2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（提升版）-2026年暑假预习新高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础应用到综合拓展，全面覆盖均值不等式求最值及应用，通过递进式题型设计培养数学运算能力与推理意识，适配暑假提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一均值不等式直接应用|8道单选聚焦公式基本变形（如正数条件下最值求解）| |能力提升|多条件综合与概念辨析|3道多选+3道填空考查易错点（如等号成立条件）及参数问题| |综合拓展|复杂情境下多步骤应用|5道解答题分问递进，结合恒成立问题（如第18题最值与范围综合）|

2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2． 故选：C 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】把用表示代入，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得， 所以. 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 【答案】C 【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，，且，所以， 又由可得，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18. 故选：C. 4．（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【详解】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 7．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】D 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中 ， 当且仅当，即时取等号，可知. 故选：D 8．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】原问题转化为恒成立，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）下列正确的有（   ） A．当时，的最小值是9 B．若，则xy的最大值与最小值之和为0 C．的最小值是2 D．当时，若，则的最小值为为 【答案】ABD 【分析】对于A、B、C，利用基本不等式求最值，注意取值条件，即可判断；对于D，利用基本不等式“1”的代换求目标式最值即可. 【详解】A：由题设，则， 当且仅当时等号成立，故原式最小值为9，对； B：由题设，当且仅当时等号成立， 所以，故xy的最大值与最小值之和为0，对； C：由， 当且仅当时等号成立，显然，错； D：由题设，则， 当且仅当，即时等号成立，对. 故选：ABD 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D．（a 【答案】ACD 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以（a，当且仅当时，等号成立，故D正确． 11．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 13．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 【答案】/ 【分析】先换元，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】令，，所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 结合，解得，即时，，所以的最大值为. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知正实数满足.若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由得,化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·天津·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）已知，，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由结合基本不等式可求得的最大值； （2）由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为； （2）因为，，，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 16．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知正实数a、b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)4 (2)25． (3) 【分析】（1）先分析得到，．然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最值即可； （2），由利用基本不等式求解最值即可； （3），由利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）正实数a、b满足，所以，所以，． 去分母得，即，也即. 因为a、b是正实数，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为4． （2）因为，，所以，， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为25． （3）因为，，， 所以 ， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为． 17．（25-26高一上·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】(1)的取值范围都是，的最大值为3． (2)最大值为6，此时或． (3)时取得最小值，最小值为 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【详解】（1），即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． （2）由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． （3），即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 18．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知正实数、满足 (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最大值. 【答案】(1)9. (2)8 (3)6. 【分析】（1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解. （2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可. （3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值. 【详解】（1） 当,即时等号成立，有最小值9. （2）方法一（双不等式法同时取等）： （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 所以当，时，有最小值8. 方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）： （当且仅当时等号成立）， 所以当，时，有最小值8. 方法三（配完全平方法）： . ∵，当且仅当，时等号成立. ， 当时，有最小值8. 方法四（消元法）： ， 令（由得），则， 则 ，当时时等号成立，所以有最小值8. （3）方法一（整体代入转化）： ， 原式， 当时，即，时等号成立，有最大值6. 方法二（整体代入消元法）： 由， 所以 （当且仅当时等号成立）. 方法三（乘1法）： 原式. 当时，即，时等号成立，有最大值6. 19．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为，. 【分析】（1）将目标式变形，借助平方数为非负数求出最小值. （2）利用基本不等式求出最大值，结合取得最大值的条件及恒成立求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值及的关系. 【详解】（1）由，，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值是2. （2）由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号，而， 因此，则，所以实数的取值范围为. （3）由，得，， 当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为，此时. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 4．（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 7．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 8．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）下列正确的有（   ） A．当时，的最小值是9 B．若，则xy的最大值与最小值之和为0 C．的最小值是2 D．当时，若，则的最小值为为 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D．（a 11．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·江西上饶·期末）已知实数，满足，则的最大值为_____． 13．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，，，则的最大值为____. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知正实数满足.若，则的最小值为________. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·天津·阶段检测）（1）已知，求的最大值． （2）已知，，，求的最小值. 16．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知正实数a、b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 17．（25-26高一上·河北·期中）已知实数满足． (1)分别求出的取值范围和的最大值． (2)求的最大值，并求此时，的值． (3)当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 18．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知正实数、满足 (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最大值. 19．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $