1.2等腰三角形课后练习-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2 等腰三角形 课后练习 一、单选题 1．已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在△中，平分，平分，与交于点，经过点，分别交，于点，．，已知，，则梯形的周长为（    ） A．39 B．41 C．43 D．45 4．如图， 已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 6．数学活动课中，小颖设计了一种简易衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可，衣架模式如图，衣架杆．若衣架收拢时，，则此时、两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是（   ）    A．3 B．5 C．6 D．7 8．如图，平分，过D作交于点E，若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．6 二、填空题 9．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 10．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 11．如图，，，图中共有全等三角形 对． 12．如图，若，则的度数为 ． 13．如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，中，，，平分，若，求的长．    15．已知：如图，，．求证：． 16．如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 17．如图，在中，，，，交于点D，，求的长． 18．如图，在中，，F是上一点，过点F作于D，的延长线交延长线于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了反证法，反证法需假设结论的反面成立，即假设． 【详解】解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 2．B 【分析】本题考查等角对等边，根据，得到，即可． 【详解】解：在中，， 则：； 无法得到， 故选B． 3．A 【分析】本题考查了等腰三角形判定、平行线的性质和角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义得出，解答．根据角平分线的定义得出，，进而利用平行线的性质得出，，进而解答即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 梯形的周长， 故选：． 4．A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：A． 5．A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据题意，利用等边三角形判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，利用等边三角形性质即可得到两点之间的距离，熟记等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， ， 是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并求出的取值范围是解题的关键． 先通过等腰三角形“三线合一”的性质，确定是边上的高和中线，同时平分顶角；再利用含角的直角三角形性质求出的长度，得到的最小值；结合得到的最大值，从而确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于，   ， ，， ， ， ， ， 的长度不可能是3， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是通过角平分线与平行线的性质推出等角，进而判定等腰三角形． 由平分得，结合得，从而，判定为等腰三角形，得． 【详解】解：∵ 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：C． 9．3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 10．/15度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 11．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，由等角对等边得出，利用即可证明，从而得出，再利用即可证明，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 13．18 【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵折叠该纸片使得点落在边上的点处， ， ， ， 故答案为：18． 14． 【分析】根据角平分线的定义求得，可得的直角边是斜边长度的一半；然后由三角形的外角定理知，可得，根据等角对等边可知，根据可得结论． 【详解】解：∵中，，，平分， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 15．见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再由全等三角形对应角相等即可得出结论． 【详解】证明：， ， 在和中 ， ， ． 16．见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 17．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键．根据等腰三角形性质得，则，再根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即BC的长是9． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明： ， 是等腰三角形； （2）解： 是等边三角形 ， 答：的长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $