 【小问3详解】 由点是直线上的一个动点，得，即， 于是 因此， 所以当时，取得最小值. 20【解答】（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结， 如图示： 是正方形对角线交点，为的中点， 由已知为线段的中点，， 又平面，平面， 平面； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）平面， 故三棱锥的体积 ． 21. 【答案】（1）； （2）答案见解析，最长边上高线长. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式，化简求值； （2）若选择条件①，方法一，根据正弦定理和余弦定理求三边，判断最长边，再根据几何关系求高，方法二，根据边长和角，根据大角对大边，直接判断最长边，再求高； 若选择条件②，根据面积求，再根据余弦定理求边长，再求最长边的高； 如选择条件③，根据正弦定理，判断是否存在. 【小问1详解】 因，所以 所以， 所以，因为，所以舍 所以，则； 【小问2详解】 选择① 因为，由正弦定理 代入，得 法一： 由余弦定理 代入得 所以 所以或（舍），所以边最长， 边上的高线 法二： 因为，所以， 所以，所以，所以为最长边 边上高线 选择② 因为 所以 因为，由余弦定理 所以 所以或 所以最长边上的高线， 若选择③，， 根据正弦定理，，则，不成立， 此时不存在. 22. 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据新定义证明即可； （3）首先得，然后讨论即可求解； （4）根据新定义证明即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设，则有： ，，，， ，，， 所以． 【小问3详解】 设，则有： ，. ， 所以必为偶数，因此. 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，. 又因为，所以同理得，． 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首师附朝阳学校2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 2026.5 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4 2．复数在复平面上对应的点位于 （  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（  ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 4．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（  ） A．1 B． C．2 D．4 5．设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 7．中，内角所对边分别为，若，且，则的形状是（  ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角 D．不确定 8．如图，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．在锐角三角形中，角、、的对边分别为，若，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 10. 已知，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 11．已知，，则 . 12． 在正方形网格中的位置如图所示，则___，向量在向量上的投影的数量为____． 13. 的内角的对边分别为，若，，，则的面积为 . 14. 如图，在三棱锥中，分别是的中点，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 . 15 已知函数的最大值为2，则=__________. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②三棱锥的体积的最大值为； ③的最小值为. 请写出所有正确结论的序号______ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17.（本小题11分）已知为锐角，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 18．（本小题14分）已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期和的单调递减区间； （Ⅱ）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值. 19. （本小题14分）在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）若四边形是平行四边形，求点的坐标； （3）求的最小值． 20. （本小题15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且平面 ∩ 平面EAC = l，，点为线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：PB // l ； （Ⅲ）求三棱锥的体积. 21.（本小题14分）在中，． （1）求A的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求最长边上高线的长． 条件①：； 条件②：的面积为； 条件③：． 注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 22.（12分）对任意正整数，定义集合. 设，定义：，. （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $