4.5 培优课　函数零点的综合问题课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数零点综合问题，通过典型例题精研析导入，涵盖根据零点求参数值（范围）及一元二次方程根的分布两大题型，以例题解析为支架，衔接函数单调性、数形结合等前置知识，构建从基础到综合的学习脉络。 其亮点在于以通性通法总结为核心，如提炼“直接法、分离参数法、数形结合法”解决零点问题，结合二次函数图象分析根分布，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。跟踪训练与课后巩固扣课标，助力学生提升综合应用能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

培优课　 函数零点的综合问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 根据零点情况求参数值（范围） 【例1】　（1）若函数 f （ x ）＝ln x － ＋ a 在区间（1，e）上存在零 点，则实数 a 的取值范围为 ⁠； （ －1，1）　 解析： 因为 y ＝ln x ， y ＝－ 在（1，e）上单调递增，则 函数 f （ x ）＝ln x － ＋ a 在区间（1，e）上单调递增，且函数 图象连续不间断，故若 f （ x ）在区间（1，e）上存在零点，则 解得 －1＜ a ＜1. 目录 数学·必修第一册 （2）若函数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范 围为 ⁠. 解析： 由 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b ＝ 0，得｜2 x －2｜＝ b .在同一平面直角坐标 系中分别画出 y ＝｜2 x －2｜与 y ＝ b 的图 象，如图所示.则当0＜ b ＜2时，两函数图 象有两个交点，从而函数 f （ x ）＝｜2 x － 2｜－ b 有两个零点. （0，2）　 目录 数学·必修第一册 通性通法 已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参 数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以 解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同 一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方 法求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. (2025秋·张家口期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  (3, 4) C. 3，6） D. 3，11） 目录 数学·必修第一册 解析：因为函数和在都单调递增，所以函数在都单调递增，又函数在区间上存在零点，所以，故，即，所以，所以的取值范围是. 故选：D. 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ x －5的零点 x0∈[ a ， b ]，且 b － a ＝1， a ， b ∈N*，则 a ＝ ， b ＝ ⁠. 解析：∵函数 f （ x ）＝3 x ＋ x －5，∴ f （1）＝31＋1－5＝－1＜ 0， f （2）＝32＋2－5＝6＞0，∴ f （1） f （2）＜0，且函数 f （ x ）在R上是增函数，∴ f （ x ）的零点 x0在区间[1，2]内.∴ a ＝ 1， b ＝2. 1　 2　 目录 数学·必修第一册 题型二 一元二次方程根的分布问题 【例2】　已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6＝0. （1）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数 m 的取值范围； （1） f （ x ）的大致图象如图（ⅰ）所示， ∴ 解得－ ＜ m ＜－ ，∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）. 解：设 f （ x ）＝ x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6， 目录 数学·必修第一册 （2）若方程至少有一个正根，求实数 m 的取值范围. 解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况， ①有两个正根，此时如图（ⅱ），可得 即∴－3＜ m ≤－1. 目录 数学·必修第一册 ②有一个正根，一个负根，此时如图（ⅲ），可得 f （0）＜0， 得 m ＜－3. ③有一个正根，另一根为0，此时如图（ⅳ），可得 ∴ m ＝－3. 综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 m 的取值范围为 （－∞，－1]. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与 x 轴交点 的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再 左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根 与系数的关系进行限制. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. （2025秋·渭南月考）已知关于的方程的两个实数根一个比大，一个比小，则的取值范围是（　　） 解析： 因为关于的方程的两个实数根一个比大，一个比小，设函数，则函数有两个零点，且一个比大，一个比小；所以，即，解得. 故选：B. A. B.  C. D.  目录 数学·必修第一册 2. 方程8 x2－（ m －1） x ＋ m －7＝0两实根一个大于2，另一个小于 2，求实数 m 的取值范围. 解：设 f （ x ）＝8 x2－（ m －1） x ＋ m －7，符 合题意的函数 f （ x ）图象如图.方程一根大于2， 另一根小于2，等价于 f （2）＜0，即8×22－（ m －1）·2＋ m －7＝27－ m ＜0，解得 m ＞27.故 m 的取值范围是（27，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知2是函数 f （ x ）＝ xn －8（ n 为常数）的零点，且 f （ m ）＝ 56，则 m 的值为（　　） A. －3 B. －4 C. 4 D. 3 解析： 因为2是函数 f （ x ）＝ xn －8（ n 为常数）的零点，所以 2 n ＝8，得 n ＝3，所以 f （ x ）＝ x3－8，因为 f （ m ）＝56，所以 m3－8＝56，得 m ＝4，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 2. 若函数 f （ x ）＝ mx － m ＋1在区间[0，1]上无零点，则 m 的取值 范围为（　　） A. 0＜ m ＜1 B. m ＞1 C. m ＜0 D. m ＜1 解析： 　当 m ＝0时，则 f （ x ）＝1，此时 f （ x ）无零点，符合 题意；当 m ≠0时，令 f （ x ）＝0，则 x ＝ ，故 x ＝ ＜0或 x ＝ ＞1，解得0＜ m ＜1或 m ＜0，综上可知 f （ x ）＝ mx － m ＋1 在区间[0，1]上无零点，则 m ＜1，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 3. 已知函数 f （ x ）＝若函数 y ＝ f （ x ）－ m2有两 个不同的零点，则实数 m 的取值范围为（　　） A. （0，1） B. {－1，0，1} C. [0，1] D. {0，1} 解析： 　由 y ＝ f （ x ）－ m2有两个不同的零 点，即方程 f （ x ）＝ m2有两个不同的解，即函数 y ＝ f （ x ）与 y ＝ m2的图象有两个不同的交点， 画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，如图所示，结合图 象可得 m2＝1或 ，解 m ＝±1或 m ＝0，即 m ∈{－1，0，1}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 4. （多选）( 2025秋·辽宁校级期中 ) 若函数有且只有两个正零点，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.  B.  C.  D.  目录 数学·必修第一册 解析： 设函数的两个正零点为， ，. 故选：BCD.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 5. 试写出一个实数 a ＝ ，使得函数 f （ x ）＝ ax2 ＋4 x －1在（－1，1）上恰有一个零点. 解析：不妨取 a ＝1，则 f （ x ）＝ x2＋4 x －1，则 f （1）＝4， f （－1）＝－4，即得 f （1） f （－1）＜0，又 f （ x ）＝ x2＋4 x －1 图象的对称轴为 x ＝－2，则 f （ x ）在（－1，1）上单调递增，故 f （ x ）＝ x2＋4 x －1在（－1，1）上恰有一个零点. 1（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 6. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ bx ＋3. （1）若 f （0）＝ f （4），求函数 f （ x ）的零点； 解： 由 f （0）＝ f （4）得3＝16－4 b ＋3，即 b ＝4， 所以 f （ x ）＝ x2－4 x ＋3，令 f （ x ）＝0即 x2－4 x ＋3＝0得 x1＝3， x2＝1. 所以 f （ x ）的零点是1和3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 （2）若函数 f （ x ）一个零点大于1，另一个零点小于1，求 b 的取 值范围. 解： 因为 f （ x ）的零点一个大于1， 另一个小于1，如图. 需 f （1）＜0，即1－ b ＋3＜0，所以 b ＞ 4. 故 b 的取值范围为（4，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $