第07讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第07讲 二次函数与一元二次方程 （2大考点6大题型） 学习目标 1.掌握二次图像与X相交的意义； 2.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系； 3.掌握二次函数判别式与一元二次方程根的个数之间的关系； 4.掌握二次函数的图像交点与不等式解集之间的关系。 考点整理 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 题型归纳 【题型1 求抛物线与X轴、Y轴的交点】 1．抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 2．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，然后用待定系数法求出抛物线解析式，再令求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 3．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 4．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 5．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 【题型2 已知函数值求自变量的值】65- 9．已知二次函数，当时，求的值． 【答案】 【详解】解：令， 整理得， 十字相乘得， 解得 10．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 11．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 【答案】(1)24米 (2)球的水平距离是30米 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （米）． （2）解：由题意得， 解得 ∵第一次到达， ∴． 答：球的水平距离是30米． 12．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 【题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 13．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 14．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 15．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 16．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况．由抛物线对称轴求出b，将方程转化为抛物线与水平线的交点问题，根据在给定区间内有两个不等实根的条件，确定的范围，进而得到t的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵抛物线的对称轴， ∴， 即， ∴， ∴抛物线为， 方程可化为， 即函数与在内有两个交点， 当时，， 当时，， 当时，， ∵关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根， ∴需满足， 即， 故选：D． 【题型4 图像法确定二次函数的近似根】 17．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 18．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 19．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 20．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 【题型5 利用不等式求自变量或函数值的范围】 21．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 22．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，， 故答案为：． 23．已知二次函数（a为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求a的值； (2)在（1）的条件下，当时，直接写出y的取值范围： ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）把点代入中，即可求得； （2）由求得的a值，得到二次函数解析式，配方得到抛物线对称轴；结合函数图象的增减性质及自变量的范围，即可得到函数值的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； （2）解：当时，二次函数为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，； ∴当时，； 故答案为：． 24．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是___________．（写出一个符合题意的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，可知无实数根，即，然后解不等式，在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴无实数根， ∴， 解得：， b的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 【题型6 根据交点确定不等式的解集】 25．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：根据图示，抛物线的图象开口向上，经过，对称轴直线为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当或时，， 故答案为：或 ． 26．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 27．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 28．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数与一元二次方程 （2大考点6大题型） 学习目标 1.掌握二次图像与X相交的意义； 2.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系； 3.掌握二次函数判别式与一元二次方程根的个数之间的关系； 4.掌握二次函数的图像交点与不等式解集之间的关系。 考点整理 1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 题型归纳 【题型1 求抛物线与X轴、Y轴的交点】 1．抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 2．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过，两点，与轴相交于另一点，求点的坐标． 3．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 4．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 【题型2 已知函数值求自变量的值】65- 9．已知二次函数，当时，求的值． 10．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 11．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式来估计． (1)当球的水平距离达到60米时，球上升的高度是多少？ (2)当球的高度第一次达到21米时，球的水平距离是多少？ 12．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【题型3 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 13．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 15．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 16．抛物线的对称轴，若关于的一元二次方程在范围内有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．3 B． C．3 D． 【题型4 图像法确定二次函数的近似根】 17．下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 18．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 19．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 20．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【题型5 利用不等式求自变量或函数值的范围】 21．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 22．如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，当时，的取值范围是________． 23．已知二次函数（a为常数）． (1)若二次函数的图象经过点，求a的值； (2)在（1）的条件下，当时，直接写出y的取值范围： ． 24．已知二次函数与x轴没有交点，则b的取值可以是___________．（写出一个符合题意的值即可） 【题型6 根据交点确定不等式的解集】 25．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 26．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 28．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $