专题05二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学九年级上册.

专题05二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆ 二次函数与一元二次方程的关联 （1）代数转化：对二次函数y=ax2+bx+c.a≠0，令y=0，即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0； （2）数形对应：一元二次方程的实数根，对应抛物线与x轴交点的横坐标。 ◆ 判别式Δ=b2-4ac的数形对应关系 （1）Δ>0：方程有两个不相等实数根⟺抛物线与x轴有 2 个交点； （2）Δ=0：方程有两个相等实数根⟺抛物线与x轴仅有 1 个交点，顶点在x轴上； （3）Δ<0：方程无实数根⟺抛物线与x轴无交点。 ◆ 借助函数图象求解一元二次方程 （1）求解ax2+bx+c=0：观察抛物线与x轴交点横坐标； （2）求解ax2+bx+c=k（k为常数）：观察抛物线与直线y=k交点横坐标。 ◆ 抛物线与x轴两交点间线段长度计算 结合一元二次方程两根推导两点间距基础计算公式。 ◆ 根据图象判断函数值正负, 结合抛物线开口方向、与x轴交点位置，确定y>0,y<0时自变量x的取值范围。 ✺学习目标 ◆ 概念理解 1.掌握二次函数转化为一元二次方程的方法，准确理解 “方程实数根” 与 “抛物线和x轴交点横坐标” 的等价关系； 2.牢记判别式Δ的三种取值对应的结论，能同步判断一元二次方程根的个数、抛物线与x轴交点个数； 3.区分ax2+bx+c=0与ax2+bx+c=k两类方程对应的几何图象，理解利用图象解方程的数形结合思想。 ◆ 基础运算 1.已知二次函数解析式，会计算判别式，快速判断抛物线与x轴交点个数； 2.能求解对应一元二次方程，写出抛物线与x轴交点坐标；已知抛物线与x轴交点，可直接写出对应一元二次方程的实数根； 3.能根据函数图象读取一元二次方程的近似实数根； 4.熟练运用公式计算抛物线与x轴两个交点之间的线段长度。 ◆ 图象分析 1.建立数形结合解题思维，实现方程实数根与抛物线交点坐标的相互转化、推导； 2.结合抛物线开口方向、与x轴交点，准确写出y>0、y<0对应的自变量取值范围。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.一元二次方程的解的估算 题型12.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 核心数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：画出y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标即为方程的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与水平线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点三、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点四、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点五、利用图像法解不等式 直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值，不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型◆精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．，C．， D．， 2．二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 3．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与轴交点的坐标； (2)已知，是该二次函数图象上的两点，试比较，的大小关系． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 3．已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 3．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 3．二次函数（为常数）的图象与轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 则方程的根为（   ） A．或0 B．0或1 C．1或3 D．或3 2．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 3．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 3．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 3．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 题型8.图象法解一元二次不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 3．二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 3．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和两点． (1)求函数解析式 (2)点和点在抛物线上，若，则的取值范围是________． 题型11.一元二次方程的解的估算 1．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 2．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） ✺巩固测试 一、单选题 1．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 2．已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 3．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 4．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 7．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 8．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 9．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 三、解答题 11．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 12．已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 15．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数与一元二次方程暑假预习讲义 ✺知识框架 ◆ 二次函数与一元二次方程的关联 （1）代数转化：对二次函数y=ax2+bx+c.a≠0，令y=0，即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0； （2）数形对应：一元二次方程的实数根，对应抛物线与x轴交点的横坐标。 ◆ 判别式Δ=b2-4ac的数形对应关系 （1）Δ>0：方程有两个不相等实数根⟺抛物线与x轴有 2 个交点； （2）Δ=0：方程有两个相等实数根⟺抛物线与x轴仅有 1 个交点，顶点在x轴上； （3）Δ<0：方程无实数根⟺抛物线与x轴无交点。 ◆ 借助函数图象求解一元二次方程 （1）求解ax2+bx+c=0：观察抛物线与x轴交点横坐标； （2）求解ax2+bx+c=k（k为常数）：观察抛物线与直线y=k交点横坐标。 ◆ 抛物线与x轴两交点间线段长度计算 结合一元二次方程两根推导两点间距基础计算公式。 ◆ 根据图象判断函数值正负, 结合抛物线开口方向、与x轴交点位置，确定y>0,y<0时自变量x的取值范围。 ✺学习目标 ◆ 概念理解 1.掌握二次函数转化为一元二次方程的方法，准确理解 “方程实数根” 与 “抛物线和x轴交点横坐标” 的等价关系； 2.牢记判别式Δ的三种取值对应的结论，能同步判断一元二次方程根的个数、抛物线与x轴交点个数； 3.区分ax2+bx+c=0与ax2+bx+c=k两类方程对应的几何图象，理解利用图象解方程的数形结合思想。 ◆ 基础运算 1.已知二次函数解析式，会计算判别式，快速判断抛物线与x轴交点个数； 2.能求解对应一元二次方程，写出抛物线与x轴交点坐标；已知抛物线与x轴交点，可直接写出对应一元二次方程的实数根； 3.能根据函数图象读取一元二次方程的近似实数根； 4.熟练运用公式计算抛物线与x轴两个交点之间的线段长度。 ◆ 图象分析 1.建立数形结合解题思维，实现方程实数根与抛物线交点坐标的相互转化、推导； 2.结合抛物线开口方向、与x轴交点，准确写出y>0、y<0对应的自变量取值范围。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.一元二次方程的解的估算 题型12.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 核心数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：画出y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标即为方程的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与水平线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点三、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点四、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点五、利用图像法解不等式 直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值，不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型◆精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．，C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 2．二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 3．已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与轴交点的坐标； (2)已知，是该二次函数图象上的两点，试比较，的大小关系． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，与坐标轴交点． （1）令，解方程，即可求解； （2）根据抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：令，则 解得： ∴该二次函数的图象与轴交点的坐标为和 （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵，是该二次函数图象上的两点， ∴． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 2．二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 3．已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设顶点式，代入求值即可； （2）根据抛物线与轴的交点问题，即时，求函数值即可． 【详解】（1）解：设二次函数的顶点式为：， ∵顶点为， ∴， 将代入得， ∴， 则二次函数的解析式为：， （2）解：令， 则， 解得：， 所以二次函数与轴的交点坐标为：． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 2．二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 3．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 2．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 3．二次函数（为常数）的图象与轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 【答案】与 x 轴相交，有两个交点 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与x轴交点的个数．根据二次函数与 x 轴交点个数的判别方法，计算判别式的值，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数的图象与 x 轴相交，且有两个交点． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．二次函数（为常数，且）中的与的部分对应值如表： … 0 1 3 … … 3 5 3 … 则方程的根为（   ） A．或0 B．0或1 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】先将待求解方程移项变形，可得方程的根就是二次函数中满足的的值，结合表格给出的与的对应值即可求解． 【详解】解：对移项变形，得， ∴方程的根，是二次函数中满足的的值． 由表格可知： ∵当时，，当时，， ∴和都满足； ∴方程的根为和． 2．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 3．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 3．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 2．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 3．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果； （2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 2．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 3．二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 2．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 3．已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先得到该二次函数图象的开口方向和对称轴，再求得时的x值，然后根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵由表格可知该二次函数的图像与轴的交点分别是，． ∴设该二次函数的表达式为． ∵当时，， ∴该二次函数的表达式为． 解得． ∴该二次函数的表达式为，即． （2）解：由得，该二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 解方程得，， ∴当时，或． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 2．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和两点． (1)求函数解析式 (2)点和点在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． ()待定系数法求出函数解析式； ()根据二次函数的增减性，进行判断即可. 【详解】（1）解：把点和代入函数解析式得： ， 解得 ∴ （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点和点在抛物线上，且， ∴，即：， 解得． 题型11.一元二次方程的解的估算 1．根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 2．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 3．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. ✺巩固测试 一、单选题 1．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 2．已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 3．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 4．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 5．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 二、填空题 6．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【分析】求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与x轴的交点坐标的纵坐标为0． 7．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当或时，， 故答案为：或 ． 8．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 9．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 三、解答题 11．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 【答案】(1)24米 (2)球的水平距离是30米 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 12．已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得，根据表中的数据特征得出点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得的值． 【详解】（1）解：当和时对应的值相等， 故二次函数的对称轴为， ∴； 由表格知，图象过， ∵图象与y轴相交于点， ∴； （2）略 （3）解：新图象如图： 由图象可知，直线与新图象有两个公共点，直线与新图象有两个公共点， 综上，或． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 14．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 15．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，即可求解； （2）①由函数的图象与x轴有公共点，可得，即可求解； ②由函数的图象与x轴有两个公共点，可得 或 ，再分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $