精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年高一第二学期期中诊断数学试卷

2025—2026学年第二学期期中诊断数学试卷 一、单选题 1. 在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ） A. B. C. 3 D. 或3 4. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（ ） A. B. C. D. 5. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 6. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 7. 设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 10. 如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题 11. 是虚数单位，则的值为__________. 12. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 13. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 14. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 15. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 16. 已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________． ①； ②； ③存在x，y，使得； ④当取最小值时，． 三、解答题 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且． （1）求； （2）若，求的面积． 18. 在中，，，分别是角的对边，且． （1）求A的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 19. 如图，在长方体中，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； （3）求异面直线与所成角的大小； 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中诊断数学试卷 一、单选题 1. 在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】解：， 则对应点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 2. 设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确. 【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误； 由向量的三角形法则可得，即B错误； 易知，所以可得，即C错误； 由向量的减法法则可得，所以D正确； 故选：D 3. 已知向量，不共线，，，若与同向，则实数t的值为（ ） A. B. C. 3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】由向量与同向，得， 即，而向量不共线，则，又，解得， 所以实数t的值为. 故选：A 4. 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 5. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形可得，求出四边形面积后可得四边形的面积. 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 6. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 7. 设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9. 如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值. 【详解】 取中点为，由， 因为，所以， 若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，, 若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界）， 此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立， 因为， 所以， 故的最大值为， 故选：C. 10. 如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可判定①，由线性运算及数量积运算可判定②，根据平面相机本定理可判定③，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定④. 【详解】对于①，由题意，，，， 故，正确； 对于②，，错误； 对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以， 即，解得，，错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， ，，， 设，， 因为， ， 所以，， 所以当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的取值范围是，正确； 故选：A 二、填空题 11. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 12. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体、棱锥的体积公式，结合石凳的结构特征求其体积. 【详解】正方体体积， 石凳体积为正方体体积减去8个被截去的正三棱锥体积，每个被截去的正三棱锥三条侧棱长为， 则一个正三棱锥体积为， 所以石凳的体积为. 13. 已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标______. 【答案】或 【解析】 【分析】求出，根据“与共线的单位向量为”可求得结果. 【详解】与共线的单位向量为，且， 所以与共线的单位向量为或. 14. 在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为______． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可. 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 由存在且唯一，知或且，解得或，而， 所以的一个取值为5. 故答案为：5 15. 如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得 ， 所以，在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 在中， ，故． 16. 已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________． ①； ②； ③存在x，y，使得； ④当取最小值时，． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由结合数量积运算得；又由，求得，进而得；结合基本不等式求得；进而得到，同时平方即得. 【详解】由可得，即，①正确； 又且，则，即，所以， 又，则，同理， 则，即，②错误； 由知至少一正，若一正一负，则，显然不满足， 故均为正，则，当且仅当时等号成立，则， 当且仅当时等号成立，则存在x，y，使得，③正确； 当取最小值2时，，由可得，则， 即，则，④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题关键点在于由结合得到，进而得，再结合基本不等式求得，最后由平方即可求解. 三、解答题 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理将条件中的角转化为边，再结合余弦定理得出，进而即可得出结论. 方法二：根据，将条件转化为角之间的关系，求出. （2）根据三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 方法一：由条件及正弦定理，，所以， 由余弦定理，， ，化简得， 所以，可得， ，又，所以． 方法二：由题意，所以， 又由，得，故 ， 即， 解得，从而． 【小问2详解】 由（1）知，， 的面积为． 18. 在中，，，分别是角的对边，且． （1）求A的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】（1） （2）选条件①或③， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）选条件①：利用两角和差公式可得，根据面积关系求高；选条件②：利用正弦定理分析可知不唯一；选条件③：利用余弦定理可得，进而可得，根据面积关系求高. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理可得 因为，则， 即， 可得，即， 且，则，可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 选条件①：因为在中，， 且，则， 可得， 设边上高线的长为，所以； 选条件②：由正弦定理可得， 且，，可得或， 检验可知均符合题意，即不唯一，不合题意； 选条件③：由余弦定理得， 即，可知为等腰三角形，则， 设上高线的长为，所以. 19. 如图，在长方体中，，，点为棱的中点． （1）证明：平面； （2）取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点； （3）求异面直线与所成角的大小； 【答案】（1）设，连接， 因为点为棱的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为M、N、P分别为、、的中点， 则在长方体中，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，则平面平面， 而平面交于，则点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离， 而为棱的中点，则为中点. （3） 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，即可证明线面平行； （2）先证明平面平面，平面平面，可得点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离，进而求证即可； （3）由（1）知，可得为异面直线与所成的角或其补角，又利用平行线转化异面直线所成角，结合等边三角形的性质可求角的大小； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角， 由题意得，， 所以，故三角形是等边三角形， 因为，所以， 所以异面直线与所成的角为. 20. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示： 因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 21. 设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表： ，其中，设，令是，，…，中的最大值． （1）若，，且，求，，及； （2）若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值； （3）若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3． 【答案】（1）， （2）4 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据和即可求解， （2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解， （3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解. 【小问1详解】 根据和可得，故， 【小问2详解】 设使得， 则，所以． 所以至少有3个元素个数相同的非空子集． 当时，，其非空子集只有自身，不符题意． 当时，，其非空子集只有，不符题意． 当时，，元素个数为1的非空子集有， 元素个数为2的非空子集有． 当时，，不符题意． 当时，，不符题意． 当时，，令， 则，． 所以的最小值为 【小问3详解】 由题可知，，记为集合中的元素个数， 则为数表第列之和． 因为是数表第行之和， 所以． 因为，所以． 所以． 当， 时， ， ． 所以的最小值为. 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $