暑假预习：利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积问题讲义-2026年八升九暑假数学（北师大版）

暑假预习：利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积问题讲义 暑假预习：利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积问题讲义 考点目录 利用菱形的性质求角度问题 利用菱形的性质求线段长问题 利用菱形的性质求面积问题 考点一 利用菱形的性质求角度问题 【知识点解析】 一、菱形基础通用性质（三个考点共用） 1. 四条边全部相等：； 1. 对边平行，对角相等，邻角互补； 1. 对角线互相垂直平分：，且对角线平分一组对角； 1. 对角线将菱形分成4个全等的直角三角形； 1. 判定补充：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 二、核心知识点 1. 角基础关系 ① 对角相等，； ② 邻角互补：； 1. 对角线核心角度性质 对角线平分内角：平分；平分； 对角线互相垂直，相交形成直角； 1. 特殊菱形：有一个内角为或时，对角线分割出两个等边三角形。 三、解题原理 1. 已知一个内角，直接用邻角互补求另外三个内角； 1. 给出对角线夹角、对角线分出来的小角，利用“对角线平分顶角”反推菱形内角； 1. 出现角，结合等边三角形三边相等、三角均转化边角条件； 1. 所有对角线相交处均为直角，直角三角形内角和辅助计算小角。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 例4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在菱形中，， ∴， 根据作图可得， ， ． 变式2．（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，易得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，，，则________°． 【答案】65 【分析】由在菱形中，，可得，由，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 考点二 利用菱形的性质求线段长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 四边相等，求出任意一条边即得全部边长； 1. 对角线垂直平分，半条对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理： 设对角线，边长； 1. 含内角菱形：短对角线长度 = 菱形边长；长对角线可由勾股算出； 1. 若菱形周长，则边长 。 二、解题原理 1. 已知周长：周长÷4直接得边长； 1. 已知两条对角线：先取对角线一半，勾股定理计算斜边长（菱形边长）； 1. 已知一个内角+一条对角线：短对角线等于边长，直接写出边长； 1. 结合直角三角形、全等三角形等量代换，求出任意一边长度。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的性质得到，，，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，再利用“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直轴，垂足为点， ， ∵四边形是菱形，顶点的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 例3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，利用勾股定理求出的长，根据菱形的性质求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点D， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即轴， ∴点B的横坐标为，纵坐标为4， ∴点B的坐标为． 例4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为10，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为_____． 【答案】3 【分析】分别延长，交于点G．证明得到，取的中点H，连结，根据三角形中位线的性质得到，，从而，再由菱形的边相等得到，从而，得出，即可求出，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，分别延长，交于点G． 因为的平分线交于点E， 所以， 因为过点E作的垂线交于点F， 所以， 又因为， 所以， 所以． 取的中点H，连结， 所以是的中位线， 所以，， 所以． 因为在菱形中，， 所以， 所以， 所以． 所以， 所以． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得点是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】在菱形中，为对角线与的交点， 是的中点， 为边上的高， ， 在中，是斜边上的中线， ． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，以为边，在上方作菱形，使落在边上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出，根据菱形的对角线互相垂直可得，再利用等面积法求出的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，菱形中，，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，再根据含度角的直角三角形的性质求出的长，进而求得周长． 【详解】解：设与交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，． ，， ． 菱形的周长为． 变式4．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作交于点，连接，，根据菱形的性质，可求，垂直平分，再根据垂直平分线的性质和“所对的直角边是斜边的一半”，可得，，从而可得，即的最小值是的长，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，， 在菱形中，， ，垂直平分， ， ，， ， ， 当、、三点共线时，即，取得最小值，为的长， 菱形，，， 是等边三角形，， ， 是的中点，即， 在中，， ， 的最小值为． 考点三 利用菱形的性质求面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 两套面积公式 1. 对角线乘积法（菱形专用）： 2. 底乘高通用平行四边形公式： 3. 特殊推论：边长为，一内角为，时，。 二、解题原理 1. 已知两条对角线，直接套对角线乘积一半公式； 1. 只给边长与高，使用底×高计算； 1. 先通过勾股、周长条件求出对角线/边长，再代入面积公式； 1. 拆分法：4个全等直角三角形面积相加，验证菱形面积。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 例2．（25-26八年级下·江西宜春·期末）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由菱形面积公式可知菱形的面积是． 例3．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出和的长，然后即可计算出重叠部分的面积，再计算出菱形 的面积即可得出结论． 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 例4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【答案】35 【分析】此题主要考查矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，运用矩形的性质和菱形的性质表示出线段之间的关系是解决问题的关键． 先把三个矩形的顶点都标记出来，根据小矩形的长与宽之比为，可设小矩形的长为，宽为，由此得，，，，，进而得图中阴影部分的周长为，由此得，解得．再根据，得是等腰直角三角形，则，从而得也是等腰直角三角形，则，进而得，据此即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图所示，设小矩形的宽为， ∵小矩形的长与宽之比为， ∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵图中阴影部分的周长为22， ∴， 解得，， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：35． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，进一步即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 又， ， ∴， ∴该菱形的面积为． 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）中国传统建筑的窗棂常以菱形为基本图案，寓意为“四方平安”．如图所示，某古窗的窗棂由菱形和菱形组成，和在一条直线上．若，，则菱形与菱形的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可知对角线互相平分，结合已知线段比例关系求出两个菱形对应对角线的比值，最后利用菱形面积公式计算面积之比． 【详解】解：∵ 四边形和四边形均为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理 ， ∴． 变式3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，结合已知条件利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积问题讲义 暑假预习：利用菱形的性质求角度、求线段长、求面积问题讲义 考点目录 利用菱形的性质求角度问题 利用菱形的性质求线段长问题 利用菱形的性质求面积问题 考点一 利用菱形的性质求角度问题 【知识点解析】 一、菱形基础通用性质（三个考点共用） 1. 四条边全部相等：； 1. 对边平行，对角相等，邻角互补； 1. 对角线互相垂直平分：，且对角线平分一组对角； 1. 对角线将菱形分成4个全等的直角三角形； 1. 判定补充：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 二、核心知识点 1. 角基础关系 ① 对角相等，； ② 邻角互补：； 1. 对角线核心角度性质 对角线平分内角：平分；平分； 对角线互相垂直，相交形成直角； 1. 特殊菱形：有一个内角为或时，对角线分割出两个等边三角形。 三、解题原理 1. 已知一个内角，直接用邻角互补求另外三个内角； 1. 给出对角线夹角、对角线分出来的小角，利用“对角线平分顶角”反推菱形内角； 1. 出现角，结合等边三角形三边相等、三角均转化边角条件； 1. 所有对角线相交处均为直角，直角三角形内角和辅助计算小角。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在菱形中，对角线，相交于点，于点，若°，则的大小为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 例4．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在菱形中，连接，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在菱形中，，，则________°． 变式4．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 考点二 利用菱形的性质求线段长问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 四边相等，求出任意一条边即得全部边长； 1. 对角线垂直平分，半条对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理： 设对角线，边长； 1. 含内角菱形：短对角线长度 = 菱形边长；长对角线可由勾股算出； 1. 若菱形周长，则边长 。 二、解题原理 1. 已知周长：周长÷4直接得边长； 1. 已知两条对角线：先取对角线一半，勾股定理计算斜边长（菱形边长）； 1. 已知一个内角+一条对角线：短对角线等于边长，直接写出边长； 1. 结合直角三角形、全等三角形等量代换，求出任意一边长度。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 例4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为10，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为_____． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，以为边，在上方作菱形，使落在边上，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，菱形中，，，则菱形的周长为______． 变式4．（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 考点三 利用菱形的性质求面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 两套面积公式 1. 对角线乘积法（菱形专用）： 2. 底乘高通用平行四边形公式： 3. 特殊推论：边长为，一内角为，时，。 二、解题原理 1. 已知两条对角线，直接套对角线乘积一半公式； 1. 只给边长与高，使用底×高计算； 1. 先通过勾股、周长条件求出对角线/边长，再代入面积公式； 1. 拆分法：4个全等直角三角形面积相加，验证菱形面积。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江西宜春·期末）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 例4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．云云家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示．若，，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）中国传统建筑的窗棂常以菱形为基本图案，寓意为“四方平安”．如图所示，某古窗的窗棂由菱形和菱形组成，和在一条直线上．若，，则菱形与菱形的面积之比为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $