专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式讲义---- 2026年高一数学苏教版必修第一册暑假班预习提升讲义

2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 知识点一、从函数观点看一元二次方程 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 知识点二、从函数观点看一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点三、一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为________． 知识点四、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 知识点一、从函数观点看一元二次方程 题型一、二次函数零点求解与判断 【例1】求下列函数的零点： (1)； (2)； 【例2】判断二次函数在区间上是否存在零点. 【跟踪训练】 1．函数的零点是（　　） A．1，﹣3 B．3，﹣1 C．1，2 D．， 2. 已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 3.求下列函数的零点： (1)； (2). 4.证明：函数没有零点. 题型二、零点个数问题 【例3】设m为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求m的取值范围. 【跟踪训练】 1.若函数有两个零点，则实数的值为_______. 2.设m为实数，若函数有且只有一个零点，求m的值. 题型三、一元二次方程根的分布 【例4】已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【跟踪训练】 1.关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 2.设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________. 3.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 5.已知关于x的方程.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 知识点二、从函数观点看一元二次不等式 题型四、解不含参数的不等式 【例6】解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【例7】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【跟踪训练】 1. 解下列一元二次不等式 (1) (2) 2.解下列二次不等式. (1) (2) (3) (4) 题型五、解含参数一元二次不等式 【例8】求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【例9】解关于的不等式：． 【跟踪训练】 1.解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 2.解关于x的不等式 3.（1）当，若关于的不等式的解集不空，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 题型六、由一元二次不等式的解（集）求参数 【例10】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【例11】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪训练】 1.已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 2.若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 3.已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 4.已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是__________ 5.关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型七、一元二次不等式恒成立问题 【例12】已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【例13】若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为 . 【例14】若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【例15】已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. ，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 2. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 4.已知“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 5.任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点三、一元二次不等式的实际应用 题型八、一元二次不等式的实际应用 【例16】如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【跟踪训练】 1.某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 2.在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 3.某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 4.某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.    (1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 一、选择题 1.不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2.不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 3. 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5.设关于的不等式的解集为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 二、多项选择题 9.下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 10.下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 11.已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 三、填空题 12.不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 13.已知，则关于的不等式的解集是 ． 14. ，恒成立，则实数a的取值范围是 . 15.若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 四、解答题 16.求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 17.求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 18.已知函数，且的解集为. (1)求； (2)解关于的不等式 19.（1）解关于的不等式； （2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 20.设函数. (1)若关于x不等式的解集是，求实数a，b的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x不等式：. 21. 近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学暑假班预习提升讲义 专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 知识点一、从函数观点看一元二次方程 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 知识点二、从函数观点看一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点三、一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为________． 知识点四、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 知识点一、从函数观点看一元二次方程 题型一、二次函数零点求解与判断 【例1】求下列函数的零点： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令解关于方程即可. 【详解】（1）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （2）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. 【例2】判断二次函数在区间上是否存在零点. 【答案】存在零点. 【分析】令，由求根公式求根，即函数零点，判断是否在区间上即可. 【详解】令， 由求根公式可得一元二次方程的两个根分别为，. 因为， 所以. 因此，二次函数在区间上存在零点. 【跟踪训练】 1．函数的零点是（　　） A．1，﹣3 B．3，﹣1 C．1，2 D．， 【答案】B 【分析】函数的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可． 【详解】解：，或 所以函数的零点是 故选：B． 2. 已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【解答过程】由题意得方程的两根为和3， 由根与系数的关系可得 解得所以． 故选：A. 3.求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】(1)无零点(2)1 【详解】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 4.证明：函数没有零点. 【答案】证明见解析 【分析】根据二次函数的性质证明恒成立即可求证. 【详解】, 所以无解， 所以函数没有零点. 题型二、零点个数问题 【例3】设m为实数，已知二次函数的两个零点都在区间内，求m的取值范围. 【答案】 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足 ， 解得. 所以m的取值范围. 【跟踪训练】 1.若函数有两个零点，则实数的值为_______. 【分析】由函数有两个零点，转化为二次方程有两个不等实根，利用判别式能求出的取值范围． 【详解】函数有两个零点，所以二次方程有两个不等实根， ， 解得． 2.设m为实数，若函数有且只有一个零点，求m的值. 【答案】 【分析】由题知方程只有一个根，即求. 【详解】∵函数有且只有一个零点， ∴方程只有一个根， 则， ∴. 题型三、一元二次方程根的分布 【例4】已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【例5】关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问. 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 （3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 （4）若方程的一个根小于，一个根大于， 则，解得 （5）若方程的两个根都在内，则，解得 【跟踪训练】 1.关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】不妨设关于的方程的两实数根为，，利用韦达定理推出矛盾，即可得解. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，则， 若两根均大于，则，矛盾， 故不存在实数，使得关于的方程的两根均大于， 即实数的取值集合为. 故答案为： 2.设为实数，若二次函数在区间上有两个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】由题意方程在区间内有两个不同的根，根据二次方程根的分布即可求出参数的取值范围. 【解答过程】二次函数的对称轴为，且开口向上， 因为二次函数在区间上有两个零点， 所以方程在区间内有两个不同的根， 记方程的两根为，则， 解得，所以. 故答案为：. 3.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 4.已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 5.已知关于x的方程.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 知识点二、从函数观点看一元二次不等式 题型四、解不含参数的不等式 【例6】解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】根据一元二次不等式的求法直接求解即可. 【详解】（1）由得：，解得：或， 不等式的解集为或. （2），， 不等式的解集为. （3）由得：，解得：， 不等式的解集为. （4）由得：，解得：或， 不等式的解集为或. 【例7】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由的判别式可知， 的解集为. （2）由可得，解得， 所以不等式的解集为. （3），即，即，解得. 则其解集为. 【跟踪训练】 1. 解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】（1）；（2） 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【解析】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 2.解下列二次不等式. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1），（2），（3），（4）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得，解得或， 所以原不等式的解集为； （3）由， 得，即，解得， 所以原不等式的解集为. （4）由， 得，则，此不等式无解， 所以原不等式的解集为. 题型五、解含参数一元二次不等式 【例8】求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）整理不等式后，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 【例9】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【跟踪训练】 1.解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 2.解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 3.（1）当，若关于的不等式的解集不空，求实数a的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据实数a的正负性，结合一元二次方程根之间的大小关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，关于的不等式的解集不空， 所以一元二次方程的判别式大于零， 即，而，所以； （2） 当，不等式为，不等式的解集为； 当时，不等式化为，不等式的解集为 当时，方程的两个根分别为：. 当时，两根相等，故不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 综上： 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 题型六、由一元二次不等式的解（集）求参数 【例10】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】首先利用已知不等式的解集为，得到，同时得到的两个根，再利用根与系数的关系得到，，再代入求解即可 【详解】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 【例11】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【解答过程】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得、的值，由此可求得的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，因此，. 故选：B. 2.若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 3.已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 4.已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是__________ 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 5.关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 题型七、一元二次不等式恒成立问题 【例12】已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【例13】若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得 “都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【详解】若命题“，都有”是假命题, 则 “都有”是真命题， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，要使得，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 【例14】若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 【例15】已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【跟踪训练】 1. ，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 【答案】A 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 2. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得不等式对任意实数均成立，分和，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：因为不等式对任意实数均成立， 即不等式对任意实数均成立， 当，即时，有恒成立，满足题意； 当，即时， 则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 3.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以应有， 解得. 选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足. 故选：C. 4.已知“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解. 【详解】由“，”为假命题， 可知“，”为真命题， 设，则有在上恒成立，则须满足： ，解得：， 故答案为：. 5.任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 知识点三、一元二次不等式的实际应用 题型八、一元二次不等式的实际应用 【例16】如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 【跟踪训练】 1.某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 【答案】 【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解. 【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元， 出租的床位会减少10的倍张，即为张， 由题意可得该旅社每晚的收入为， 整理可得： 解得：， 因为，所以可取6，7，8，9， 此时每个床位的定价即为110，120，130，140， 所以每个床位的定价的取值范围是， 故答案为：. 2.在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. (1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; (2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【详解】（1）由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. （2）由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 3.某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 【答案】(1)250 (2) 【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数； （2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作， 由题意得：， 即，又，所以. 即最多调出250人参加乙项目工作. （2）由题知， 乙项目工作的工人创造的年总利润为万元， 甲项目余下工人创造的年总利润为万元， 则， 所以， 即恒成立， 因为，函数在上单调递减， 所以. 又，所以， 4.某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.    (1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （2）利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为，由图可知，，即，即， 所以，，所以，，其中， 矩形的面积为，其中， 由，整理可得，解得， 因此，当时，形活动区域的面积不小于平方米. （2）解：由（1）知，，其中， 故当时，函数取最大值，即， 因此，当米，米时，矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米. 一、选择题 1.不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式，求出解集. 【详解】原不等式可变形为，所以. 故选：B. 2.不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 3. 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【解答过程】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 4. 当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由，不等式可化为，因为的解集为，，结合一元二次不等式解法可得结论. 【详解】因为，， 方程的解集为，且， 所以不等式的解集为，故D正确． 故选：D 5.设关于的不等式的解集为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依题意、是方程的两根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以、是方程的两根， 所以，，所以. 故选：C. 6.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【解答过程】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A. 7.对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据不等式恒成立及二次函数性质有，即可求参数范围. 【详解】令开口向上，由在上恒成立， 所以，可得. 故选：B 8.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 二、多项选择题 9.下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以不等式的解集为，所以A正确， 对于B，因为， 所以方程的两根为， 所以不等式的解集为，所以B错误， 对于C，因为， 所以不等式的解集为，所以C正确， 对于D，因为， 所以方程的根为， 所以不等式的解集为，所以D错误， 故选：AC 10.下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（    ） A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0 C．ax2+4x-7>0 D．x2<0 【答案】BD 【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可. 【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误. 故选：BD. 11.已知函数，且的解集为，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．且 C．若，则不等式的解集为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于，根据不等式的解集，可得的两根，进而求出对称轴；对于，根据不等式解的结构及韦达定理可判断的范围；对于，求出的值，直接解不等式即可；对于，利用，化简表达式，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知方程的根为和，且， 对称轴为直线，正确； 由韦达定理得，， 则，错误； 若，则， 所以方程可化为， 即恒成立，故不等式的解集为，正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，正确， 故选： 三、填空题 12.不等式的解为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】直接求解一元二次不等式即可. 【详解】，解得或， 故不等式解集为. 故选：A 13.已知，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果. 【详解】关于的不等式等价于， 由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：.. 14. ，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题运算求解. 【详解】因为，整理得， 当时，则不恒成立，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故答案为：. 15.若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果. 【详解】由，可得， 由题意当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，为，则， 此时，与矛盾； 当时，即，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，不等式的解集为； 若满足解集中仅有四个整数，可能为，或， 当为时，则，且，无解， 当整数解为时，，且， 解得； 综上知，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 16.求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据解一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. （2）因为不等式等价于， 所以解得或， 所以不等式的解集为或. （3）因为不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （4）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. 17.求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【解答过程】（1）将不等式化简为，即 解得x＞1或， 则不等式的解集为； （2）将不等式化简为， 因为， 所以该不等式无实数解，即解集为. （3）因为，即，所以通分可得， 则，解得， 所以解集为． 18.已知函数，且的解集为. (1)求； (2)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据韦达定理列式求出即可得解； （2）将不等式整理为，再分类讨论可求出结果. 【详解】（1）因为的解集为,所以和是方程的两根， 所以，，即，， （2）由,整理得， 当时，得，解集为； 当时，，得或，解集为； 当时，，得，解集为； 当时，，得或，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19.（1）解关于的不等式； （2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）分类讨论解不等式可得结果； （2）分类讨论项系数，利用判别式可得结果. 【详解】（1）①当时，原不等式化为,解得或； ②当时，原不等式即为，解得； ③当时，原不等式化为， 若时，解得； 若时，得，不等式无解； 若时，解得. 综上可知，当时，解集为 或； ②当时，解集为； ③当时，解集为； 当时，解集为空集； 当时，解集为. （2）①当，即或时， 若，不等式化为，即，不符合题意； 若，不等式化为，符合题意. ②当，即且时，由二次不等式对一切实数恒成立， 得，解得. 综上所述：实数的取值范围为． 20.设函数. (1)若关于x不等式的解集是，求实数a，b的值； (2)存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围； (3)解关于x不等式：. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）为的两根，且，由韦达定理得到方程组，即可求出答案； （2）化简得到存在实数，使得成立，从而只需，即，解得； （3）将原式因式分解得到，分，，，和五种情形，得到不等式解集. 【详解】（1）由题意得为的两根，且， 由韦达定理得，解得； （2），即， ， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即，解得； （3）由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，1， 故的解集为； 若，则，的解集为； 若，则，故， 故解集为； 若，则，的解集为； 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为；时，解集为； 21. 近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费， (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【详解】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $