专题2-7 函数的零点与方程的解（9重难点题型+高考真题）训练-2027届高考数学一轮复习

专题2-7 函数的零点与方程的解 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 6．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 7．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 9．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 10．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 重难点题型1 求函数的零点或零点所在区间 求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式； （2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的大致区间的 A． B． C． D． 3．函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 重难点题型2 利用函数的零点，求参数的取值范围 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 1．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2023·海南海口·一模）“”是“直线与曲线有交点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（    ） A．或 B． C．1 D． 4．（2026·广东佛山·一模）函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 5．已知函数（）的一个零点为，则的最小值为______． 6．（2025·河南·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，且，则_______. 重难点题型3 方程根的个数和函数零点的存在性问题 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 1．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则方程在区间上的实数根个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 6．函数的零点个数为__________. 重难点题型4 嵌套函数的零点问题（自我嵌套） 1．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 3．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 4．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 5．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 6．（2025·重庆渝中·二模）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 重难点题型5 嵌套函数的零点问题（与二次函数嵌套） 1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围． 2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实． 1．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 重难点题型6 唯一零点问题 利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 1．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为______. 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是______． 重难点题型7 分段函数的零点问题 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 重难点题型8 等高线问题 1．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选题）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 4．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为_______. 重难点题型9 综合问题 1．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选题）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选题）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 4．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2-7 函数的零点与方程的解 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、判断零点所在的区间、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求余弦（型）函数的奇偶性、根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的定义与判断 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、判断零点所在的区间 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【难度】0.38 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（含参） 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 6．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 7．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数图象及性质、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 9．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 10．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 重难点题型1 求函数的零点或零点所在区间 求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式； （2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、正切型三角函数图象的应用 【详解】令（）， 则（）， 符合该式的有. 2．函数的零点所在的大致区间的 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、用二分法求近似解的条件 【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点. 【详解】函数 ,在x>0上单调递增， ， 函数f（x）零点所在的大致区间是； 故选B 【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间. 3．函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 的零点所在区间为， 故选:B． 4．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】先确定函数的定义域和单调性，再利用零点存在定理判断区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为在上都是单调递增函数， 所以在上单调递增，因此最多有一个零点. 根据零点存在定理，计算得， ，因此， 结合单调性可知的零点在区间内. 故选：. 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理，由和函数单调性判断即可. 【详解】因为，，所以. 因为函数和都是上的增函数， 所以在上单调递增，即的零点所在区间为， 故选：B. 6．已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】27 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、对数的运算 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 重难点题型2 利用函数的零点，求参数的取值范围 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 1．已知函数有且仅有一个零点，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由偶函数的定义得到函数为偶函数，结合偶函数的图象性质以及有且只有一个零点，可知，从而得到的值. 【详解】函数，其定义域为， 且，所以函数是偶函数. 由于偶函数图象关于轴对称，且有且仅有一个零点，所以有， 即，所以. 故选：C. 2．（2023·海南海口·一模）“”是“直线与曲线有交点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义求解可得答案. 【详解】∵直线与曲线有交点，∴方程在上有解， ∴，∴， ∴“”是“直线与曲线有交点”的必要不充分条件. 故选：B 3．设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（    ） A．或 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】令，易知是的一个零点. 只需讨论的情况：分为b=0和b≠0分类讨论. 在b≠0时，根据判别式讨论根的情况即可. 【详解】令，即或. 显然是的一个零点. 下面讨论的根的情况： （1）b=0时，.不符合题意. （2）b≠0时， ①若时，有或，此时没有实数根，符合题意； ②若时，有或， 若，的根为，所以有一个零点，符合题意； 若，的根为，所以有两个零点，不符合题意； ③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即， 符合题意； 故选：D 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．（2026·广东佛山·一模）函数在区间上存在零点，则的最小值为________． 【答案】/0.5 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用函数零点的意义，将点视为直线上的点，再利用目标函数的几何意义，借助点到直线距离公式列式，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 5．已知函数（）的一个零点为，则的最小值为______． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数 【分析】由条件可得，解得，结合求得答案． 【详解】∵函数（）的一个零点为， ∴， ∴，即， ∵，则时，取最小值10． 故答案为：10． 6．（2025·河南·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，且，则_______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由函数零点的意义等价变形等式，构造函数并求出零点，转化为新函数的零点问题作答. 【详解】函数的定义域为，由，得， 即，令，则， ，即函数为增函数，而，于是有唯一解，即有， 因此的两个解为，此时，， 即，，显然，则有，解得， 所以． 故答案为： 【点睛】关键点睛：涉及函数零点求参数问题，利用函数零点的意义等价变形等式，构造函数，利用导数探求新函数零点问题解决. 重难点题型3 方程根的个数和函数零点的存在性问题 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断. 1．（2026·浙江·三模）直线与曲线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【详解】直线与曲线的交点，整理可得， 而，， 所以方程无实根，交点个数为个．故A正确． 2．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用 【分析】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，可得答案. 【详解】在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示： 所以曲线与的交点的个数为个. 3．（2026·重庆·模拟预测）方程的零点个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】等价于函数与函数的交点个数进行求解． 【详解】函数的零点个数等价于函数与函数的交点个数， 则，如图所示： 当时，无交点， 当时，有两个交点， 当或时，有一个交点， 故当时，无零点；当时，有两个零点；当或时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则方程在区间上的实数根个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】可得，数形结合可得结果. 【详解】当时，由可得， 作出函数、在时的图象如下图所示： 由图象可知，函数、在时的图象的交点个数为， 故方程在区间上的实数根个数为. 故选：C. 5．（2026·北京顺义·二模）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【难度】0.22 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数、函数与方程的综合应用 【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合函数的单调性及数形结合的方法，对参数和分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断. 【详解】令，得，易知恒过点. ①当，则，恒过，图象如下， 对任意负实数，；两个函数图象都有一个交点，即方程恰有一个实数解，①正确； ②易知时，与轴的交点位于轴正半轴，因此， 当时，与在上一定有交点，如图所示， 即方程一定有实数解，所以②错误； ③当，时，当时，方程为，即， 令，则，令，则， 所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 又因为，，， 所以函数在内必有一个零点，在上也必有一个零点， 所以与，在内必有一个交点，在上也必有一个交点， 又因为当时，在上，与无交点， 与的图象如下， 所以，当，时，与有两个交点， 即方程恰有2个实数解，所以③正确； ④方程时，有，此时恒过点， 当，时，与有个不同交点， 即方程恰有3个实数解，所以④正确. 6．函数的零点个数为__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案. 【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象， 易知零点个数为1. 故答案为：1. 或. 重难点题型4 嵌套函数的零点问题（自我嵌套） 1．（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围. 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足： 有两个不同的实根，这两个根均大于. 即有两个不同实根，则 设，要使的两根均大于，需满足： 其中. 同时，当时，， 若，则是方程的一个根，此时仅有1个根， 有2个根，总根个数为3，不符合题意. 当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意. 综上，的取值范围为. 3．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 【答案】或. 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，考虑方程的解，根据题设条件可得，且有两个不同的解，结合换元法和根分布可求的取值范围. 【详解】令，考虑方程的解即，即， 若，此时无解，故无解， 故的实数根的个数为零. 若，则的解为， 下面考虑的解即方程的解， 若的实数根的个数最多，则有两个不同的解， 令，故在上有两个不同的解， 故，故 4．（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 5．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 6．（2025·重庆渝中·二模）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】根据函数的零点可得，再结合指、对数性质分析可知方程有根，方程无根，结合图象即可得结果. 【详解】当时，可得； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 即函数有且仅有1个零点1， 若函数有零点，则， 显然，可得， 假设方程有根，可知方程有两个不相等根， 设为，且， 则，可得，即， 假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为， 结合题意可知：方程有根，方程无根， 即与无交点，与有2个交点， 结合图象可知：或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 重难点题型5 嵌套函数的零点问题（与二次函数嵌套） 1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围． 2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实． 1．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.35 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解. 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 3．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 4．（2026·河南鹤壁·一模）已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先作出上的图象，令，再将问题转化为方程有一个根在内，另一个根在内.令，利用实根分布即可求解. 【详解】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下．    当时，方程在内有2026个实根； 当时，方程在内有1个实根， 令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根， 所以方程有一个根为，另一个一个根在内，此时,符合题意； 或者有一个根在内，另一个根在内， 令，则， 即 解得,综上可得． 故选：B 5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，且关于的方程有8个不相等的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】先分析函数的图象与取值范围，结合方程及的根的个数，方程的根的分布要求，确定的取值范围，分析条件求解参数的取值范围； 【详解】当时，是开口向下的抛物线，对称轴， 顶点为，此时， 当时，， 若，则单调递减，且， 若，则单调递增且， 根据原方程的根的结构， 设，则原方程变为①， 原方程的根的个数由的取值及的根的个数共同决定， 的根的个数分析如下： 当时，若在有1个根；若在有2个根； 若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 当时，若在有2个根；若在有1个根； 若在无根； 若原方程有8个根，需满足①有两个不同的正根（否则根的总个数不是8个）， 对于每个的根的个数之和为4，结合的根的个数， 要使的根的个数为4个，需，此时当时，有2个根， 当时，有2个根，共4个根， 方程①，令， 需满足，解得， 故答案为：. 6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出的图象，由题意知在内有两个不等实根，再结合二次方程根的分布列不等式即可求得m的范围. 【详解】作出的图象， 令，则方程，即为， 有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型6 唯一零点问题 利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 1．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 3．（2026·湖南怀化·三模）已知函数，若有唯一解，则实数的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，根据的单调性得到当时，有唯一解，从而得到当时，有唯一解. 【详解】令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， 又， 所以当时，有唯一解，此时， 所以当时，有唯一解. 所以实数的值是. 4．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数在上只有一个零点，则实数k的值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意可得，将问题转化为直线与的图象有1个交点，利用导数确定函数的单调区间及最值，作出图象，利用思想结合的思想求解． 【详解】令，则有，令， 则直线与的图象有1个公共点， 因为， 所以当时，，单调递增； 时，，单调递减，所以. 又当时，，当时，， 故的图象大致如图所示， 所以，即实数k的值为， 故答案为：. 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数在上有且仅有一个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】结合余弦函数图象以及复合函数单调性和零点存在性定理即可求解. 【详解】当时，设，， 故时，，而， 有且仅有一个零点， 令，易知在上单调递减， 而，，所以，． 当时，，无零点，不符合题意，舍去； 当，设，故， 所以，易知在上单调递减， 而，，所以，. 综上，． 故答案为： 重难点题型7 分段函数的零点问题 已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.77 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为在上必须有2个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得. 【详解】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 重难点题型8 等高线问题 1．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.64 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【详解】画出函数的图像，分析，，，间的关系，然后结合二次函数求解即可. 【解答】函数的图像如图所示， ，，， ，，，， ， 又因为，所以. 2．（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可. 【详解】函数的图象对称轴，， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 令，则函数的图象与直线有4个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象，得，，由，得， 由，得，则， 函数在上单调递减，，因此， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选题）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数、对数型复合函数的单调性 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 4．（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】画出具体函数图象、函数与方程的综合应用 【分析】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 5．（2025·河北·模拟预测）已知函数，方程有4个不同的根，且满足，则的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据函数的图象易知，且.设，则，，，代入中利用换元法及基本不等式即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系下，作出函数和的图象如下图所示： 依题意得：，且，则. 设，则，，， 所以，令， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 重难点题型9 综合问题 1．（2026·天津北辰·二模）在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程来描述，其中x表示某个关键变量（如时间、浓度、位移等）.现有三个不同系统中的平衡点分别由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足，当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增长速率满足，当增长率为零时，对应平衡种群数量为；一个弹簧振子在某时刻的机械能表达式为，当机械能为零时，对应平衡位置.则这三个平衡点的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】通过构造函数确定相应零点的取值范围，进而可求解. 【详解】对于，满足，函数是R上的增函数， 又，， 因此 ，即， 对于，满足 ，因为，，故， 对于，满足 ，函数 是上的增函数， 又 ， ， 因此 ，即， 综上，大小关系为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选题）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选题）下列叙述正确的是（    ） A．已知幂函数是奇函数，则实数 B．先将曲线向右平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的，所得曲线的解析式为 C．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 D．函数在区间内有零点 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、求图象变化前（后）的解析式、一元二次不等式在某区间上有解问题、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，根据奇偶性的定义，即可得判断A的正误；根据平移伸缩变换的原则，可得变化后的解析式，即可判断B的正误；分析可得当时，符合题意，即可判断C的正误；根据零点存在性定理，可判断D的正误. 【详解】选项A：由为幂函数，得，解得或， 当时，，，为偶函数，故舍去， 当时，，，为奇函数，符合题意，故A正确； 选项B：将曲线向右平移个单位长度，得， 再将曲线上各点的横坐标变为原来的，得，故B错误； 选项C： 当时，恒成立，此时符合题意，故C错误； 选项D：因为与在均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 又，， 所以，则在区间内有零点，故D正确. 4．（2026·北京西城·二模）设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________. 【答案】 140 【难度】0.55 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解. 【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数， 如下图： 由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点， 故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是， 若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是， 设4个元素由小到大为， 则，即，得， ，即，得， ，即，得， ，即，得， 所以， 故当时，取得最小值140. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $