第八章 实数 暑假培优训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数概念与运算，整合几何直观、规律探究及实际应用，通过分层题型培养运算能力、推理意识与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-6、填空13-15|相反数/倒数/平方根立方根综合|从定义到性质，构建实数概念体系| |几何与推理|选择7-10、解答21-22|数轴表示/图形面积/规律探究|结合几何直观，强化数形结合推理| |应用与创新|选择11-12、解答19-20|实际问题/新定义/动态翻滚|从模型建立到创新应用，提升应用意识|

暑假培优训练 七年级数学（人教版）下册 第八章 实数 一、选择题 1. 若实数、满足，则的值是 A． B． C． D． 2. 如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是 A．6 B．8 C．12 D．24 3. 3．已知，，，…，设（为正整数），则值是 A． B． C． D． 4. 一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是 A． B． C． D． 5. 小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是 A．3 B． C． D． 6. 若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，则的值为 A．8 B．26 C．10或26 D．8或24 7. 如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为 A． B． C． D． 8. 实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是 A． B． C． D． 9. 已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是 A．， B．， C． D． 10. 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 A． B． C． D． 11. 我们定义：若（其中m为整数），我们把m叫做离实数x最近的整数，记作．设函数，则当时，函数的最大值为 A． B． C． D． 12. 设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是 A． B． C． D． 二、填空题 13. 已知与互为相反数，则的平方根是________． 14. 一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 15. 若n为正整数，且满足，则________． 16. 观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算______． 17. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 三、解答题 18. 计算：． 19. 已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 20. 某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： (1) 生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； (2) 平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； (3) 平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 21. 如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1) 图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2) 若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3) 如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 22. 如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1) 求式子的值． (2) 若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3) 已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 参考答案 1．D ，，且， ，， 解得： ，， ． 2．A 解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 3．B 解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 4．B 解：∵第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ... ∴第个式子为． 5．C 解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数， 则取算术平方根为，为无理数， 则输出的值是． 6．C 解： a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是16的平方根， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上：的值为10或26． 7．A 解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：. 8．C 解：∵实数，对应的点，在原点两侧，且到原点距离相等 ∴与互为相反数，即，且， 选项A，互为相反数的两个数绝对值相等，故一定成立； 选项B， ，故一定成立； 选项C，题目未说明，的正负，若，则，此时 ，故不一定成立； 选项D，，异号，异号两数相乘为负，故一定成立． 9．D 解：∵， ∴异号，同号，则A不正确 ∴异号， ∵， ∴，则，则B，C不正确. 10．A 解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 11．D 解：， 当 时，，； 当时，，， ， ，即 ； 当时，，； 当 时，，； 比较各段， 的最大值为． 12．D 解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴. 13． 解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴的平方根是 ． 14． 解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 15．3 解：，又， ∴， ∴， ，且为正整数， ． 16． 解：∵； ； ；…… ∴ ． 17．2 解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 18．解：原式 ． 19．解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 20．解：设兴趣小组的长与宽分别为和， 由题意得， ， ， ， 长与宽分别为和， ， 符合要求， 所需篱笆的总长度为． 21．（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； ， ， 这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，， ； （3）解：点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ∵正方形的边长为， 第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2025次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 22．（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 学科网（北京）股份有限公司 $