精品解析：山东省聊城市东昌府区等3地2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年第二学期期末学业水平检测 七年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共13小题，90分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（ ） A. 检查某载人飞船的零部件质量 B. 检测一条河流的水质情况 C. 了解某市中学生的课外阅读时间 D. 调查一批玉米种子的发芽率 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查(普查)和抽样调查的选择，掌握普查的适用场景是解题关键，当调查要求结果准确，无破坏性，事关安全或调查对象范围可控时适宜用普查． 【详解】解：A、载人飞船零部件质量关系飞行安全，每个零件都必须检查，不能出错，因此适宜用普查； B、检测整条河流的水质，范围较大，不需要逐处检测，因此适宜用抽样调查； C、某市中学生数量较多，全面调查工作量大，因此适宜用抽样调查； D、调查玉米种子发芽率，检测过程会对种子造成破坏，具有破坏性，因此适宜用抽样调查． 2. 2026年科学家研制出全球最小的二维码，其面积仅为0.00000198平方毫米．数据0.00000198用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需根据幂的乘方法则、负整数指数幂的定义、单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则，逐一分析每个选项的运算是否正确． 【详解】解：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故A错误． ∵负整数指数幂的定义为（为整数）， ∴，故B正确． ∵单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘， ∴，故C错误． ∵单项式乘多项式，用单项式乘多项式的每一项再相加， ∴， 故D错误． 故选：B 4. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形中最小的锐角不能大于 B. 三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和 C. 在同圆中任意两条直径都互相平分 D. 等圆的半径相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质和圆的基础概念逐一判断各选项的正误即可找出错误说法． 【详解】解：A、三角形的内角和为，若最小锐角大于，则三个内角和一定大于，不符合三角形内角和定理，因此A说法正确； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并非等于这个三角形任意两个内角的和，因此B说法错误； C、同圆中所有直径都过圆心，圆心是任意两条直径的公共中点，因此任意两条直径互相平分，C说法正确； D、等圆是能够完全重合的圆，因此等圆的半径相等，D说法正确． 5. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解． 【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意； B选项是整式的乘法运算，不符合题意； C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意； D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意； 故选：A． 6. 一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得 ． 7. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，求和后选出正确选项． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 8. 如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（ ）万元． A. 40 B. 25 C. 26 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元，根据去年十二月总营业额和今年一月变化后总营业额的条件，列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 10. 如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，所以，，再根据三角形的内角和可得的值． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴，， 在中，， 即， 解得：． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 【答案】． 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 已知：如图，，，平分，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义；先证明，结合，可得，从而可得，再证明，再利用平行线的性质证明即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的传递性得出，利用平行线的性质求出的度数，结合已知比例关系求出的度数，最后根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：设底面为直线， 因为， 所以 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为， 所以 因为， 设， 因为， 所以 解得 所以 若， 则（两直线平行，内错角相等） 所以  所以当为度时，与平行． 14. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是____________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由题意得，；由的度数求得，从而可判定①；由平行线的性质，则可求得，从而可判定②；由可判定③；由可得，则可判定④； 【详解】解：由题意得，； ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴ ； ∴；故③正确； ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上所述，①②③④都正确． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 【答案】12°##12度 【解析】 【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小． 【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等， 所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°， 正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°． ∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°． 故答案为：12°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键． 三、解答题（本题满分75分，共有8道小题） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】(1)分别计算负指数幂、零指数幂，然后进行加减运算． (2)先分别计算单项式的乘法和积的乘方，再合并同类项． (3)观察到两项中都有公因式，可以用乘法分配律简化计算． (4)观察数字特点，，然后将原式变形为完全平方公式的形式． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 随着“双减”政策的推进，同学们的课余时间更多了．某校为了解学生课后阅读的喜好，对部分同学进行了调查（每人必选且只选一类），调查类别为：文学类、科普类、教辅类．并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图1补充完整； （3）求扇形统计图中阅读“教辅类”的学生所在扇形的圆心角的度数． （4）若该校共有1800名学生，请估计课后阅读科普类书籍的学生有多少人？ 【答案】（1）200名 （2） （3） （4）450人 【解析】 【分析】（1）运用文学类人数除以占比，得出调查的学生总人数； （2）运用调查的学生总人数分别减去文学类以及科普类的人数，即可得出教辅类的人数，最后补全条形统计图，即可作答． （3）运用“教辅类”的学生人数除以总人数，再乘，即可得出扇形统计图中“教辅类”的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：（名）， 答：此次抽样调查中，共调查了200名学生． 【小问2详解】 解：教辅类的人数为：（名）， 补全的条形统计图：略 【小问3详解】 解：扇形统计图中“教辅类”的学生所在扇形的圆心角的度数是： 【小问4详解】 解：（人） 答：课后阅读科普类书籍的学生有450人． 18. 如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 【答案】BE⊥AC，理由见解析 【解析】 【详解】BE⊥AC ． 理由如下：∵FG⊥AC， ∴∠GFC=90° ， ∵∠1=∠ABC， ∴DE∥BC， ∴∠2=∠EBC， 而∠2=∠3， ∴∠3=∠EBC， ∴FG∥BE， ∴∠BEC=∠GFC=90°， ∴BE⊥AC ． 19. 某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 （1）若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】（1）班委购买了书签50个、卡通笔30个 （2）共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个 【解析】 【分析】（1）设班委购买了书签个、卡通笔个，根据班委购买了书签和卡通笔共80个，共花费244元建立方程组求解即可； （2）设购买书签（）个，卡通笔（）个，根据购买费用为266元建立方程，求出方程的解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设班委购买了书签个、卡通笔个， 由题意得： 解得， 答：班委购买了书签50个、卡通笔30个． 【小问2详解】 解：设购买书签（）个，卡通笔（）个， 由题意得， ∴． ∵，是正整数，且，， ∴或或， 答：共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个． 20. 如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． （1）求证：； （2）已知，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【小问1详解】 证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）______； （2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）11 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）利用新定义的运算法则化简，得到，利用正方形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ， ∵， ∴原式． 22. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】（1）先将原式变形为，然后根据幂的乘方运算法则将其变形为，再根据同底数幂的乘除法运算法则求解； （2）运用同底数幂的乘法逆运算将其变形为，再往后继续求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 原式； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值为． 23. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②； （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ②由题意可知，，，， ， ，即， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业水平检测 七年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共23题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共13小题，90分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（ ） A. 检查某载人飞船的零部件质量 B. 检测一条河流的水质情况 C. 了解某市中学生的课外阅读时间 D. 调查一批玉米种子的发芽率 2. 2026年科学家研制出全球最小的二维码，其面积仅为0.00000198平方毫米．数据0.00000198用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形中最小的锐角不能大于 B. 三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角和 C. 在同圆中任意两条直径都互相平分 D. 等圆的半径相等 5. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 50 8. 如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（ ）万元． A. 40 B. 25 C. 26 D. 34 10. 如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_________． 12. 已知：如图，，，平分，若，则的度数为______． 13. 电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 14. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是____________． 15. 足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______． 三、解答题（本题满分75分，共有8道小题） 16. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）（用乘法公式计算）． 17. 随着“双减”政策的推进，同学们的课余时间更多了．某校为了解学生课后阅读的喜好，对部分同学进行了调查（每人必选且只选一类），调查类别为：文学类、科普类、教辅类．并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图1补充完整； （3）求扇形统计图中阅读“教辅类”的学生所在扇形的圆心角的度数． （4）若该校共有1800名学生，请估计课后阅读科普类书籍的学生有多少人？ 18. 如图，∠1=∠ABC，∠2=∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由. 19. 某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 （1）若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ （2）现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 20. 如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． （1）求证：； （2）已知，，求的度数． 21. 对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． （1）______； （2）如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？ 22. 小明在计算时，采用了如下的解法． ． 请你借鉴小明的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）已知满足，求的值． 23. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $