2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（基础版）-2026年暑假预习新高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 均值不等式及其应用基础版同步练，通过基础巩固、综合应用分层设计，覆盖从概念理解到实际建模的知识路径，适配暑假基础复习，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-8题）|单一均值不等式直接应用|聚焦基本形式与条件判断，如最值计算| |提升层（选择9-11题、填空12-14题）|多考点综合（结合方程、不等式）|通过多选题、填空题强化推理能力，如条件最值| |综合应用层（解答15-19题）|实际情境建模与证明|以储物仓库建造等问题培养模型意识，分步骤深化应用|

2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 3．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 4．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 5．（25-26高一上·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，结合及，即可求解. 【详解】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以，    故选：D. 6．（25-26高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 8．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案. 【详解】，且， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·重庆·期末）已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A，通过均值不等式求解；B，D，将用表示后代入原式求解范围；C，利用乘上原式不改变式子大小来求解范围. 【详解】选项A，因为，所以，解得， ，所以，故A错误； 选项B，，所以，且等号在时成立，故B正确； 选项C，，等号在时成立，故C正确； 选项D，，等号在时成立，故D正确； 10．（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 11．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，即，解得， 又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A正确； 对于B，由A知，，所以，当且仅当时取得等号，故B错误； 对于C，由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 13．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 14．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 【答案】 （1）证明：， 因为，，所以，所以，所以； （2）18． 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用均值不等式求解. 【详解】（1）略 （2）解：因，，可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为18． 16．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 17．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】(1)，其中， (2) 【分析】（1）借助侧面与底面的建造成本及成本预算计算即可得； （2）法一：借助基本不等式可将转化为，在解不等式即可得；法二：利用表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 18．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）若，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）6. 【分析】（1）变形得到，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用进行求解； （3）变形，由基本不等式得到，解不等式求出答案. 【详解】（1）若，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为9； （3），，，故， 解得或（舍去）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为6. 19．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 均值不等式及其应用课时同步练习卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·云南玉溪·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 3．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 8．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·重庆·期末）已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 11．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 13．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 14．（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·云南曲靖·期末）（1）已知，若，求证：； （2）若，且，求的最小值． 16．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 17．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 18．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）若，求的最大值； （2）已知，求的最小值； （3）已知，，，求的最小值. 19．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $