23函数奇偶性的应用课时作业----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性应用，通过基础辨析、性质综合到实际应用的三层设计，强化抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性判断、简单单调性应用|选择1-5题直接考查定义辨析，填空11-12题强化解析式求解，夯实概念理解| |提升层|奇偶性与周期性、最值综合|选择6-9题结合周期性（如f(x+4)=f(x)），填空13-14题涉及值域与参数计算，培养推理能力| |综合层|奇偶性与不等式、抽象函数应用|解答17-19题通过定义证明单调性、解抽象函数不等式，体现应用意识与逻辑思维|

课时作业23　函数奇偶性的应用 一、选择题 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(－∞，0)上为减函数的为(　　) A．y＝ B．y＝－x2 C．y＝－|x| D．y＝|x|＋1 2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 3．(多选)若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　) A．3个交点的横坐标之和为0 B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C．f(0)＝0 D．f(0)的值与函数解析式有关 4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　) A.f(－x1)>f(－x2)　 B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)<f(－x2)　 D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 5．若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3＋x－1 B．f(x)＝－x3－x－1 C．f(x)＝x3－x＋1 D．f(x)＝－x3－x＋1 6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 7．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(　　) A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1) C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3) 9．(多选题)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　) A．这个函数有两个单调递增区间 B．这个函数有三个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 10．定义域为R的函数f(x)满足以下条件： ①[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0(x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2)；②f(x)＋f(－x)＝0(x∈R)；③f(－3)＝0. 则不等式x·f(x)<0的解集是(　　) A．{x|－3<x<0，或x>3} B．{x|x<－3，或0≤x<3} C．{x|x<－3，或x>3} D．{x|－3<x<0，或0<x<3} 2、 填空题 11．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 12．已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x取值范围是________． 13．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是 ． 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝ . 15．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上单调递增，f(－1)＝－1. (1)则f(x)在[－1,1]上的最大值为 ； (2)若f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]及任意a∈[－1,1]都成立，则实数t的取值范围是 ． 3、 解答题 16．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式． (2)画出函数f(x)的图象． (3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域. 17．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1. (1)求f(－1)的值； (2)求当x<0时函数的解析式； (3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 18．函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立． (1)求f(1)的值． (2)判断f(x)的奇偶性并证明． (3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3. 19．已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，φ(x)＝在R上恒成立，且对任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)． (1)求f(0)的值，并证明φ(x)为奇函数； (2)若x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，证明f(x)为R上的增函数，并解不等式φ(x)>. 课时作业23　函数奇偶性的应用 （答案） 一、选择题 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(－∞，0)上为减函数的为(　　) A．y＝ B．y＝－x2 C．y＝－|x| D．y＝|x|＋1 解析：四个函数中是偶函数的有B、C、D，在(－∞，0)上B、C都是递增，只有D是递减．故选D. 答案：D 2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) 解析：∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C. 答案：C 3．(多选)若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　) A．3个交点的横坐标之和为0 B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关 C．f(0)＝0 D．f(0)的值与函数解析式有关 解析：由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(－x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而A、C正确． 答案：AC 4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　) A.f(－x1)>f(－x2)　 B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)<f(－x2)　 D．f(－x1)与f(－x2)的大小关系不确定 解析：因为x2>－x1>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x2)<f(－x1).又f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)，所以f(－x2)<f(－x1).故选A. 答案：A 5．若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3＋x－1 B．f(x)＝－x3－x－1 C．f(x)＝x3－x＋1 D．f(x)＝－x3－x＋1 解析：∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，当x<0时，－x>0，∵x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1，∴－f(x)＝－x3－x＋1，∴f(x)＝x3＋x－1.故选A. 答案：A 6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．0 解析：∵f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0.依题意得f(3)＝f(－1＋4)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0＋4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝1.因此，f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1＋0＋1＝0，故选D. 答案：D 7．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：当x>时，由f＝f可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(5)＝…＝f(2)＝f(1)．当－1≤x≤1时，f(1)＝－f(－1)，当x<0时，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.故选D. 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，则(　　) A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1) C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3) 解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)，又f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝0， 故f(－4)＝－f(0)＝0，所以f(4)＝－f(－4)＝0. 由f(x)＝－f(－x)及f(x－4)＝－f(x)，得f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(1)>f(0)，即f(1)>0，所以f(－1)＝－f(1)<0，f(3)＝f(1)>0，于是f(－1)<f(4)<f(3)．故选D. 9．(多选题)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　) A．这个函数有两个单调递增区间 B．这个函数有三个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.故选BC. 10．定义域为R的函数f(x)满足以下条件： ①[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0(x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2)；②f(x)＋f(－x)＝0(x∈R)；③f(－3)＝0. 则不等式x·f(x)<0的解集是(　　) A．{x|－3<x<0，或x>3} B．{x|x<－3，或0≤x<3} C．{x|x<－3，或x>3} D．{x|－3<x<0，或0<x<3} 解析：由条件①可得函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数；由条件②可得函数f(x)为奇函数；由条件③可得函数f(x)的图象过点(－3,0)，结合②知函数f(x)的图象过点(3,0)．故由不等式x·f(x)<0可得，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0.由符合题意的函数f(x)的大致图象(如图)得不等式的解集为{x|－3<x<0，或0<x<3}，故选D. 4、 填空题 11．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， ∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，又∵f(x)＝－x2＋2为偶函数， ∴f(2)＝f(－2).即f(－2)<f(1)<f(0). 答案：f(－2)<f(1)<f(0) 12．已知定义在(－∞，＋∞)的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x取值范围是________． 解析：因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(1)＝－，由f(2x－1)≥－， 可得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1. 答案：[0，1] 13．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是 ． 解析：∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]． 答案：[－3，－2)∪(2,3]． 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝ . 解析：∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m， 又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－. 答案：－. 15．函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上单调递增，f(－1)＝－1. (1)则f(x)在[－1,1]上的最大值为 ； (2)若f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]及任意a∈[－1,1]都成立，则实数t的取值范围是 ． 解析：(1)∵函数f(x)为奇函数，且f(－1)＝－1，∴f(1)＝－f(－1)＝1，又f(x)在[－1,1]上单调递增，∴f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)，即最大值为1. (2)∵f(x)≤t2－2at＋1对任意x∈[－1,1]都成立，∴t2－2at＋1≥f(x)max＝1，∴t2－2at≥0， 令φ(a)＝t2－2at＝(－2t)a＋t2， 则φ(a)≥0对任意a∈[－1,1]恒成立，易知t＝0满足题意，∴或解得t≤－2或t≥2，故t的取值范围为{t|t≤－2，或t＝0，或t≥2}． 答案：1；{t|t≤－2，或t＝0，或t≥2}． 5、 解答题 16．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式． (2)画出函数f(x)的图象． (3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域. 解：(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数， 所以f(x)＝f(－x).当x<0时，－x>0， 所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x. 综上，f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为(－∞，1]. 17．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1. (1)求f(－1)的值； (2)求当x<0时函数的解析式； (3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 解：(1)因为f(x)是偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1. (2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1. 又因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1. (3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0<x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－1－ ＝－＝. 因为x1－x2<0，x1x2>0.所以f(x2)－f(x1)<0. 所以f(x1)>f(x2)．因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数． 18．函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)成立． (1)求f(1)的值． (2)判断f(x)的奇偶性并证明． (3)若f(4)＝1，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，解关于x的不等式f(3x＋1)＋f(－6)≤3. 解：(1)令x1＝x2＝1得， f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．证明如下： 令x1＝x2＝－1，则f(－1)＝0， 令x1＝－1，x2＝x，∴f(－x)＝f(x)， 又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f(x)为偶函数． (3)∵f(4)＝1， 又f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)， ∴f(16)＋f(4)＝f(16×4)＝f(64)， ∴f(64)＝f(4)＋f(4)＋f(4)， ∴f(64)＝3.∴f(3x＋1)＋f(－6)≤3等价于 f(－6(3x＋1))≤3， ∴f(|－6(3x＋1)|)≤f(64)，∴ 解得x∈∪. 19．已知函数f(x)的定义域为R，值域为(0，＋∞)，φ(x)＝在R上恒成立，且对任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)． (1)求f(0)的值，并证明φ(x)为奇函数； (2)若x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，证明f(x)为R上的增函数，并解不等式φ(x)>. 解：(1)令m＝n＝0，得f(0)＝f(0)f(0)， 又函数f(x)的值域为(0，＋∞)，∴f(0)＝1. 证明：∵f(0)＝f(－x＋x)＝f(－x)f(x)， ∴f(－x)＝， ∴φ(－x)＝＝＝＝－φ(x)， ∴φ(x)为奇函数． (2)证明如下：任取x1<x2，x1，x2∈R. f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x2－x1＋x1) ＝f(x1)－f(x2－x1)f(x1)＝f(x1)[1－f(x2－x1)]． ∵x1<x2，∴x2－x1>0， ∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1， ∴1－f(x2－x1)<0， 又函数f(x)的值域为(0，＋∞)， ∴f(x1)[1－f(x2－x1)]<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)为R上的增函数． 由φ(x)>，即 >，化简得f(x)>16， ∵f(3)＝4，∴16＝f(3)f(3)＝f(6)． 又f(x)为R上的增函数，∴x>6. 故φ(x)>的解集为{x|x>6}． 学科网（北京）股份有限公司 $