1.2 一定是直角三角形吗 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，通过选择、填空、解答三级分层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|勾股定理逆定理直接应用|单选题1-6、填空题11-12，聚焦边长判定与性质，培养抽象能力与推理意识| |综合应用层|多情境融合应用|单选题7-10、填空题13-15，结合网格、四边形、概率等，发展几何直观与空间观念| |拓展探究层|逻辑推理与问题解决|解答题17-24，涉及作图证明、综合计算，提升创新意识与应用意识|

1.2 一定是直角三角形吗 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，，3 2．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　） A．3，5，7 B．6，8，10 C．5， 12， 13 D．1，，2 3．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　） A．1，3，4 B． C．5，12，13 D． 4．如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．有4条线段，分别为 ， ， ， ，从中任取3条，能构成直角三角形的概率是（　　）. A． B． C． D． 6．将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 7．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（　　） A．4 B． C． D． 8．如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（　　） A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C 9．在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（　　） A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30° 10．如图，已知 中 ， ， ，在 上取一点E， 上取一点F，使得 ，过点C作 ，交 于点G，过点B作 .则 的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在△ABC中，若AC2＋BC2＝AB2，∠A∶∠B＝1∶2，则∠B的度数是　 　. 12．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具　 　(填“ 合格”或“不合格”)． 13．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为　 　. 14．如图所示，小明和组员想知道在水平地面上立的旗杆是否垂直于地面，已知旗杆高20米．从旗杆顶部拉下来一根绳子，测得绳子一端离旗杆底部BC长15.5 米，绳子长25米．那么旗杆是否与地面垂直？答案为：　 　(填“是”或“不是”) 15．如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：　 　．（填“能”或“不能”．） 16．如图，在△ABC中，AC＝24，AB＝25，BC＝7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC＝125°，过点B作BD∥EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在下边的正方形网格中作出了． 　　　 　　　 （1）你认为小华作出的是直角三角形吗?请给予说明； （2）请你按照同样的要求，在上边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等． 18．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 19．如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知 AD＝4m ，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m ，BC＝12m ，绿化草坪价格 150 元/米2。求这块地草坪绿化的价钱． 20．如图，四边形 中， ， ， ， ， ，求证： ． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）. （1）填空：线段 　 　， 　 　， 　 　； （2）判断 的形状，并说明理由. 22．在 中， ， ， 的对边分别是a，b，c，根据下列各边的长度，判断各三角形是否为直角三角形.并指出哪一个角是直角. （1） ， ， ； （2） ， ， ； 23．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F。 （1）若∠BAC=90°，求BE的长。 （2）若DF= ，试说明：△ABC为直角三角形。 24．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边的长度分别为a、b、c． （1）若a=6，b=8，c=12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系； （2）求证：ABC的内角和等于180°； （3）若 ，求证：△ABC是直角三角形． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意； D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意. 故答案为：C. 【分析】若一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此判断. 2．【答案】A 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：32＋52≠72，故选项A符合题意； 62＋82＝102，故选项B不符合题意； 52＋122＝132，故选项C不符合题意； 12＋（）2＝22，故选项D不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可. 3．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】A、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、 ，不能构成直角三角形，故不符合题意， 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。 4．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意； B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意； C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意； D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意． 故答案为：C 【分析】利用直角三角形的判定方法判断即可。 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理；概率公式 【解析】【解答】解：4条线段的全部组合有 ，共四组.能构成直角三角形的组合只有 一组， （能构成直角三角形） . 故答案为：C. 【分析】列举出所有可能出现的情况数，找出能构成直角三角形的情况数，接下来根据概率公式进行计算. 6．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：设原直角三角形的三边分别为： 其中 为斜边，则 将这个直角三角形的三边长同时扩大10倍，三边分别为： 且最长边为： 而 所以将一个直角三角形的三边长同时扩大10倍，得到的三角形是直角三角形. 故答案为：C 【分析】根据勾股定理得出推出 得出根据勾股定理的逆定理得出即可。 7．【答案】C 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：如图，连接AC， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴四边形的面积= ． 故答案为：C 【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ACD=90°，最后利用割补法可得四边形ABCD的面积。 8．【答案】D 【知识点】勾股定理的逆定理；圆的认识 【解析】【解答】解：如图所示：连接BD， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∵D为AC中点， ∴， ∵覆盖半径为300 ， ∴A、B、C三个点都被覆盖， 故答案为：D． 【分析】连接BD，先证出为直角三角形，根据D为AC中点，得出，即可得出答案。 9．【答案】C 【知识点】钟面角、方位角；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：由题意，得：AB=30海里， OA=12×1.5=18（海里）， OB=16×1.5=24（海里）， ∵OA2+OB2=182+242=900， AB2=302=900， ∴OA2+OB2= AB2， ∴∠AOB=90°， ∵A舰艇向北偏西50°方向航行， ∴B舰艇的航行方向为北偏东40°． 故答案为：C． 【分析】由OA，OB，AB的长度根据勾股定理逆定理可判断∠AOB=90°，根据A的位置即可得出B的方位。 10．【答案】B 【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：在△ABC中AC=24，AB=25，BC=7 ， ， ， △ABC为直角三角形， ∠ACB=90°， ， ， ∠GCF=180°-∠EFC=44°， ∠BCG=∠ACB - ∠GCF=46°， 又 ， ， ∠CBD= ∠BCG= 46°， 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理逆定理求出△ABC为直角三角形，然后根据平行线的性质求出∠GCF的度数，再根据角的和差关系求出∠BCG，然后再根据平行线的性质求出∠CBD即可. 11．【答案】60° 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：在△ABC中，因为AC2＋BC2＝AB2， 所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，则∠C=90°， 所以∠A+∠B=90°， 因为∠A：∠B＝1：2， 所以∠B=90°×60°. 故答案为：60°. 【分析】根据已知条件结合勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠C=90°，则∠A+∠B=90°，然后结合∠A∶∠B＝1∶2就可求出∠B的度数. 12．【答案】合格 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解： 302+402 =502 ， ∴三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形， ∴这个教具合格． 【分析】求出三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，即可作答。 13．【答案】14 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5， ∴AB2=AD2+BD2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中，CD= =9． 故答案为：B. 【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。 14．【答案】不是 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】∵202+15.52=640.25，252=625， ∴202+15.52≠252， ∴△ABC不是直角三角形， ∴ 旗杆与地面不垂直. 【分析】利用勾股定理的逆定理进行解答即可. 15．【答案】能 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：由题意得 ∴ ∴能构成直角三角形 故答案为：能． 【分析】先根据勾股定理分别求出a2、b2、c2，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可. 16．【答案】35° 【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：在△ABC中AC＝24，AB＝25，BC＝7， ∵242+72＝625＝252，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴∠ACB＝90°． 过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，如图所示． ∵CM∥EF，∠EFC＝125°， ∴∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°， ∴∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°． 又∵CM∥BD， ∴∠CBD＝∠BCM＝35°． 故答案为：35°． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，再过点C作CM∥EF交AB于点M，则CM∥BD，求出∠MCF＝180°﹣∠EFC＝55°，利用余角的性质求出∠BCM＝∠ACB﹣∠MCF＝35°，最后利用平行线的性质可得∠CBD＝∠BCM＝35°。 17．【答案】（1）解： 是直角三角形， ∵，， ， ∴， ∴是直角三角形； （2）解： 作图如下，答案不唯一． 　　　 【知识点】勾股定理的逆定理；作图-三角形 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）根据要求作出三角形即可。 18．【答案】解：电线杆和地面垂直，理由如下： 连接BD 在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴AB⊥BD， 在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴电线杆和地面垂直. 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【分析】连接BD，根据题意结合勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，据此判断. 19．【答案】解：如图，连接AC， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC=90°， ∴AC==5m， ∵AB＝13m ，BC＝12m ， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴S绿化草坪=S△ACB-S△ADC==24m2， ∴这块地草坪绿化的价钱=24×150=3600元. 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理得出AB=5，再根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，再根据S绿化草坪=S△ACB-S△AD算出草坪的面积，再乘以150 元/米2进行计算，即可得出答案. 20．【答案】解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 是斜边 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】连接 ，由 ， ， ，利用勾股定理得出AC的值，由 ， ，得出，由此得出 是直角三角形， 是斜边，即可得出答案。 21．【答案】（1）；；5 （2）解：△ABC为直角三角形，理由如下： ∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形. 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：（1） ， ，AC＝5. 故答案为： ，2 ，5； 【分析】(1)根据勾股定理分别求出△ABC的三边即可； (2)分别求出△ABC三边长的平方，然后利用勾股逆定理即可判断. 22．【答案】（1）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴△ABC是直角三角形，∠B=90°即∠B是直角； （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴△ABC是直角三角形，∠C=90°即∠C是直角. 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可证得a2+c2=b2，由此可推出∠B是直角； （2）分别求出a2，c2，b2的值，可证得a2+b2=c2，可推出∠C是直角. 23．【答案】（1）解：连接CE，设AE=x，因为AB=8，所以BE=8-x． 因为DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE=8- x． 因为∠BAC= 90° ，AC=6，所以x2+62=(8- x)2， 解得x= ，所以BE= （2）解：设BD=y，则CD=y． 因为DF= ，所以BF=y+ ，CF=y- 因为AF⊥BC，所以AB2- BF2=AC2-CF2=AF2， 所以82-(y+ )2=62-(y- )2，解得y=5，所以BC= 10． 因为62+82= 102，所以△ABC为直角三角形． 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）先求出 CE=BE=8- x ，再利用勾股定理求解即可； （2）先求出 BF=y+ ，CF=y- ，再求出 y=5， 最后证明直角三角形即可。 24．【答案】（1）解：∵在△ABC中，a=6，b=8，c=12， ∴a2+b2<c2 ， ∴此三角形是钝角三角形，且∠C是钝角， ∴∠A+∠B<∠C． （2）证明：如图，过点B作MN∥AC， ∴∠MBA= CA，∠NBC=∠C(两直线平行，内错角相等)， ∵∠MBA+∠ABC+∠NBC= 180°(平角的定义)， ∴∠A+∠ABC+∠C= 180°(等量代换)， 即△ABC的内角和等于180°． （3）证明：∵ ∴ac= (a+b+c)(a-b+c)= [(a2+2ac+c2)-b2]， ． ∴2ac=a2+2ac+c2-b2， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形． 【知识点】平行线的性质；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）先求出 a2+b2<c2 ， 再求出 此三角形是钝角三角形，且∠C是钝角， 最后求解即可； （2）根据平行线的性质求出 ∠MBA= CA，∠NBC=∠C ，再求出 ∠A+∠ABC+∠C= 180° ，最后证明求解即可； （3）先求出 2ac=a2+2ac+c2-b2， 再求出 a2+c2=b2， 最后证明求解即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $