26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质2026-2027学年4人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，课堂导入通过复习y=a(x-h)²+k的性质及平移规律，引导学生用配方法将一般式转化为顶点式，搭建从已知顶点式到未知一般式的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于以转化思想和数形结合为核心，通过合作探究（如配方实例）、中考真题分析（“左同右异”规律应用）和表格化小结（系统呈现开口方向等性质），培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。学生能直观理解函数转化过程，教师可借助分层作业实现差异化教学，提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 学习目标 1 2 理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(xh)2+k之间的联系，体会转化思想. 通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c的性质，体会数形结合的思想. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 1.说一说二次函数y=a(x−h)2+k的图象与性质. 二次函数 y=a(xh)2+k（a>0） y=a(xh)2+k（a<0） 图象与性质 形状 开口方向 开口大小 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向下 直线x=h （h，k） 当x=h时，y取得最大值k 当x<h时，y随x的增大而增大当x>h时，y随x的增大而减小 a越小，开口越小 抛物线 向上 直线x=h （h，k） 当x=h时，y取得最小值k 当x<h时，y随x的增大而减小当x>h时，y随x的增大而增大 a越大，开口越小 1 复习引入 2.谈一谈抛物线y=a(xh)2+k与抛物线y=ax2的位置关系. 抛物线y=ax2 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位长度 抛物线y=a(xh)2+k 抛物线y=a(xh)2 抛物线y=ax2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位长度 1 复习引入 二次函数y=ax2+bx+c 二次函数y=a(xh)2+k 配方 图象和性质 图象和性质 研究 思考 对于二次函数y=x2-6x+21，如何画出它的图象并讨论它的性质? 2 合作探究 提取a，将二次项系数化成 1 y=(x2-12x)+21 配方 y=(x2-12x+36-36)+21 化为y=a(xh)2+k的形式 y=(x-6)2+3 括号内加、减一次项系数一半的平方 追问 如何画出二次函数y=(x-6)2+3的图象? 2 合作探究 抛物线y=x2 向右平移6个单位长度 抛物线y=(x-6)2 向上平移3个单位长度 抛物线y=-(x-6)2+3 还有其他平移方法吗？ 追问 如何画出二次函数y=(x-6)2+3的图象? 2 合作探究 抛物线y=x2 向上平移3个单位长度 抛物线y=x2+3 向右平移6个单位长度 抛物线y=-(x-6)2+3 思考 如何用描点法画出二次函数y=x2-6x+21的图象? 2 合作探究 x ... ... y=x2-6x+21 ... ... 1.由配方的结果可知，抛物线y=x2-6x+21的 顶点是(6，3)，对称轴是x=6.先利用图象的对称性列表： 2.描点： 3.连线： 5 5 8 4 3.5 3.5 7 5 3 6 7.5 7.5 3 9 y=x2-6x+21 2 合作探究 y=x2-6x+21 二次函数 y=x2-6x+21=(x-6)2+3 图象与性质 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 直线x=6 （6，3） 当x=6时，y取得最小值3 当x<6时，y随x的增大而减小当x>6时，y随x的增大而增大 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 二次函数y=-2x2-4x+1 二次函数y=-2(x+1)2+3 配方 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 向下 直线x=-1 （-1，3） 当x=-1时，y取得最大值3 当x<-1时，y随x的增大而增大当x>-1时，y随x的增大而减小 2 合作探究 探究 你能用上面的方法研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗? 二次函数 y=ax2+bx+c=a(x+ )2+ 图象与性质 分类 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 a<0 向下 直线x= （，） 当x=时，y取得最大值 当x<时，y随x的增大而增大当x>时，y随x的增大而减小 a>0 向上 直线x= （，） 当x=时，y取得最小值 当x<时，y随x的增大而减小当x>时，y随x的增大而增大 2 合作探究 二次函数y=ax2+bx+c的图象 2 合作探究 D 对称轴在y轴右侧 对称轴在y轴左侧 a，b同号 中考演练(2023贵州)已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 a，b异号 左同右异 3 典例分析 中考演练(2026四川攀枝花)已知二次函数y=3x2−4ax+4，其中a为常数． (1)若a=，求此函数图象的顶点坐标； 3 典例分析 解：∵a=， ∴二次函数y=3x2−4ax+4=3x2−6x+4=3(x−1)2+1， ∴函数图象的顶点坐标为(1，1)； (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值范围． 3 典例分析 解：∵二次函数为y=3x2−4ax+4， ∴对称轴为直线x==， ∵当1≤x≤4时，y随x的增大而减小， ∴≥4，解得a≥6； ∵当8≤x≤12时，y随x的增大而增大， ∴≤8，解得a≤12， ∴a的取值范围是6≤a≤12． 4 巩固练习 1. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的示意图，则a的值可以是（     ） A．0 B．2 C．−1 D．−2 B 4 巩固练习 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 二次函数 y=−3x2+12x−3 开口方向 对称轴 顶点 增减性 向下 直线x=2 （2，9） 当x<2时，y随x的增大而增大当x>2时，y随x的增大而减小 4 巩固练习 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 二次函数 y=4x2−24x+26 开口方向 对称轴 顶点 增减性 向上 直线x=3 （3，−10） 当x<3时，y随x的增大而减小当x>3时，y随x的增大而增大 4 巩固练习 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 二次函数 y=2x2+8x−6 开口方向 对称轴 顶点 增减性 向上 直线x=−2 （−2，−14） 当x<−2时，y随x的增大而减小当x>−2时，y随x的增大而增大 4 巩固练习 2. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图： 二次函数 y=x2−2x−1 开口方向 对称轴 顶点 增减性 向上 直线x=2 （2，−3） 当x<2时，y随x的增大而减小 当x>2时，y随x的增大而增大 4 巩固练习 3. 求下列函数的最大值或最小值： (1)y=3x2+2x； (2)y=−2x2+8x−8. 当x=− 时，y取得最小值− 当x=2时，y取得最大值0 4 巩固练习 4. 二次函数的图象经过A(−3，0)，B(0，4)，C(4，0)三点，求该二次函数的解析式． 解：设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 将A，B，C三点坐标分别代入，得 ，解得， ∴该二次函数的解析式为y=− x2+x+4. 5 当堂检测 1. 抛物线y=2x2−4x的顶点坐标为（     ） A．(1，−2) B．(0，0) C．(2，0) D．(−2，2) A 5 当堂检测 2. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0，−3)，(2，5)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当−2≤x<2时，直接写出y的取值范围． 解：把(0，−3)，(2，5)代入y=x2+bx+c，得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为y=x2+2x−3； 5 当堂检测 解：将二次函数配方得y=x2+2x−3=(x+1)2−4， 函数的对称轴为直线x=−1. ∵1>0 ∴二次函数开口向上， ∴当x=−1时，y取得最小值−4； 当x=−2时，y=(−2+1)2−4=−3， 当x=2时，y=(2+1)2−4=5； ∴当−2≤x<2时，y的取值范围是−4≤y<5． 6 课堂小结 二次函数 y=ax2+bx+c=a(x+ )2+ 图象与性质 分类 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 a<0 向下 直线x= （，） 当x=时，y取得最大值 当x<时，y随x的增大而增大当x>时，y随x的增大而减小 a>0 向上 直线x= （，） 当x=时，y取得最小值 当x<时，y随x的增大而减小当x>时，y随x的增大而增大 7 布置作业 A B 习题26.2：第3，4，5题. 习题26.2：第6(2)，8题. $