1.2 一定是直角三角形吗课后作业2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 围绕直角三角形性质及应用，通过基础巩固、中档综合到提高探究的三层设计，实现从单一知识点到动态开放问题的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直角三角形斜边中线、含30°角直角三角形等单一知识点|直接应用概念，如填空12用斜边中线性质求AB长| |中档|垂直平分线、轴对称、角平分线等综合应用|情境化问题，如作图13利用轴对称解决最短路径| |提高|旋转、动态探究、开放结论等复杂问题|动态与开放设计，如解答14旋转中探究等腰三角形存在性|

1.2 一定是直角三角形吗 课后作业 一、选择题 1．如图所示.在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE=6cm，∠B=15°，则AC等于（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 2．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（　　） A． B． C．a+b D．a 3．如图，在中，，，D为BC上一点，，则BC的长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，在等腰三角形中，，，是底边上的高，在的延长线上有一个动点D，连接，作，交的延长线于点E，的角平分线交边于点F，则在点D运动的过程中，线段的最小值（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 6．如图，在中，，平分，交于点D，若点D恰好在边的垂直平分线上，则∠C的度数为（　　） A．30 B．36 C．40 D．45 7．如图，在中，，分别以点，点为圆心以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则：（　　） A．1： B．1：2 C．1： D．1： 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 二、填空题 9．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，若PC=4，则∠COP=　 　，PD=　 　. 10．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，若BC=9，则AE的长为　 　． 11．将两块全等的直角三角板如图放置，其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点及斜边上的中点，若这两块三角板的斜边长为，则　 　. 12．如图，在中，斜边上的中线CD=5，则　 　． 三、作图题 13．如图，河l同侧有一块直角三角形的绿化带，，，，.A到河l的距离等于的长度.需要用水管从河l上一点P处分别引水到A，B两处，并通过安装在这两处的喷水龙头灌溉草地. （1）请在河l上画出点P的位置，使得从点P向A，B两处引水所需的水管总长度最短； （2）求至少需要水管多少米（连接处接头长度忽略不计）. 四、解答题 14．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AB、BC于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况． （1）求证：BP＝CP； （2）猜想线段PD与PE之间的数量关系，并结合图1证明你的结论； （3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当△PEC为等腰三角形时，求BE的长． 15．问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°)”为主题开展数学活动。 操作发现 （1）如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2=2∠1，求∠1的度数； （2）如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系； （3）如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，若∠AEG=a，请直接写出∠CFG的度数(用含a的式子表示) 16．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题： 在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系. （1）初步尝试 如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由. （2）类比探究 如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程； （3）延伸拓展 如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15° ∴∠BAC=90°-15°=75° ∵DE垂直平分AB，BE=6cm ∴BE=AE=6cm， ∴∠EAB=∠B=15° ∴∠EAC=75°-15°=60° ∵∠C=90° ∴∠AEC=30° ∴AC= AE= ×6cm=3cm 故答案为：D 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE=AE=6cm，根据等边对等角得出∠EAB=∠B=15°，即可求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可. 2．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：如图， ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CF＝a，BF＝b， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∴AM＝AC， ∵BF⊥AC， ∴FM＝BF＝b， ∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b， 故答案为：B. 【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题. 3．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=30°， ∴∠BAC=180°-30°-30°=120°， ∵CD=AD， ∴∠C=∠CAD=30°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°， ∴BD=2AD=8， ∴BC=BD+CD=12. 故答案为：B. 【分析】根据等边对等角得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-30°-30°=120°，由角的和差得∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°，由含30°角直角三角形的性质得BD=2AD=8，最后根据BC=BD+CD即可算出答案. 4．【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠A=∠C=30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°， ∴BD=2AD=2×2=4， ∵∠BAC=180°-∠B-∠C，=180°-30°-30°=120°， ∴∠DAC-∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠DAC=∠C， ∴AD=DC=2， ∴BC=BD+DC=4+2=6. 故答案为：C 【分析】利用等边对等角可求出∠B的度数，利用垂直的定义可得到∠BAD=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再证明AD=CD，可得到CD的长，然后根据BC=BD+DC，代入计算求出BC的长. 5．【答案】D 【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：作于M，作于N， ， ， 平分，即平分， ，， ， ，， ， ， ， )， ， 平分， ， 连接， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，，， ， 故答案为：D. 【分析】作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据等腰三角形的性质可得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，利用ASA证明△MDE≌△NDC，得到DE=DC，根据角平分线的概念可得∠EDF=∠CDF，连接CF，利用SAS证明△EDF≌△CDF，得到EF=CF，故当CF⊥AB时CF有最小值，为EF的值，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行解答. 6．【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵点D恰好在边BC的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：A. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，然后根据等边对等角及角平分线的定义得∠DBC=∠ABD=∠C，进而根据直角三角形两锐角互余，代入计算即可得出答案. 7．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：由题意得：EF是AB的垂直平分线， ∴D为AB的中点， ∵∠ACB＝90°， ∴CD＝AB， 又∵CD＝CG， ∴CG：AB＝1：2. 故答案为：B． 【分析】由作图步骤可知EF是AB的垂直平分线，可得D为AB的中点，由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝AB，又因为CD＝CG，进而可求解． 8．【答案】C 【知识点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD=AB， 又∵CD+AB=7.5， ∴3CD=7.5， ∴CD=2.5. 故答案为：C. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB，又因为CD+AB=7.5，等量代换得3CD=7.5，解之即可求得CD的长度. 9．【答案】15°；2 【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB交OB于点E， ∵ ，∠AOP=∠BOP=15° ∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=30°. ∵PCOA， . ， . ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ， 故答案为：15°，2. 【分析】过点P作PE⊥OB交OB于点E，由题意易得∠AOB=15°，根据二直线平行，同位角相等得∠ECP=30°，根据含30°角直角三角形的性质得PE=2，最后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD的长. 10．【答案】 【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=30°， ∴AC=BC=，∠ACB=90°-∠B=90°-30°=60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ACB=30°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB=∠ACD=30°， ∴CE=DE， ∴∠ADC=90°-30°=60°， ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°-30°=30°， ∴， ∴AE=AC= 故答案为： 【分析】利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AC的长，利用三角形的内角和为180°，可求出∠ACB的度数，利用角平分线的定义和平行线的性质可证得∠EDC=∠DCB=∠ACD=30°，利用等角对等边可得到EC=ED，同时可求出∠ADE=30°，从而可推出，即可求出AE的长. 11．【答案】6.8cm 【知识点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：是直角三角形斜边上的中线， 又这两块三角板的斜边长为， . 故答案为：6.8cm. 【分析】直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，据此可得OA的值. 12．【答案】10 【知识点】直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5， ∴AB=2CD=10. 故答案为：10. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，即可求解. 13．【答案】（1）解：如图，作点A关于l的对称点E，连接 交l于点P，则点P就是所要画的点； （2）解：∵ ， ， ∴C，A，E在同一直线上； ∵ ， ， ∴ ， ； ∵ ， ∴ ，AE=AB， ∴ ， ∴在 中， . 答：至少需要 长的水管. 【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【分析】（1） 作点A关于l的对称点E，连接BE交l于点P，则点P就是所要画的点； （2）先证出点C、A、E三点共线，根据含30°角直角三角形的性质得∠CAB=60°，AB=2AC，易得AE=2AC，故AE=AB，根据等边对等角及三角形外角性质得∠E=∠ABE=30°，最后在Rt△BCE中，根据含30°角直角三角形的性质得出BE=2BC，据此即可得出答案. 14．【答案】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线， ∴AP＝CP， ∴BP＝CP； （2）解：PD＝PE， 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，P是AC的中点， ∴CP＝PB，∠ABP＝∠ABC＝45°， ∴∠ABP＝∠C＝45°． 又∵∠DPB+∠BPE＝∠CPE+∠BPE＝90°， ∴∠DPB＝∠CPE． ∴△PBD≌△PCE（ASA）． ∴PD＝PE； （3）解：当BE＝0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，如图， 当BE＝时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形，如图， ∵AB＝BC＝2，P是AC的中点， ∴PC＝， 当CP＝CE时，△PEC是等腰三角形，如图， ∴BE＝2-； 当E在BC的延长线上时，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝2+，如图， 综上所述，当△PEC为等腰三角形时，BE的长为0、、2-或2+． 【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出结论； （2）根据ASA证明△PBD≌△PCE，再根据全等三角形的性质可得出结论； （3）根据△PEC为等腰三角形，分四种情况讨论：当BE＝0时，当BE＝时，当CP＝CE时，当E在BC的延长线上时，CE＝CP，即可可得出答案． 15．【答案】（1）解：如图1， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠EGD， 又∵∠2=2∠1， ∴∠2=2∠EGD， 又∵∠FGE= 60°， ∴∠EGD= (180°-60°)=40°， ∴∠1=40° ； （2）解：如图2， ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE=180°， 即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC= 180°， 又∵∠FEG+∠EGF= 90°， ∴∠AEF+∠GFC=90° 结论应用 （3）60°-α 【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：（3） ∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠GEF+∠GFE+∠CFG=180°， ∵∠GEF=30°，∠GFE=90°， ∠AEG=a ∴a +30°+90°+∠CFG=180°， ∴a +30°+90°+∠CFG=180° ∴∠CFG=60°-a . 【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠1=∠EGD，再证明∠2=2∠EGD，利用∠2+∠FGE+∠EGD=180°，可求出∠EGD的度数，然后利用平行线的性质，可证得∠1=∠EGD，即可得到∠1的度数。 （2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠AEG+∠CGE=180°，即可得到∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC= 180°，再利用直角三角形的两锐角互余，可证∠FEG+∠EGF= 90°，从而可得到∠AEF与∠FGC之间的数量关系。 （3）利用平行线的性质可得到∠AEG+∠GEF+∠GFE+∠CFG=180°，再利用已知条件∠GEF=30°，∠GFE=90°， ∠AEG=a ，代入就可求出∠CFG与a之间的数量关系。 16．【答案】（1）解： ∵， 又∵，， ∴， ∴. （2）解：如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N. ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴. （3）解：如图（2）中，结论：. 理由：在上取一点，使得，则. 过点C作于T. ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴. 【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形 【解析】【分析】（1）由题意可得∠BAD=∠CAE=90°，AB=AC，CE=BD，利用HL证明△ABD≌△ACE，据此可得结论； （2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N，易证△CAM≌△BAN，得到CM=BN，AM=AN，进而证明△CME≌△BND，得到EM=DN，然后结合AM=AN可得结论； （3）在AB上取一点E′，使得BD=CE′，则AD=AE′，过点C作CT⊥AE于T，易得CE=CE′，ET=TE′，AT=AC=m，然后根据AE-AD=AE-AE′=2AT进行解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $