精品解析：甘肃省武威第六中学2024-2025学年高一下学期期末诊断考试数学试卷

高一年级诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占，必修第二册占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，是棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月30次训练成绩的方差为24 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知向量，若，则______. 13. 已知，且，则的最小值是______. 14. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的取值范围； （3）若，求外接圆面积的最小值. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知，且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占，必修第二册占. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可求得结果． 【详解】由题意可得． 故选：B． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移规则得出选项. 【详解】因为，所以要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：A 4. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，解得. 故选：B. 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，解得. 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 6. 若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题干得出共轭复数也是方程的根，然后利用韦达定理求出的值，进而得到复数，最后确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】复数是关于的一元二次方程的一个根， 它的共轭复数也是方程的根， 由韦达定理得，即， ， ， 故在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：. 7. 在中，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量的线性运算及三点共线性质计算求解. 【详解】因为，所以，则. 因为是线段的中点，所以. 因为三点共线，所以， 所以解得. 故选：D. 8. 甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正方体中，是棱的中点，则（ ） A B. 平面 C. D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方形的性质，直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质即可判断选项A和B；分别取棱，的中点，，连接，，，，，根据线线平行、线面平行及面面平行的判定和性质即可判断选项C和D． 【详解】对于选项A，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，故选项A正确； 对于选项B，连接， 因为四边形是正方形，所以， 又由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，且，所以平面， 又平面，所以，结合选项A有， 因为，平面，且，所以平面，故选项B正确； 分别取棱，的中点，，连接，，，，， 对于选项C，由正方体的性质可知，则不成立，故选项C错误； 对于选项D，因为，分别是棱，的中点，所以，所以， 又平面，则平面， 假设平面， 又，平面，且，则平面平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，且，所以平面平面， 则平面平面，与平面平面矛盾，故假设不成立， 即平面不成立，故选项D错误． 故选：AB． 10. 一分钟跳绳是中考体育选考项目之一.小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果.小明记录了他在3月份的10次训练成绩和4月份的20次训练成绩.通过计算，他发现3月份的训练成绩的平均值为177，方差为5.4；4月份的训练成绩的平均值为186，方差为6.3.下列结论正确的是（ ） A. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为181.5 B. 小明这两个月的30次训练成绩的平均数为183 C. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为6 D. 小明这两个月的30次训练成绩的方差为24 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出两个月的30次训练的平均数，进而代入层抽样的样本方差公式进行计算即可. 【详解】对于AB，这两个月的30次训练的平均数为，故A错误，B正确； 对于CD，故这两个月的30次训练的方差为，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C 若，则 D. 是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理可求得可判断A；由题意，结合三角形的面积关系可得，，代入计算可判断BC；进而计算可判断D. 【详解】由正弦定理得，得，则，故A正确． 设，则， ． 当时，， 当时，，得，故B错误，C正确． ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量垂直的数量积坐标运算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：9 13. 已知，且，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 14. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直三棱柱的结构特征及已知确定外接球球心，结合几何关系有，应用基本不等式求最小值，进而求外接球表面积的最小值. 【详解】由题意得，设该三棱柱外接球的球心为矩形的中心O，则其半径为， 所以， 当且仅当时等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化简，即可求得，再利用平方关系和弦化切即可求值； （2）利用正切的两角和公式即可求值. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以，所以，所以. 因为，且，所以， 则. 【小问2详解】 由两角和的正切公式可得. 由（1）可知，则，即. 16. 某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第60百分位数； （3）现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由小矩形的面积之和为1可以求出a的值； （2）根据频率之和，第60百分位数成绩在之间，均分该区间得到答案； （3）先利用频率之比求出，两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的，算出概率即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得 小问2详解】 ，，，，对应的频率依次为： 0.1，0.15，0.25，0.35，0.15 第60百分位数累计频率为0.6，在之间， 【小问3详解】 ，频率之比为， 抽2人，抽3人， 设抽中A,B两人，抽中C,D,E三人， 则所有组合有：，共10种， 2人恰好在同一组的有：，共4种， ∴2人恰好在同一组的概率为： 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【小问1详解】 设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. 【小问2详解】 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的取值范围； （3）若，求外接圆面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围； （3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理得， 由余弦定理：， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理得 又因为，所以 所以的取值范围是：； 【小问3详解】 由（2）可得， 所以外接圆， 所以外接圆面积的最小值为. 19. 定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积.如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点（不包含端点），且，延长，，分别交，的延长线于点，. （1）已知，且三棱柱的体积为18. ①求三棱柱与三棱锥重合部分的体积； ②求三棱柱与三棱锥的重合度. （2）若三棱柱与三棱锥的重合度，求的值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）先设的面积为，三棱柱的高为，得到三棱柱的体积.①作，交于点，连接，求证平面平面得到为棱的中点，进而依次得三棱柱的体积、三棱锥的体积，从而得三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②求证得到，从而求出三棱锥的体积即可由重合度定义求解. （2）先设，进而求出三棱柱与三棱锥重合部分的体积，接着求出进而求出，从而求出三棱锥的体积，再由重合度定义列出关于的方程即可求解. 【小问1详解】 设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积. ①作，交于点，连接， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因为，所以为棱的中点， 则三棱柱的体积，三棱锥的体积. 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. ②因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 【小问2详解】 设，则，从而， 故三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥重合部分的体积. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面平面，且平面， 所以，所以， 则，故， 从而三棱锥的体积， 故三棱柱与三棱锥的重合度. 因为，所以，所以， 所以，解得或或. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$