1.1三角形中的线段和角（1）--三角形的边和角 教学设计 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦三角形的边和角关系，核心知识点为三角形任意两边之和大于第三边及同一三角形中“大边对大角”规律。课堂导入从已学三角形概念切入，通过画三角形、折纸等操作，搭建从具体到抽象的探究支架，衔接前后知识。 资料亮点在于以操作探究驱动学习，通过摆画测量发展几何直观（数学眼光），用“两点之间线段最短”等基本事实推导培养推理能力（数学思维），结合池塘距离估计等生活问题体现应用意识（数学语言）。例题分层递进，助力学生掌握，为教师提供结构化教学方案。

1.1三角形中的线段和角（1）----三角形的边和角 学习目标： 1、 探索并证明三角形的任意两边之和大于第三边； 2、 发现并理解在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.同样较大的角所对的边也比较大 并能运用该规律解决生活中的实际问题； 经历摆三角形、画三角形、测量三角形的三边长度的过程，进一步发展空间观念和推理能力。 学习重点：理解并证明三角形任意两边之和大于第三边 。 学习难点：运用三角形的边和角知识，解决生活中的实际问题。 学习过程： 一、情境引入： 我们已经认识了三角形的概念，三角形的边、角具有什么性质?边、角之间有什么关系? 三角形中还有哪些特殊的线段？ 二、探索新知： 尝试一、能否画出以下列长度的线段为边的三角形?为什么? 小学里我们知道，三角形两边之和 第三边。 如图，因为BA+AC是连接B，C两点的折线长度， BC是连接B，C两点的线段长度，根据基本事实 “两点之间的所有连线中， ”， 可知 BA十AC BC. 同理，AC+CB AB，AB+BC AC于是，我们得到： 小结： 三角形的 两边之和大于第三边。三角形的两边之差 第三边。 若一个三角形有两边长分别为3和4，第三边为x,则x满足的条件为 。 尝试练习1： 1、 下列长度的三条线段能否组成三角形的是（ ） A. 1，4，7 B. 3，5，8 C. 5，6，9. D.a，2a，3a 2．（2026春•淮阴区期末）已知三角形两边的长度分别是5和9，则第三边的长可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．14 尝试二、你认为三角形的边和角有什么关系? 如图1，在△ABC中，AB>AC，我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C 的大小。 把 AC沿∠A的平分线AD翻折，如图2，因为 AB>AC,所以点C落在边AB上的点C'处， 所以∠AC'D=∠C:由∠AC'D=∠ +∠ ，可得∠AC'D>∠B， （三角形的外角大于与它 的任意一个内角），所以∠C>∠B. 由此可以得到下面的结论： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.（大角对大边，大边对大角） 尝试练习2： 1、在Rt△ABC中，∠C-90°，比较大小AB BC，理由为 。 三、例题讲解 例1、（2025秋•江阴市校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　 　 ． 尝试练习3： 1．（2026春•洛宁县期末）为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 2．（2026春•双流区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|＝　 　 ． 3．（2026春•青浦区校级期中）三条线段的长度分别为a、b、c，其中a＜b＜c，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）a、b、c只需要满足条件　 　 即可．（只填一个序号） ①b+c＞a；②b+a＞c；③a+c＞b． （2）若a＝3，c＝6，b为整数，求构成的三角形的周长． 四、总结反思： 1、三角形三边关系： 三角形的 两边之和大于第三边。 两边之差＜第三边＜两边之和 2、三角形边、角关系： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.（大角对大边，大边对大角） 3、三角形内角和推论： 三角形的外角等于与它 ；三角形的外角大于与它 。 五、达标检测： 1．（2026•浙江模拟）四根木棒的长度分别为12cm，8cm，5cm，6cm．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（　　） A． B．1 C． D． 2. 已知三角形的三边长分别为5，10，a，则a的取值范围是 （　　） 　 A、7≤a≤17　　　　　B、5＜a＜10　　　 　C、5≤a≤10　　　D、5＜a＜15 3. 两根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒 是偶数，那么第三根木棒的取值情况有 种 。 4. 一个等腰三角形的周长为18cm. （1） 已知腰长是底边的2倍，求各边的长；（2）已知其中一边长为4cm，求其它两边的长. 5．（2025春•秦州区期末）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 1.1三角形中的线段和角（1）----三角形的边和角答案 学习目标： 3、 探索并证明三角形的任意两边之和大于第三边； 4、 发现并理解在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.同样较大的角所对的边也比较大 并能运用该规律解决生活中的实际问题； 经历摆三角形、画三角形、测量三角形的三边长度的过程，进一步发展空间观念和推理能力。 学习重点：理解并证明三角形任意两边之和大于第三边 。 学习难点：运用三角形的边和角知识，解决生活中的实际问题。 学习过程： 一、情境引入： 我们已经认识了三角形的概念，三角形的边、角具有什么性质?边、角之间有什么关系? 三角形中还有哪些特殊的线段？ 二、探索新知： 尝试一、能否画出以下列长度的线段为边的三角形?为什么? 小学里我们知道，三角形两边之和 大于 第三边。 如图，因为BA+AC是连接B，C两点的折线长度， BC是连接B，C两点的线段长度，根据基本事实 “两点之间的所有连线中， 线段最短 ”， 可知 BA十AC ＞ BC. 同理，AC+CB ＞ AB，AB+BC ＞ AC于是，我们得到： 小结： 三角形的 任意 两边之和大于第三边。三角形的两边之差 小于 第三边。 若一个三角形有两边长分别为3和4，第三边为x,则x满足的条件为 1＜x＜7 。 尝试练习1： 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ C ） B. 1，4，7 B. 3，5，8 C. 5，6，9. D.a，2a，3a 2．（2026春•淮阴区期末）已知三角形两边的长度分别是5和9，则第三边的长可能是（　B　） A．4 B．5 C．14 D．16 尝试二、你认为三角形的边和角有什么关系? 如图1，在△ABC中，AB>AC，我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C 的大小。 把 AC沿∠A的平分线AD翻折，如图2，因为 AB>AC,所以点C落在边AB上的点C'处， 所以∠AC'D=∠C:由∠AC'D=∠ B +∠ C’DB ，可得∠AC'D＞∠B， （三角形的外角大于与它 不相邻 的任意一个内角），所以∠C＞∠B. 由此可以得到下面的结论： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.（大角对大边，大边对大角） 尝试练习2： 1、在Rt△ABC中，∠C-90°，比较大小AB ＞ BC，理由为 大角对大边 。 三、例题讲解 例1、（2025秋•江阴市校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 证明：由三角形三边关系得，AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD， 即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 证明：延长BP交AC于点D， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　 5＜PA+PB+PC＜10　 ． 尝试练习3： 1． （2026春•洛宁县期末）为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得 PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（　A　） A．5m B．10m C．15m D．20m 2． （2026春•双流区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a| ＝　3a﹣b﹣c ． 3．（2026春•青浦区校级期中）三条线段的长度分别为a、b、c，其中a＜b＜c，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）a、b、c只需要满足条件　②　 即可．（只填一个序号） ①b+c＞a；②b+a＞c；③a+c＞b． （2）若a＝3，c＝6，b为整数，求构成的三角形的周长． 解：（1）∵三条线段的长度分别为a、b、c，a＜b＜c， ∴b+c＞a和a+c＞b不管构不构成三角形一定成立，故①③不符合题意； 当b+a＞c时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形，故②符合题意． （2）∵a＝3，c＝6，a＜b＜c， ∴3＜b＜6， 由（1）得b+a＞c，即b+3＞6，解得b＞3， ∴3＜b＜6， ∵b为整数， ∴b＝4或b＝5， 当b＝4时，三角形的周长为3+4+6＝13； 当b＝5时，三角形的周长为3+5+6＝14． 四、总结反思： 1、三角形三边关系： 三角形的 任意 两边之和大于第三边。 两边之差＜第三边＜两边之和 2、三角形边、角关系： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.（大角对大边，大边对大角） 3、三角形内角和推论： 三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和 ；三角形的外角大于与它不相邻的一个内角 。 五、达标检测： 1．（2026•浙江模拟）四根木棒的长度分别为12cm，8cm，5cm，6cm．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，能够组成三角形的概率是（　A　） A． B．1 C． D． 2. 已知三角形的三边长分别为5，10，a，则a的取值范围是 （　D　） 　 A、7≤a≤17　　　　　B、5＜a＜10　　　 　C、5≤a≤10　　　D、5＜a＜15 3． 两根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒 是偶数，那么第三根木棒的取值情况有 4 种 。 4． 一个等腰三角形的周长为18cm. （1）已知腰长是底边的2倍，求各边的长；（2）已知其中一边长为4cm，求其它两边的长. 解：（1）设底边BC=a cm,则AC=AB=2a cm, ∵三角形的周长是18cm, ∴2a+2a+a=18， ∴a=， 2a=． 答：等腰三角形的三边长是cm,cm,cm. （2）当8cm为腰，设底边为x cm,可得：8+8+x=18， 解得：x=2， 三角形的三边长是2cm,8cm,8cm, 符合三角形的三边关系定理， 当8cm为底，设腰为x cm,可得：x+8+x=18， 解得：x=5， 三角形的三边长是5cm,5cm,8cm, 符合三角形的三边关系定理， 所以三边分别为2cm,8cm,8cm或5cm,5cm,8cm. 5．（2025春•秦州区期末）【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4， 解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：， 解得：5＜AB≤10． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $