第8章《实数》暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以实数概念为核心，整合运算、几何与实际应用，通过分层题型训练抽象能力与运算能力，培养数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（第1-2题）|无理数识别、实数分类判断|从具体数到实数体系构建，强化概念本质理解| |运算求解|5题（第4-5、11-12、17-18题）|平方根立方根计算、方程求解|从定义到性质应用，形成运算逻辑链| |几何应用|3题（第3、8、23题）|数轴表示、图形面积关联|数形结合，体现几何直观与空间观念| |实际与新定义|6题（第9、10、14、22、24-25题）|体积计算、根整数等新定义问题|联系生活实际，发展创新意识与推理能力|

人教版七年级下册暑假综合练习 第8章 实数 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.在0.3，，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的是（       ） A.1的任何次方根都是1 B.无限小数都是无理数 C.只有0的立方根是它本身 D.实数可分为有理数和无理数 3.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（        ） A. B. C. D. 4.的算术平方根是（          ） A. B. C.3 D.±3 5.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 6.若，且n是正整数，则（        ） A.6 B.7 C.8 D.9 7.若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A. B. C. D. 8.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则正方形的边长可能是（       ） A. B. C. D. 9.如图为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（       ） A. B. C. D. 10.若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（        ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.算术平方根是_____________，的立方根是______________，的平方根是______________． 12.已知，，则____________． 13.如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________． 14.有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________________． 15.已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是_______． 16.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为_______； （2）如果，为有理数，且，则的值为______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计72分 ） 17.（6分）计算： （1）． （2）． 18.(6分) 利用平方根和立方根概念求下列各式中的x： （1）； （2）． 19.(6分) 已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． （1）分别求出，，的值． （2）求的平方根． 20.(6分) 已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求的值； （2）若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 21.(8分) 某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了个类正方形和个类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个类正方形的面积为，每个类正方形的面积是． （1）类正方形的边长是__________； （2）分别求出一个类正方形和一个类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 22.(10分) 在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么       ，        ； （2）的整数部分是           ，小数部分是           ； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 23.(10分) 图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． （1）【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； （2）【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 24.(10分) 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）计算：______；______； （2）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． （3）计算． 25.(10分) 阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． 因为，都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，所以，． 根据阅读材料，解决问题： （1）填空：若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得__________________ 因为，都是有理数， 所以__________，_________也是有理数． 因为是无理数， 所以_________，_________，所以______，______． （2）若，都是有理数，且，求的值．（请写出解题过程） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册暑假综合练习 第8章 实数 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.在0.3，，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）中，无理数的个数为（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如2， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等； ③具有特殊结构的数，如0.1010010001...（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112...（两个2之间依次增加1个1）。 【解答】 解：0.3， ， 是有理数； ， ，0.5757757775...（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数. 故选C. 2.下列说法正确的是（       ） A.1的任何次方根都是1 B.无限小数都是无理数 C.只有0的立方根是它本身 D.实数可分为有理数和无理数 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：选项A： 1的平方根为 1的所有次方根不都是1， A错误. 选项B： 无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数， B错误. 选项C： 立方根等于本身的数有 不是只有0的立方根是它本身， C错误. 选项D：根据实数的分类，实数可分为有理数和无理数， D正确.  故选D. 3.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据正方形的边长是面积的算术平方根得 ，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数. 【解答】 解： 正方形 的面积为6， 边长 ， ， ， 顶点A在数轴上，且表示的数为1， 点E所表示的数为 . 故选B. 4.的算术平方根是（          ） A. B. C.3 D.±3 【答案】 A 【解析】 先求出27的立方根，然后再求算术平方根即可。 【解答】 解： 的算术平方根是 故选：A. 5.下列计算正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据绝对值、立方根、算术平方根的性质解决此题. 【解答】 解：A、，故本选项不符合题意; B、，故本选项不符合题意; C、，故本选项符合题意; D、，故本选项不符合题意; 故选：C. 6.若，且n是正整数，则（        ） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 C 【解析】 估算出8＜＜9即可. 【解答】 解：∵ 64＜65＜81， ，即8＜＜9， ∴ n＜＜n+1，且n是正整数， ∴ n=8.  故选：C. 7.若，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 将 均计算6次幂，通过比较6次幂的大小，结合负数的绝对值越大，数越小的性质，确定 的大小关系． 本题考查了实数的大小比较，掌握通过偶次幂将负数转化为正数比较，结合负数的绝对值越大，数越小是解题的关键． 【解答】 解：将 整理为：， 分别计算6次幂： 比较6次幂的大小：， 即 ， 均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ． 故选：B． 8.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则正方形的边长可能是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算、实数的大小比较，设正方形的边长为，先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，从而可得，估算出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】 解：设正方形的边长为， 大正方形的面积为，小正方形的面积为， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ， ， ，即， ， 正方形的边长可能是， 故选：． 9.如图为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【解答】 解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选： 10.若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出s，最后得到[s]的值. 【解答】 解： 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有(2n+1)个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， 故选：C. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.算术平方根是______________，的立方根是______________，的平方根是______________． 【答案】 ,, 【解析】 此题考查了平方根、算术平方根与立方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．由平方根、算术平方根、立方根的定义，即可求得答案． 【解答】 解：算术平方根是，的立方根是，的平方根是， 故答案为：，， 12.已知，，则_____4.491_______． 【答案】 【解析】 本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【解答】 解：， ， 故答案为：． 13.如图，在数轴上的两个点表示为实数，，化简：________． 【答案】 【解析】 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根的含义，整式的加减运算的应用，熟练的化简绝对值是解本题的关键. 由数轴可得出，，的大小关系，可得，，再化简即可. 【解答】 解：根据数轴上点的位置得：，， ，， 故答案为：．  14.有一个正方体的集装箱，原体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加______1__________． 【答案】 【解析】 先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到时的棱长，进而可得出结论． 【解答】 解：设正方体集装箱的棱长为， 体积为， ； 设体积达到的棱长为，则 ， ． 故答案为：1 15.已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出a的值，再根据无理数的估算可得b的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【解答】 解： a的立方根是2， ，即 是 的整数部分， 则 的算术平方根是 故答案为：  . 16.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，且．运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，则的算术平方根为___5_____； （2）如果，为有理数，且，则的值为___1或-9_____． 【答案】 5,1或-9 【解析】 根据题干给出的结论，将原式整理为“有理数部分加无理数与有理数的乘积等于0”的形式，令无理数的系数和有理数部分分别为0，得到方程组求解后，再进行计算即可。 【解答】 解： , 整理，得 , 为有理数，为无理数， ， 解得 ； 将 代入 得 ， 25的算术平方根为5，因此 的算术平方根为5； (2) , 整理，得 , 为有理数，为无理数， ， ， 当 时， 当 时， 因此 的值为1或-9. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计72分 ） 17.（6分）计算： （1）． （2）． 【答案】 【解析】 先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可 【解答】 解：（1） （2）原式 . 18.(6分) 利用平方根和立方根概念求下列各式中的x： （1）； （2）． 【答案】 或 【解析】 利用平方根和立方根概念求解。 【解答】 （1）解：原式变形为 或 或 （2）解：原式变形为   19.(6分) 已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． （1）分别求出，，的值． （2）求的平方根． 【答案】 a=5,b=-,c=4 【解析】 （1）根据算术平方根和立方根的定义可得a,b的值，然后估算出和的取值范围，结合题意可得c的值； （2）先求出2a-4b+c的值，再根据平方根的概念得出答案. 【解答】 （1）解：由题意得：a==5,b=-=-, 又且c为整数, ; （2） 的平方根为. 20.(6分) 已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求的值； （2）若为的算术平方根，为的立方根，求代数式的立方根． 【答案】 9 1 【解析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a、x的值是解答本题的关键。 (1) 根据平方根的形式求得a的值后代入a+1中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案； (2) 根据算术平方根及立方根的定义求得b、c的值，然后将其代入b-c中计算即可. 【解答】 (1) 解：因为一个正数x的两个平方根分别是a+1和2a-7， 所以a+1+2a-7=0， 整理，得3a-6=0， 解得：a=2， 则a+1=2+1=3， 所以x=3^2=9； (2) 解：由(1)知x=9，a=2， 由题意，得x+7=9+7=16，a+25=2+25=27， 因为b为x+7的算术平方根，c为a+25的立方根， 所以b=4，c=3， 所以b-c=4-3=1， 所以代数式b-c的立方根为1.  21.(8分) 某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了个类正方形和个类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个类正方形的面积为，每个类正方形的面积是． （1）类正方形的边长是___________； （2）分别求出一个类正方形和一个类正方形的周长； （3）求长方形邀请函的长和宽． 【答案】 类正方形的周长是：；类正方形的周长为 长方形的长为，宽为 【解析】 （1）由类正方形的面积为，可知类正方形的边长是； （2）由类正方形的面积是，可知类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【解答】 （1）解：类正方形的面积为， 类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：类正方形的边长是， 类正方形的周长是：， 类正方形的面积是， 类正方形的边长是， 类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 22.(10分) 在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： （1）介于连续的两个整数a和b之间，且，那么  2     ，     3    ； （2）的整数部分是    3       ，小数部分是           ； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】 2;3 3; 【解析】 （1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答. 【解答】 （1）解： , 即 （2）解： , 即 的整数部分是3, 小数部分是 （3）解： , 即 的整数部分 , 即 的整数部分为5, 小数部分 . 23.(10分) 图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． （1）【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____5________，边_____________； （2）【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】 5， ，理由见解析 【解析】 （1）分割法求出正方形的面积，进而求出正方形的边长即可； （2）根据两点间的距离进行求解即可； （3）作差法比较大小即可. 【解答】 （1）解：格点正方形EFGH的面积为， 故边； （2）解：由(1)和作图可知：，点F表示的数为1， 点M表示的数a为； （3）解：，理由如下： 由(2)可知：， ， ， ， ， ， .  24.(10分) 对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）计算：__2____；___-7___； （2）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． （3）计算． 【答案】 2，-7 -2 23 【解析】 (1)先估算的大小，再由新定义可得结果； (2)根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； (3)先逐项化简并归纳规律，最终求解即可. 【解答】 (1)解：， ， ， ， ， . (2)解：点A表示1，点B表示，点A是BC的中点， 点C表示的数为， ， ， ， ， 即的值为. (3)解：，， ，...， ，， . 25.(10分) 阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． 因为，都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，所以，． 根据阅读材料，解决问题： （1）填空：若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得__________________ 因为，都是有理数， 所以__________，_________也是有理数． 因为是无理数， 所以_________，_________，所以__4____，__3____． （2）若，都是有理数，且，求的值．（请写出解题过程） 【答案】 , 的值为6或4 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：若m，n都是有理数，且 ， 由题意，可得 ， 因为m，n都是有理数， 所以 也是有理数； 因为 是无理数， 所以 ， 所以 ； （2）解： ， 都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， 解得：， 当 时，； 当 时，， 综上可知：的值为6或4. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $