广东梅州市兴宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

**基本信息** 以唐代花钿图案（文化传承）、温度枪采购（实际应用）、三角板探究（实践操作）为情境载体，融合抽象能力、推理意识与模型意识，实现知识检测与素养发展的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形对称、分式概念、不等式变形|花钿图案考查轴对称与中心对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|平移面积、正多边形、动点问题|第15题动点运动结合几何计算，发展空间观念| |解答题|8/75|因式分解、几何证明、函数应用、综合实践|温度枪采购问题（22题）构建不等式模型，三角板探究（23题）培养创新意识与推理能力|

2025-2026 学年第二学期八年级数学期末质量监测试卷参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D B C D C B C 10. 【详解】解：在四边形 AMPN 中， ∵ PM 垂直平分 AC 于M ，PN 垂直平分 AB 于N ， ∴ LPMA = LPNA = 90O ，且 LBAC = 120O ， ∴ LP = 360O _ LPMA _ LPNA _ LBAC = 360O _ 90O _ 90O _120O = 60O ， 故结论①正确； ∵在△ABC 中， LBAC = 120O ， ∵ PM 垂直平分AC 于M ， PN 垂直平分 AB 于N ， ∴ EC = EA ， FA = FB ， ∴ LEAF = LBAC _ = 120O _ 60O = 60O ， 故结论②正确； 在 △ABC 中， LBAC = 120O ， AC > AB ， ∴ △ABC 不是等腰三角形，即LB ≠ LC ， ∴ LEAC ≠ LFAB ， ∴ LEAC 与LFAB 的大小关系无法确定， ∴ AE , AF 的大小关系也无法确定， 故结论③无法判定；如图所示，连接PA, PB, PC ， ∵ PM 是AC 的垂直平分线， PN 是 AB 的垂直平分线， 故结论④正确； 综上所述，正确的有①②④ , 共3 个，故选： C ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．2 12 ．39 13．正八边形8 14 ．-2≤a＜-1 15． 3 15.【详解】 ∵BD 平分∠ABC ∴∠PBE=∠QBE 在△BPE 与△BQE 中 ∴△BPE≌△BQE（AAS） ∴BP=BQ ∵BP=AB-AP=8-t ∴8-t=2t 解得：t 时， ∠BPE 和∠BQE 相等 三、解答题：本大题共 13 小题，共 81 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（6 分） 因式分解4a2 - 64 . 【详解】（1）解： 4a2 - 64 =4 (a2 -16)……………………………………3 分 =4 (a - 4)(a + 4)； ……………………………………（6 分） 17.（7 分）先化简再求值：:x2 _1 ÷ 1 + 1 ，其中 x 是从 1 、2 、3 中选取一个合适的数． x_2 x_2 解：原式………………3 (…)分……………1 分 = x + 1 ；…………………………4 分 ∵x-2≠0 ，x-1≠0…………………………5 分 ∴x ≠2 且 x ≠1…………………………6 分 ∴当 x = 3 时，原式=4. …………………………（7 分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 18．（8 分） 如图，在四边形 ABCD 中，CD = AB ，点 A 、E 、F 、C 在同一直线上，DE 丄 AC ，BF 丄 AC ， E 、 F 是垂足， DE = BF ． 求证：（1） CF = AE ． （2）四边形 ABCD 是平行四边形. 【详解】证明： （1） ∵ DE 丄 AC ， BF 丄 AC ， ∴ LDEC = LBFA = 90。， …………………………1 分在RtDEC 和RtBFA 中， ∴ RtDEC≌RtBFA ， …………………………3 分∴ CE = AF ， …………………………4 分 ∴ CF = AE ． …………………………5 分 ∴ AED≌ CFB(SAS )…………………………6 分 ∴AD=BC…………………………7 分 ∴四边形 ABCD 是平行四边形. …………………………(8 分) 四、解答题二（本大题共 3 小题，共 27 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19 ．（9 分）在平面直角坐标系中，直线y = _2x + 1 与y 轴交于点 C，直线y = x + k（k ≠ 0）与y 轴交于点 A， 与直线y = _2x + 1 交于点 B ，设点 B 的横坐标为_2 ． (1)求点 B 的坐标及k 的值； (2)求直线y = _2x + 1 、直线y = x +k 与y 轴所围成的 ABC 的面积； (3)根据图像直接写出不等式_2x +1 > x + k 的解集． 【详解】 （1）解：（1）当x = 2 时， y = _2×（__ 2）+1 = 5 ，则B（-2,5）． 1 分 把B（-2,5）代入y = x + k 得__2 +k = 5 ，解得k = 7 ； 2 分 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：当x = 0 时， y = _2x + 1 = 1 ，则C（0,1）； 3 分 当x = 0 时， y = x + 7 = 7 ，则A（0,7）； 4 分 所以AC = 7 _1 = 6 ， 5 分 所以SΔ ABC … … … … … … … … … …7 分 （3）解： x< _ 2 ， 因为y = _2x + 1 与y = x + k 交于点B（-2,5），根据图像可知： 当__2x +1 > x + k 时， 解集为： x< _ 2 ． (9 分) 20 ．（9 分）如图所示，P 是等边△ABC 内的一点，连接PA ，PB ，PC ，将△BAP 绕 B 点顺时针旋转60O 得 △BCQ ，连接PQ ，当LPQC = 90O 时，请猜想出PA ， PB ， PC 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【详解】 PA2 + PB2 = PC2 ； 2 分 证明： △BCQ 由△BAP 绕点 B 顺时针旋转60O 得到， :LPBQ = 60O BP = BQ PA = CQ , , , :BPQ 是等边三角形， :PB = PQ ， 5 分 在△PQC 中， , :PQ2 + CQ2 = PC2 ， 7 分 PA = CQ PB = PQ , , : PA2 + PB2 = PC2 ． （9 分） 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 21 ．（9 分）如图是由小正方形组成的 7 × 5 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 ABhD 的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图 1 中画一条线段，使它平分四边形 ABhD 的面积； （2）在图 2 的边 hD 上画点 E ，使 ∠ABE = 45O． 【详解】（1）解：由题意知，AD 聂 Bh，AD = 4 = Bh，AB = hD ， ∴四边形 ABhD 是平行四边形； 则连接 Ah，BD 交于 O ，作一条过 O 的线段即可； ( ………………………………… ) 4 分 画出线即可，不用写证明过程（2）解：如图，取格点 M，连接 BM 交 hD 于 E ，点 E 即为所求； （9 分） 证明： 由勾股定理可知：AB2 = 32 + 42 = 25 ，AM2 = 32 + 42 = 25 ，BM2 = 72 + 12 = 50， ∴△ ABM 是等腰直角三角形， ∴LABM = 45O ， 即LABE = 45O ．画出线即可，不用写证明过程 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，共 27 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22. （13 分）因防疫需要，兴宁市疾控中心需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低 40 元，且用4800 元购买甲品牌温度枪的数量是用4000 元购买乙品牌温度枪的数量的 1.5 倍． （1）求甲、乙两种品牌温度枪的单价． （2）若疾控中心计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共 80 个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2 倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过 15000 元．设购买甲品牌温度枪 m 个，则该校共有几种购买方案？ （3）在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【详解】（1）解：设甲品牌温度枪的单价为 x 元，则乙品牌温度枪的单价为(x + 40)元， 由题意可得， 4800 4000 3 = × , x x+40 2 解得：x = 160 ， 2 分 经检验 x = 160 是原方程的解， 3 分 则 x + 40 = 160 + 40 = 200， 答： 甲、乙两种品牌温度枪的单价分别为：160 元，200 元； ………………………5 分 （2）解：由题意可得， ( 80 - m ≥ 2 m )160m + 200(80 -m) ≤ 15000 且 m 为整数， …………………………………7 分 解得：25 ≤ m ≤ 80 ，且 m 为整数， 3 ∴m 为：25 或 26 ， …………………………………9 分 ∴该校共有两种购买方案， 方案一：购买甲种 25 个，乙种 55 个； 方案二：购买甲种 26 个，乙种 54 个； …………………………………10 分 （3）解：由（2）得， 方案一费用为：160 × 25 + 200 × 55 = 15000（元）， …………………………………11 分 方案二费用为： 160 × 26 + 200 × 54 = 14960（元）， …………………………………12 分 ∵14960 < 15000 ， ∴方案二：购买甲种 26 个，乙种 54 个费用最低，最低为 14960 元． …………………（13） 分 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 23.（14 分）综合与实践：根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为 2 的三角板，如图 1 所示，其中∠F ， ∠A 为直角， ∠E=30 ° , ∠B=45 ° , 要 求两直角顶点重合（A 与 F 重合于点 O）进行探究活动． 素材 1 小明同学的探究结果如图2 所示，D ，O ，C三点在一条直线上． 素材 2 小聪同学的探究结果如图 3 所示，DE∥BC，连结 BD,CE ，发现四边形 BCED 是平行四边形． 素材 3 李老师提出问题，在上述操作过程中，△DOB与△COE 的面积比是否为定值？ 解决问题 任务 1 （1）根据图 2 ，计算线段 CD 的长度． 任务 2 （2）根据图 3 写出小聪同学判定平行四边形的依据： ． （3）计算口BCE D的面积． 任务 3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【详解】 解：（1）在 Rt △ DOE 中，LDOE = 90o ，LE = 30o ，DE = 2， DE = 1 ， ……………………1 分 在 Rt △ BOh 中，LBOh = 90o ，LB = Lh = 45o ，Bh = 2， 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 ∴OC = OB ， ∴2OC2 = BC2 = 4 ， ∴OC = 2 ， ……………………2 分 ∴CD = OD + OC ……………………3 分 （2） ∵DE = BC = 2(已知) ，DE聂BC(已知) ， ∴四边形 BCED 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ……………………5 分 （3）过点 O 作 OH 丄 BC 于点 H，交 DE 于点 G ， ……………………6 分 ∵DE聂BC，OH 丄 BC， ∴OG 丄 DE， ∵LE = 30o，DE = 2， , ……………………7 分 ∵LB = LC = 45o，BC = 2， ……………………8 分 ∴2OH = 2 × 2 ∴OH = 1， ∴GH = OG + OH ……………………9 分 ∴S□BCED ……………………10 分（4）△ DOB 与△ COE 的面积比是定值． ……………………11 分 理由：作 CM 丄 OE 于 M，BN 丄 OD 交 DO 延长线于 N，如图， ∵L1 + L3 = L2 + L3 = 90o， ∴L1 = L2， 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 ∵LBNO = LCMO = 90o，OB = OC， ∴△ BON兰 △ COM(AAS) ， ∴BN = CM， ……………………12 分 ∴△ DOB 与△ COE 的面积比是定值． ……………………（14）分 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 202学年度第二学期八年级期末质量监测试卷 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰.下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） 2. 下列代数式中，是分式的是（     ） A. B. C. D. 3. 下列不等式变形中，一定正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 6. 已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（     ） 7. 如图， 的对角线，相交于点，是的中点，，，则的周长为（     ） A.13 B.14 C.19 D.28 8. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，与交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点。若，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 9. 若关于的分式方程无解，则实数的值为（     ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、。则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等。其中正确的个数是（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 当            时，分式无意义。 12. 如图，将直角三角形，沿方向平移得到三角形，已知，，，则阴影部分的面积为            。 13. 如图，线段、、是一个正多边形的三条边，分别延长，交于点，若，则这个正多边形是            。 14. 已知关于的不等式组有且只有个负整数解，则的取值范围是             。 15. 如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为。动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止。连接，交于点。设点的运动时间为秒，当时，            秒。 三、解答题（一）（本大题共3小题，共21分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.（6分）因式分解. 17.（7分）先化简再求值：，其中是从1、2、3中选取一个合适的数. 18.（8分） 如图，在四边形中，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，。 求证：（1）。 （2）四边形是平行四边形。 四、解答题二（本大题共3小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（9分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，设点的横坐标为。 （1）求点的坐标及的值； （2）求直线、直线与轴所围成的的面积； （3）根据图像直接写出不等式的解集。 20.（9分）如图所示，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，当时，请猜想出，，三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想。 21.（9分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点。四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）。 （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点，使。 五、解答题（三）（本大题共2小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 22.（13分）因防疫需要，兴宁市疾控中心需购买甲、乙两种品牌的温度枪，已知甲品牌温度枪的单价比乙品牌温度枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌温度枪的数量是用4000元购买乙品牌温度枪的数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种品牌温度枪的单价． （2）若疾控中心计划购买甲、乙两种品牌的温度枪共80个，且乙品牌温度枪的数量不小于甲品牌温度枪数量的2倍，购买两种品牌温度枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌温度枪个，则该疾控中心共有几种购买方案？ （3）在（2）条件下，采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 23.（14分）综合与实践：根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角板 活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1所示，其中，为直角，，，要求两直角顶点重合（A与F重合于点O）进行探究活动． 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结BD，CE，发现四边形BCED是平行四边形． 素材3 李老师提出问题，在上述操作过程中，与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，计算线段CD的长度． 任务2 （2）根据图3写出小聪同学判定平行四边形的依据：             ． （3）计算 的面积． 任务3 （4）请你解答李老师的问题，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $