第08讲 反比例函数的概念（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）2026年暑假人教版九年级数学上册衔接讲义

第08讲 反比例函数的概念（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用反比例函数描述数量关系 典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数 典型例题三 根据反比例函数的定义求参数 典型例题四 求反比例函数值 典型例题五 由反比例函数值求自变量 典型例题六 求反比例函数解析式 知识点01 反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【典型例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 【例4】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）一只不透明的袋子中装有个小球，分别标有数字，，，，，这些球除数字外都相同． (1)从袋子中随机摸出个球，求摸到球上面的数字是负数的概率； (2)从袋子中随机摸出个球，用球上面的数字作为点的横坐标，球不放回，再随机摸出个球，用球上面的数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法，求摸出球上面的数字组成的点恰好在反比例函数图象上的概率． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 3．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【例3】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 【例4】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 3．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．             【典型例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【例2】25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【例3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【例4】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 1．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 3．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【典型例题四 求反比例函数值】 【例1】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【例4】（2025·江苏扬州·一模）如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 2．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； (1)求的函数关系式； (2)的面积是___________； (3)将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 3．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 【典型例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级下·重庆·期中）下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【例3】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【例4】（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____． 1．（2026·广东广州·二模）已知曲线：过点． (1)求的值； (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 3．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【典型例题六 求反比例函数解析式】 【例1】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【例3】（2026·山西朔州·模拟预测）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【例4】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 3．（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D．     3．（2026·重庆·模拟预测）下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 4．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 7．（25-26九年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 8．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 9．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为，宽为，那么是的函数吗？是反比例函数吗？ 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数．问： (1)当n为何值时，y是x的反比例函数？ (2)y能否是x的正比例函数？请说明理由． 13．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 14．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 15．（25-26九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 反比例函数的概念（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用反比例函数描述数量关系 典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数 典型例题三 根据反比例函数的定义求参数 典型例题四 求反比例函数值 典型例题五 由反比例函数值求自变量 典型例题六 求反比例函数解析式 知识点01 反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【答案】 ，反比例函数 ，反比例函数 ，反比例函数 ，一次函数 【分析】本题主要考查了求函数表达式，一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的定义． （1）根据三角形面积公式求出函数解析式，然后判断函数类型即可； （2）根据煤的总吨数平均每天的用煤量可使用的天数列出关系式，然后进行判断即可； （3）根据总钱数购买的数量每本练习本的单价列出关系式，然后进行判断即可； （4）根据年产值今年产值增加的数量列出关系式，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）三角形的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （2）可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （3）购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （4）年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为，该函数为一次函数． 故答案为：，一次函数． 【典型例题一 用反比例函数描述数量关系】 【例1】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）三角形的面积为，这时底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据面积公式推导出函数关系式，再结合边长和高都是正数确定函数图像所在的象限． 【详解】解：根据题意可知，，即， 可知函数图像为位于第一象限的反比例函数． 【例3】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，读懂题意，准确列举符合题意的点是解决问题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上需满足，从中任选两个数记作和，考虑所有有序对，计算满足的概率即可得到答案． 【详解】解：从中任选两个数记作和，所有可能的有序对共有种，列举如下： 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 满足的有序对有、、、，共四种， 点在反比例函数图象上的概率为， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）一只不透明的袋子中装有个小球，分别标有数字，，，，，这些球除数字外都相同． (1)从袋子中随机摸出个球，求摸到球上面的数字是负数的概率； (2)从袋子中随机摸出个球，用球上面的数字作为点的横坐标，球不放回，再随机摸出个球，用球上面的数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法，求摸出球上面的数字组成的点恰好在反比例函数图象上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）先列表，再找出组成的点在反比例函数图象上的结果，由概率公式求解即可． 【详解】（1）在数字，，，，中，负数有，，共个， ∴摸到球上面的数字是负数的概率为． （2）列表分析如下： 纵坐标横坐标 由列表可知，一共有种等可能的结果，其中组成的点在反比例函数图象上的结果有、、、共种， 故摸出球上面的数字组成的点恰好在反比例函数图象上的概率为． 2．（25-26九年级上·天津南开·期末）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涵盖了反比例函数表达式求解、代入求值等知识，同时结合了物理中的杠杆平衡原理． （1）分别计算每组数据的乘积，对比发现只有第5组的乘积不等于，从而得出结论； （2）由（1）可知与成反比例关系，因此设函数表达式为，代入一组正确的数据即可求出的值； （3）已知弹簧秤的示数，将其代入已求出的函数表达式，即可解出对应的值． 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 【典型例题二 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（25-26八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 【例2】（2026·山东济南·二模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 【例3】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数存在的的值：_____． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】解：∵函数存在， ∴， 解得， 故的值可为3． 【例4】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 2．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示；所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值．环保局要求该企业立即整改．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x/天 3 5 6 10 … 硫化物的浓度 5 3 1.5 … (1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在20天以内不超过最高允许值？为什么？ 【答案】(1)硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 (2)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法以及反比例函数图象性质，解题的关键是正确求出反比例函数解析式并且熟练掌握反比例函数的性质． （1）由表格可推得：为定值，即当时，是x的反比例函数，进而求得结果； （2）将代入反比例函数关系式，从而求得的值，进而根据反比例函数图象性质，得出结论． 【详解】（1）解：当时，， 是x的反比例函数， ∴硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为． （2）解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值．理由如下： 当时，， ∵，， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在20天以内不超过最高允许值． 3．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据题意确定出反比例函数并求出其表达式是解题的关键． （1）把各点依次连起来，可以猜想是反比例函数的图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可，并任选一对值验证即可； （2）当时, 即，代入（1）中求出的函数表达式中即可求得x的值，则可求得空矿泉水瓶的质量． 【详解】（1）解：连线如下图所示： 反比例函数；                                         设 y关于x的函数表达式为 ， 把代入函数表达式得，解得，             ∴y关于x的函数表达式为 ．                        把代入函数表达式，得， 成立． （2）解：当时, 即, 解得． 则． 所以空矿泉水瓶的质量为． 【典型例题三 根据反比例函数的定义求参数】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 【例2】25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 【例3】（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 【例4】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是反比例函数的图像的一部分，已知点，则的值可能是___________． 【答案】7（答案不唯一，k大于6即可） 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点，求出，与点比较后得到，即可得到的取值范围，据此得到答案． 【详解】解：过点作轴交轴于点，交反比例函数的图象于点， ∵点，当时，，即， 由图可知，， ∴， 则的值可能是7， 故答案为：7（答案不唯一，k大于6即可） 1．（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质． （1）函数是反比例函数，因此指数为，且系数不为零；点在图像上，代入可求和； （2）求出函数解析式后，根据且，分和讨论的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， （2）由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 3．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）； （2）A； （3）① ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②略 【典型例题四 求反比例函数值】 【例1】（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 【例2】（25-26八年级下·甘肃天水·期中）下列给出的各个点中，不在双曲线上的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的坐标特征，双曲线上任意一点的横纵坐标乘积满足，计算各选项点的横纵坐标乘积，找出乘积不等于的点即可． 【详解】∵ ， ∴ 双曲线上的点一定满足。 A. ，因此该点不在双曲线上，符合要求； B. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； C. ，因此该点在双曲线上，不符合要求； D. ，因此该点在双曲线上，不符合要求． 【例3】（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 【例4】（2025·江苏扬州·一模）如图，已知点在反比例函数的图像上，观察图像可知，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据函数图像以及P点坐标即可解答． 【详解】解：由P点坐标以及函数图像可知，当时，y的取值范围是． 1．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)判断点，是否在这个函数图像上； 【答案】(1) (2)点在函数图象上，点不在函数图象上 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图像上等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想及待定系数法． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点，在函数图象上； 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点，不在函数图象上． 2．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为轴，且是轴上的一点； (1)求的函数关系式； (2)的面积是___________； (3)将线段所在的直线向下平移，它与双曲线交于点，与双曲线交于点，当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A的坐标代入中求出点A的坐标，进而可得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合列式求解即可； （3）设，可推出，则，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是双曲线上的一点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 将点B的坐标代入得，解得， ∴的解析式为； （2）解：由（1）得，， ∵轴， ∴， ∴； （3）解：设， 由平移的性质可得， 又∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 3．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，与交于点E． (1)求k的值． (2)连接，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质求得点的坐标，从而得到点的坐标，进而求解； （2）根据反比例函数的解析式求得点的坐标，从而得到是的中位线，进而求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∴点B的坐标为， ∴的中点D的坐标为， ∴． （2）证明：∵反比例函数的表达式为， ∴当时，， ∴点E的坐标为， ∴E是的中点． 又∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【典型例题五 由反比例函数值求自变量】 【例1】（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点在反比例函数图象上则坐标满足函数解析式的性质，将三点坐标代入解析式求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴把代入得，解得， 把代入得， 把代入得， ∵， ∴． 【例2】（25-26九年级下·重庆·期中）下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法求出，然后将，代入求解． 【详解】解：将，代入得， 解得 ∴反比例函数 将，代入得， 解得． 【例3】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【例4】（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）有一定质量的气体，其密度（单位：）与其体积（单位：）成反比例函数关系，其函数图象如图所示．若该气体体积，则密度的取值范围为____． 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再根据反比例函数图象的性质讨论得出答案． 【详解】解：根据图象可知反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为． 当时，， ∵反比例函数的图象函数值随着的增大而减小， ∴越大越小． 当时，． 1．（2026·广东广州·二模）已知曲线：过点． (1)求的值； (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意列树状图，得出共有9种等可能的结果，进而得出在的结果数，结合概率公式，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ． ∴． （2）根据题意列树状图如下： ： 共有种等可能的结果， 其中满足点在曲线：上的情况有种， 分别为和． 点在曲线上的概率为． 2．（25-26八年级下·河南周口·期中）根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【答案】(1) (2)此时的物距为 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 3．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 【典型例题六 求反比例函数解析式】 【例1】（2026·湖北孝感·三模）如图，反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象在点上方部分对应的的取值范围，即为时，x的取值范围． 【详解】解：由图可得，当时，x的取值范围是． 【例2】（25-26八年级下·上海金山·期末）已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【例3】（2026·山西朔州·模拟预测）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 【例4】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点分別作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则反比例函数的解析式是__________． 【答案】 【分析】 利用点P在第二象限及矩形面积等于 的性质确定 值． 【详解】解：设点的坐标为 ， 点在第二象限， ，， ∴，即 ， 过点 分别作 轴、 轴的垂线段， 矩形的长为 ，宽为 ， 矩形面积 ， ，即， ， ． 1．（25-26八年级下·上海崇明·期末）已知某反比例函数的图像经过点． (1)这个函数的图像位于哪些象限？ (2)若、也在这个函数的图像上，求、的值． 【答案】(1)这个函数的图像位于二、四象限； (2)． 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出k的值，即可得到答案； （2）反比例函数表达式为：．把、代入进行解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为： ∵反比例函数的图像经过点， ∴ ∴这个函数的图像位于二、四象限； （2）解：∵ ∴反比例函数表达式为：． 把、代入上式， 得 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 3．（2026·宁夏银川·三模）如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①是x的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③已知，则直线经过第二、四象限． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查正比例函数的性质，函数的概念、变量成反比例．根据函数的概念、正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：①是的函数，正确； ②等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高的乘积为定值，故它的底边和底边上的高成反比例，原说法错误； ③已知，则，故直线经过第一、三象限，原说法错误， ∴正确的只有①， 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】A.是反比例函数，故符合题意；     B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意；     D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3．（2026·重庆·模拟预测）下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（   ） 1 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 4．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 5．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点：如此循环进行下去．按照上面的操作，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以写出点、、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ……， ∴四个点一个循环， ∴， ∴点的坐标与点的坐标相同，即． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 7．（25-26九年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 8．（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 9．（2026·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，，则_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义求出，再根据的长求出点的坐标，进而得到的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：轴，， ∴， 反比例函数解析式为， ∵， ， 轴，， 点的纵坐标为4， 当时，， 解得， 点的坐标为，点的坐标为， ， ． 10．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 或 或 【分析】本题考查二次函数，反比例函数，根据反比例函数图象上的点，二次函数图象上点的坐标特点的特征结合新定义，利用数形结合和分类讨论思想逐一进行判断即可． 【详解】解：设函数的“和谐点”坐标为， 根据“和谐点”定义，， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，， 所以，函数的“和谐点”坐标为或； （2）二次函数，其顶点坐标为， 因为该二次函数是“和谐二次函数”，所以顶点是“和谐点”，即， 解得， 所以二次函数的表达式为 对于二次函数，其对称轴为直线， 当时，； 当时，， 因为线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点，所以有两种情况：如图， ①当时，点Q在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有两个公共点，； 当时，点P在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 所以，当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． ②当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 综上，线段与二次函数图象有且只有一个公共点满足的条件是或． 故答案为：或；或 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）某养鱼专业户准备挖一个面积为的矩形鱼塘，若该矩形鱼塘的长为，宽为，那么是的函数吗？是反比例函数吗？ 【答案】是的函数，是反比例函数 【分析】根据矩形的面积公式，得即，解答即可． 本题考查了矩形的面积，反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得即， 故是的函数，且是反比例函数． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数．问： (1)当n为何值时，y是x的反比例函数？ (2)y能否是x的正比例函数？请说明理由． 【答案】(1) (2)这样的n不存在，理由见解析 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、解一元二次方程，掌握正、反比例函数的定义是解题的关键． （1）y是x的反比例函数时，，且，由此可解； （2）y是x的正比例函数时，，且，由此可解． 【详解】（1）解：函数是反比例函数， ，且， 解得：且 时，y是x的反比例函数； （2）解：不存在，理由如下： 当函数是正比例函数时，，且， 由（1）知的解为且， 这样的n不存在． 13．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 14．（2025·广东·二模）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而减小， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 15．（25-26九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； (3)这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （）由题意设与之间的函数关系式为，然后将，代入即可求解； （）将代入解析式即可求解； （）分别求出当时，；当时，，从而求出取值范围． 【详解】（1）解：由题意设与之间的函数关系式为， 将，代入得，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵与之间的函数关系式为； ∴将代入得：，解得：， 答：静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； （3）解：当时，；当时，； ∴这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $