3 基本不等式讲义----2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式专题，将两个基础不等式、常用变形、均值不等式链及求最值的“一正二定三相等”核心考点，按照“基础概念—方法体系—拓展应用”的逻辑层次展开，通过核心知识点梳理、求最值方法指导、拓展不等式应用及分层巩固练习四个环节，帮助学生构建完整的知识网络和解题方法体系。 讲义突出方法体系的系统性和解题策略的针对性，如在求最值环节，通过配凑法、常数代换法等六种方法的实例解析，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。设置基础到综合的分层练习，包含真题题型，配合易错点警示（如对勾函数定义域陷阱），帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

3基本不等式 一、核心知识点 2 1. 两个基础不等式 2 2. 常用变形 2 3. 均值不等式链 2 4. 求最值的”一正、二定、三相等” 2 二、求最值的方法体系 4 方法1　直接法 4 方法2　配凑法 4 方法3　常数代换法（“1”的代换） 4 方法4　消元法 4 方法5　齐次化 4 方法6　构造不等式法（求 类范围） 5 易错点题型： 对勾函数模型 5 三、拓展不等式 6 拓展1　柯西不等式（Cauchy） 6 拓展2　权方和不等式 6 拓展3　 元均值不等式（AM–GM） 7 拓展4　排序不等式（常用于放缩证明） 7 四、巩固练习 8 一、核心知识点 1. 两个基础不等式 名称 形式 成立条件 等号条件 重要不等式 基本不等式（均值不等式） · 叫正数 的算术平均数， 叫几何平均数。 即：正数的算术平均数不小于几何平均数。 二者关系：把 （）中 换为 即得基本不等式。 2. 常用变形 设 ，以下等号条件均为 ： ① ② ③ （ 同号） ④ 3. 均值不等式链 对 ，调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数： 等号均当 时成立。常见连写： 4. 求最值的”一正、二定、三相等” 条件 含义 一正 参与运算的数必须为正数 二定 和或积为定值 三相等 等号能够取到（取等条件成立） · 积定和最小：已知 ，（定值），则当 时， 有最小值 。 · 和定积最大：已知 ，（定值），则当 时， 有最大值 。 · ⚠️ 连续多次使用基本不等式时，必须保证各次取等条件一致，否则最值不成立。 二、求最值的方法体系 方法1　直接法 识别 型（）直接套用。 方法2　配凑法 配凑出”和为常数”或”积为常数”。 【例】已知 ，求 最小值。 方法3　常数代换法（“1”的代换） 已知 （ 为定值），求 型： 【例】（2025·安徽A10联盟）：已知 ，，求 最小值。 方法4　消元法 用已知关系消去一个变量，再凑定值。 【例】已知 ，，求 最小值。 方法5　齐次化 分式多元时，分子分母同除以某一变量化为单变量。 【例】已知 ，，求 方法6　构造不等式法（求 类范围） 【例】已知 且 ，求 最小值。 易错点题型： 对勾函数模型 （）： · 当 在定义域内时，，在 取最小； · 当 不在定义域内时，不能用基本不等式，须用单调性求最值。 · 典型错误： 的最小值不是 ，因 取不到；实际最小值为 时的极限 （注意开区间）。 三、拓展不等式 拓展1　柯西不等式（Cauchy） 二维形式：对 ， 等号当且仅当 （即两向量成比例）时成立。 维形式：对 ， 等号当且仅当 （存在实数 使 ，或某组全为 ）。 向量形式：（教材母题：人教A必修二 P37 T16 用向量法证明二维柯西）。 三类常考配凑： 模型一（分母倍数和为常数）：（即权方和）。 模型二（一高一低和式配凑）： 已知 ，求 最小 ，最小 。 模型三（同次积式配凑）：已知平方和求线性组合范围等。 拓展2　权方和不等式 设 ，，则 等号当且仅当 时成立。特点：分子的幂比分母多 次，“权”即指数。 最常用形式（）： 适用题型：分母含变量且分母之和（或某线性组合）为定值，求分式和的最小值。 【例】函数 （）的最小值，用权方和： 拓展3　 元均值不等式（AM–GM） 对 ： 即 算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均，等号均当 。 拓展4　排序不等式（常用于放缩证明） 设有序数列 ，，则 反序和 乱序和 同序和，即 等号在数组对应相等或全相等时成立。 四、巩固练习 一、单选题 1．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 4．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 5．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 二、多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 8．已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 11．已知，则的最小值为_______. 12．已知a，且，则的最小值为______． 13．已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 14．若正实数满足，则的最小值为______． 15．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 16．已知实数，满足，则的最大值为_____． 17．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 18．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 19．已知函数（其中是正实数）. ①若函数为偶函数，则满足的关系式_________； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_________. 四、解答题 20．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3基本不等式 一、核心知识点 2 1. 两个基础不等式 2 2. 常用变形 2 3. 均值不等式链 2 4. 求最值的”一正、二定、三相等” 2 二、求最值的方法体系 4 方法1　直接法 4 方法2　配凑法 4 方法3　常数代换法（“1”的代换） 4 方法4　消元法 4 方法5　齐次化 4 方法6　构造不等式法（求 类范围） 5 易错点题型： 对勾函数模型 5 三、拓展不等式 6 拓展1　柯西不等式（Cauchy） 6 拓展2　权方和不等式 6 拓展3　 元均值不等式（AM–GM） 7 拓展4　排序不等式（常用于放缩证明） 7 四、巩固练习 8 一、核心知识点 1. 两个基础不等式 名称 形式 成立条件 等号条件 重要不等式 基本不等式（均值不等式） · 叫正数 的算术平均数， 叫几何平均数。 即：正数的算术平均数不小于几何平均数。 二者关系：把 （）中 换为 即得基本不等式。 2. 常用变形 设 ，以下等号条件均为 ： ① ② ③ （ 同号） ④ 3. 均值不等式链 对 ，调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数： 等号均当 时成立。常见连写： 4. 求最值的”一正、二定、三相等” 条件 含义 一正 参与运算的数必须为正数 二定 和或积为定值 三相等 等号能够取到（取等条件成立） · 积定和最小：已知 ，（定值），则当 时， 有最小值 。 · 和定积最大：已知 ，（定值），则当 时， 有最大值 。 · ⚠️ 连续多次使用基本不等式时，必须保证各次取等条件一致，否则最值不成立。 二、求最值的方法体系 方法1　直接法 识别 型（）直接套用。 方法2　配凑法 配凑出”和为常数”或”积为常数”。 【例】已知 ，求 最小值。 解析： 当 即 时取等，最小值 。 方法3　常数代换法（“1”的代换） 已知 （ 为定值），求 型： 【例】（2025·安徽A10联盟）：已知 ，，求 最小值。 解析：利用 作”1”的代换：，取等当 且 ，最小值 。 方法4　消元法 用已知关系消去一个变量，再凑定值。 【例】已知 ，，求 最小值。 解析：由条件得 ，则 ，取等 ，最小值 。 方法5　齐次化 分式多元时，分子分母同除以某一变量化为单变量。 【例】已知 ，，求 解析：由 ，两边平方得： 所以 代入原式： 令 ，则 。 将 代入，并对分子分母 同时除以 得： 因此 化简： 所以，由基本不等式（）得 当且仅当时取等号。 因此. 方法6　构造不等式法（求 类范围） 【例】已知 且 ，求 最小值。 解析：由 得 ，令 ，则 ，解得 ，故 ，最小值 。 易错点题型： 对勾函数模型 （）： · 当 在定义域内时，，在 取最小； · 当 不在定义域内时，不能用基本不等式，须用单调性求最值。 · 典型错误： 的最小值不是 ，因 取不到；实际最小值为 时的极限 （注意开区间）。 三、拓展不等式 拓展1　柯西不等式（Cauchy） 二维形式：对 ， 等号当且仅当 （即两向量成比例）时成立。 维形式：对 ， 等号当且仅当 （存在实数 使 ，或某组全为 ）。 向量形式：（教材母题：人教A必修二 P37 T16 用向量法证明二维柯西）。 三类常考配凑： 模型一（分母倍数和为常数）：（即权方和）。 模型二（一高一低和式配凑）： 已知 ，求 最小 ，最小 。 模型三（同次积式配凑）：已知平方和求线性组合范围等。 拓展2　权方和不等式 设 ，，则 等号当且仅当 时成立。特点：分子的幂比分母多 次，“权”即指数。 最常用形式（）： 适用题型：分母含变量且分母之和（或某线性组合）为定值，求分式和的最小值。 【例】函数 （）的最小值，用权方和： 解析：。 拓展3　 元均值不等式（AM–GM） 对 ： 即 算术平均 ≥ 几何平均 ≥ 调和平均，等号均当 。 拓展4　排序不等式（常用于放缩证明） 设有序数列 ，，则 反序和 乱序和 同序和，即 等号在数组对应相等或全相等时成立。 四、巩固练习 一、单选题 1．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 2．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 3．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 4．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 5．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 二、多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 7．已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于A：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于B：用乘“1”法计算：， 可知最小值为4，无最大值，B错误； 对于C：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于D：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 8．已知，为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A，通过均值不等式求解；B，D，将用表示后代入原式求解范围；C，利用乘上原式不改变式子大小来求解范围. 【详解】选项A，因为，所以，解得， ，所以，故A错误； 选项B，，所以，且等号在时成立，故B正确； 选项C，，等号在时成立，故C正确； 选项D，，等号在时成立，故D正确； 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用作差法计算比较大小判断A，应用不等式的性质计算判断B，结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】由题设，知，即，A错； 由，则，故，所以，则，B对； 由，又，故等号取不到，所以，C对； 由x＞1，，而，故不一定成立，D错． 10．已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误； 因为，所以．因为，所以，故D正确． 三、填空题 11．已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 12．已知a，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 13．已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 14．若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 15．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 16．已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. 17．已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 18．已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 19．已知函数（其中是正实数）. ①若函数为偶函数，则满足的关系式_________； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】①根据奇偶性的定义可以推导的关系. ②结合基本不等式求最值. 【详解】①函数的定义域为，若为偶函数，则对任意，均满足，即整理得，由于该式对任意恒成立，且不恒为0，因此，. ② 已知是正实数，且，，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 由的最小值为4，得，解得. 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 四、解答题 20．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）略 （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $