精品解析：云南玉溪市2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

2025—2026学年下学期期末考试试卷 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法计算公式化简，再求模. 【详解】，则. 2. 设全集，集合，，则a的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 3. 在正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意设等比数列的公比为，， 由，可得， 又由，可得， 解得或（舍去）， 故． 4. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【详解】由一组数据1，2，，6，7的平均数为4，得，解得， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得1，2，4，6，7共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6． 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，则， 即， 所以． 7. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，， 则， 故选：A. 8. 已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.求得确定是等边三角形，再利用抛物线的定义求得进而求得即可得的值. 【详解】设准线l与x轴交于点G，过B作,垂足为.则 因为所以 因为, 根据抛物线的定义，知，，所以是等边三角形， 所以，解得 所以，, 所以，即 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD，举例判断，对于BC，利用不等式的性质分析判断. 【详解】对于A，当时，满足，此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，所以C正确， 对于D，当，时，满足，，此时，， 则，所以D错误. 故选：BC 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 不存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有六个 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：利用离心率公式计算即可；B选项：设，利用的符号判断夹角即可；C选项：结合椭圆定义和基本不等式求的最大值即可；D选项：分、、三类情况，分别计数符合条件的点的个数即可. 【详解】已知椭圆，其中，，， 对于A：离心率，故A错误； 对于B：设，则， 又因为，化简得：，代入得：， 所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确； 对于C：设，，则， 由均值不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D：等腰三角形有三种情况， （1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求； （2）当时， 设，由距离公式：，平方得：， 由点P在椭圆上，得， 代入：．化简得：， 解得：． 因为，所以，所以共有两个点P符合要求； （3）当时，同理共有两个点P符合要求； 综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确． 11. 已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，求导分析函数单调性得到极值点，所以对f(x)求导后，进而求解c；选项B，求导分析函数单调性，结合的零点可推导的取值范围；选项C，代入，结合的范围判断的取值；选项D，代入，结合的范围判断即可. 【详解】，， 因为在上是增函数，在上是减函数， 故0为的极大值点，所以，所以，故A正确； 此时，则，依题意可得， 即，故，令，解得或， 因为在上是增函数，在上是减函数，是函数的极小值点， 所以，解得，故B正确； ，故C错误； ，所以，，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______________（用数字作答）． 【答案】10 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为：， 由解得， 故的系数为． 13. 记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 14. 在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积. 【详解】过点C作，垂足为E， 为等腰梯形， ， 由余弦定理得，即 易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大， 此时，平面 易知， 记O为外接球球心，半径为R 平面， O到平面的距离 又的外接圆半径 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用两角差正切公式计算求解，结合角的范围即可求解； （2）应用面积公式及余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即， 所以， 由余弦定理知：，即， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，平面， 可得平面，由平面，所以， 且，所以， 又因为，为的中点，则， 且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用局胜制，先赢局者获胜，比赛结束．已知每局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为． （1）求甲以获胜的概率； （2）求比赛恰好打满局才分出胜负的概率； （3）若打完局时结束比赛，求获胜者是甲的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知比赛最后一局甲赢，前局中甲胜负，由独立重复试验的概率公式可求得的值； （2）比赛前四局中甲赢局，乙赢局，由独立重复试验的概率公式可求得的值； （3）设事件为打完四局时结束比赛，事件为乙以获胜，求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【小问1详解】 甲以获胜，则比赛进行了局，最后一局甲赢，前局中甲胜负， 设甲以获胜为事件，则． 【小问2详解】 比赛要打满局为事件，则前四局中甲赢局，乙赢局， 则. 【小问3详解】 设事件为打完四局时结束比赛，事件为乙以获胜，则，且、互斥， 则， 所以． 18. 已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程； （2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解. 【小问1详解】 因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3） 由（2）知，当时，函数在上单调递减， 所以当时，即，所以， 将代入上式，得， 所以，于是，，将上述式子累加得： ， 即命题得证． 【解析】 【分析】（1）代入参数，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程； （2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分类讨论导函数符号，进而确定函数单调区间； （3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明. 【小问1详解】 当时，，，，又， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 函数的定义域为，． 当，即时，函数在上单调递减； 当，即时，若，令，得， 和时，， 时，， 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增； 若，令，得，（舍）, 时，；在,； 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期末考试试卷 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 设全集，集合，，则a的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 3. 在正项等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 4.5 5. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 不存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有六个 11. 已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，的系数为______________（用数字作答）． 13. 记为等差数列的前项和，若，，则______________． 14. 在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）若，的面积为，求． 16. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 甲乙两名同学进行羽毛球比赛，采用局胜制，先赢局者获胜，比赛结束．已知每局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为． （1）求甲以获胜的概率； （2）求比赛恰好打满局才分出胜负的概率； （3）若打完局时结束比赛，求获胜者是甲的概率． 18. 已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $