精品解析：山东潍坊市2025-2026学年高二下学期期末学业质量评价数学试题

高二下学期学业质量评价 数学试题 2026.7 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 利用独立性检验的方法调查学生性别与是否喜欢阅读有关，根据列联表，计算可得，参照附表，则（ ） 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 A. 没有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关 B. 有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 6. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与图象的交点为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 根据变量，的观测数据得散点图如图所示，由最小二乘法得回归直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 与负相关 B. 一定过点 C. 当每增大一个单位时，一定增大个单位 D. 若去掉图中点对应数据，则剩余数据的相关系数变大 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 是的极大值点 D. 的最大值为，最小值为 11. 某款人工智能机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直持续下去．已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立．设表示机器人射门次，游戏仍未结束，则（ ） A. B. 当机器人恰好射门4次后， C. 当时， D. 若，则游戏结束时 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________． 13. 若，则__________． 14. 对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某图书馆开展“青少年周末阅读打卡”活动，统计了某周末名打卡学生的单次阅读时长（单位：分钟），按学段分为小学组、中学组两组，其中小学组人，中学组人．工作人员采用分层抽样的方式，抽取名学生进行阅读时长调研，整理得到被抽取学生的阅读时长频率分布如下表所示． 阅读时长 频率 0.2 0.5 （1）求抽取的人样本中，小学组、中学组各多少人； （2）现从抽取的人中随机选取人赠送名著套装，求选取的人中至少有人的阅读时长在的概率． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）求的单调区间． 17. 甲、乙两名同学进行答题比赛，规则为：每局比赛胜者得3分，负者得1分，若某同学连续胜2局，或积分率先达到11分，则该同学获胜．已知甲、乙两同学每局获胜的概率均为，每局比赛结果相互独立且无平局．记为比赛结束时进行的局数． （1）求恰好经过3局比赛甲获胜的概率； （2）求的分布列及数学期望． 18. 已知函数的定义域为，，导函数． （1）证明：； （2）若对任意，，求的最大值； （3）设曲线在点（）处的切线为，直线与交点的横坐标为，若，求的取值范围． 19. 在某次射击训练中，已知甲每次射击的命中率为（），每次射击是否命中相互独立，命中（）次时停止射击，记表示甲在本次训练中累计射击的次数． （1）若，求； （2）求； （3）若，证明：． （附：若为随机变量，则；若，当时，，可记作．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期学业质量评价 数学试题 2026.7 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列中，，，则公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，,解得. 2. 某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】首先将个最高气温数据按从小到大排序：. 计算第一四分位数对应的位置：， ∵ 不是整数，根据百分位数的计算规则，取大于的最小整数对应的数值，即排序后第个数据，因此这组数据的第一四分位数为. 3. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，A选项错误； 对于B，，B选项错误； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 4. 利用独立性检验的方法调查学生性别与是否喜欢阅读有关，根据列联表，计算可得，参照附表，则（ ） 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 A. 没有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关 B. 有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，结合临界值表逐一分析选项： ∵ ，对应，即卡方值大于等于时，对应的犯错误概率不超过， 因此有的把握认为性别与是否喜欢阅读有关，即在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为性别与是否喜欢阅读有关，故D正确，A错误. ∵ ，不满足的条件，因此不能在犯错误的概率不超过的前提下认为两者有关，C错误. ∵ ，不满足的条件，因此没有的把握认为两者有关，B错误. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，若甲只能站在两端，丙和丁不相邻，则不同的站法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 甲只能站在两端，先安排甲的位置，共有种站法. 再安排无位置约束的乙、戊两人，共有种站法. 乙、戊两人站好后共形成3个空隙（包含两人左右两侧），将丙、丁插入不同空隙即可保证两人不相邻，共有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的总站法共有种. 6. 已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先排除的情况（此时为二次函数最多2个零点），再通过求导得到函数的极值点，结合三次函数的单调性与无穷处的极限趋势，将3个零点的条件转化为极值与0的大小关系，求解得到参数范围. 【详解】当时，为二次函数，最多2个零点，不符合题意，故. 对求导得，令，解得与. 分两类情况讨论： ① 当时： ∵ 时，，，故，单调递增. 时，，，故，单调递减. 时，，，故，单调递增. ∴ 的极大值为，极小值为. ∵ 时，，故；时，，故. 要使有3个零点，需极小值， 即，整理得，结合解得. ② 当时： 此时， ∵ 时，，（，，不等号变向得），故，单调递减. 时，，（，，不等号变向得），故，单调递增. 时，，，故，单调递减. ∴ 的极小值为，极大值为. ∵ 时，（，），故；时，，故. 要使有3个零点，需极小值， 即，整理得，结合解得. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法归纳：三次函数零点个数判断通用方法：先求导得到两个极值点，计算两个极值的大小，结合三次函数两端的极限趋势判断零点数：若极大值且极小值，则函数有3个零点；若极大值或极小值，则函数有2个零点；若极大值或极小值，则函数有1个零点. 7. 已知数列是公差不为0的等差数列，若从，，…，中任取四项，则这四项依然构成等差数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用原等差数列公差不为的条件，将“抽取四项成等差数列”转化为“四项的下标成等差数列”，分类讨论新等差数列对应原数列的下标间隔，统计符合条件的事件数，结合组合数计算总事件数，最终求得概率. 【详解】首先计算总基本事件数：从项中任取项，总事件数为. 设原等差数列的公差为，若抽取的四项成等差数列，则，， 代入通项公式得，化简得， 同理可得，即抽取的四项下标也成等差数列. 设抽取的四项下标公差为，则四项下标可表示为，其中： 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，共组； 当时，，无符合条件的组. 因此符合条件的基本事件数为，故所求概率. 8. 已知函数与图象的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，同构后设，利用其单调性推得，回代即可求出结果. 【详解】依题意，，消去，得， 即， 设，则有， 因，则函数在上单调递增，故得， 又因，则可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 根据变量，的观测数据得散点图如图所示，由最小二乘法得回归直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 与负相关 B. 一定过点 C. 当每增大一个单位时，一定增大个单位 D. 若去掉图中点对应数据，则剩余数据的相关系数变大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A，因散点图分布在从左下角到右上角的一条直线的附近，故与正相关，故A错误； 对于B，因回归直线必经过样本中心点，故一定过点，即B正确； 对于C，由回归直线方程的意义可知，当每增大一个单位时，预报值大致增大个单位，故C错误； 对于D，若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，正相关程度会更高，故剩余数据的相关系数变大，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 是的极大值点 D. 的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合奇偶性定义判断对称性，借助导数工具分析函数单调性、极值点，结合指数函数的衰减性判断函数最值，利用偶函数的对称性可简化非负区间的性质研究，降低运算复杂度. 【详解】对于A选项： ∵ 的定义域为，关于原点对称，且， ∴ 是偶函数，A正确. 对于B选项： 当时，，求导得， 当时，，，故， ∴ 在上单调递减，B错误. 对于C选项： 当时，，，故，单调递增； 当时，，，故，单调递减， ∴ 是的极大值点，C正确. 对于D选项： 由偶函数的对称性，只需分析时的最值即可： 当时，； 当时，，且，故， 因此的最大值为1. 由前面的分析可得的极小值点为，对应极小值为， ∵ 是单调递增函数，故越大，越大，的绝对值越小，即函数值越大， ∴当时，极小值取得最小值，与选项给出的最小值一致，故的最大值为1，最小值为，D正确. 11. 某款人工智能机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直持续下去．已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立．设表示机器人射门次，游戏仍未结束，则（ ） A. B. 当机器人恰好射门4次后， C. 当时， D. 若，则游戏结束时 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式可得A、B；利用条件概率公式计算可得C；利用条件概率公式计算可得，再分第次游戏结束和第次游戏未结束两种情况讨论即可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：若机器人恰好射门次且得分为，则前两次仅射中一次，后两次都射中， 故，故B正确； 对C：由题意得，， 所以，若第次游戏未结束， 则累计得分必为（偶数次射门的累计得分只能是偶数，且不能为）， 可得，，， 所以，故C错误； 对D：由题意知，，， 所以， 解得或，由，故， 由题意知，的所有可能取值为，， 所以当游戏结束时，， 又考虑前两次射门，若两次都射中或都未射中，则游戏结束， 若1次命中，1次未命中，相当于重新开始， 所以， 解得，所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则__________． 【答案】0.3 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 13. 若，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，再赋值计算即得. 【详解】由，求导得， 取，得. 14. 对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“隐对称点”的定义将问题转化为时的方程有唯一解问题，分离参数后构造新函数，通过导数分析新函数的单调性与值域，结合函数趋势确定参数的取值范围. 【详解】根据“隐对称点”的定义，存在使得，不妨设，则，代入分段函数解析式得： ，化简得， 题目要求恰有一对“隐对称点”，等价于方程在上恰有1个解. 当 时，得， 令， ， 令， ， 令 ， ∵ 时，∴ 在上单调递增， ∴ ， ∴在恒成立， ∴ 在上单调递增， ∴ ， ∵ 时，∴ ，即在上单调递增. 由洛必达法则，， 当时，指数函数增长速度远快于多项式函数，故， ∴ 的值域为， ∴ 要使在上恰有1个解，需. 即的取值范围是. 【点睛】方法归纳： 分离参数法求解方程零点个数问题步骤：①将方程中的参数与变量分离，转化为与构造的函数交点问题；②通过导数分析构造函数的单调性、极值与值域；③结合函数单调性与值域，确定参数的取值范围，可避免复杂的分类讨论. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某图书馆开展“青少年周末阅读打卡”活动，统计了某周末名打卡学生的单次阅读时长（单位：分钟），按学段分为小学组、中学组两组，其中小学组人，中学组人．工作人员采用分层抽样的方式，抽取名学生进行阅读时长调研，整理得到被抽取学生的阅读时长频率分布如下表所示． 阅读时长 频率 0.2 0.5 （1）求抽取的人样本中，小学组、中学组各多少人； （2）现从抽取的人中随机选取人赠送名著套装，求选取的人中至少有人的阅读时长在的概率． 【答案】（1）小学组12人，中学组8人. （2）． 【解析】 【小问1详解】 由题意得，小学组人数为， 中学组人数为， 所以抽取的人样本中，小学组人，中学组人. 【小问2详解】 由题意得，抽取的人中，阅读时长在的人数为， 设表示选取的人中至少有人阅读时长在， 则， 所以选取的2人中至少有1人阅读时长在的概率为． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，； （2）求的单调区间． 【答案】（1），． （2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】 【小问1详解】 由题可知，在处的切线斜率为0， 对求导得， 则，所以， 因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 由题可知，的定义域为， 求导得， 则当时，，则的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，令，解得，令，解得， 则的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 17. 甲、乙两名同学进行答题比赛，规则为：每局比赛胜者得3分，负者得1分，若某同学连续胜2局，或积分率先达到11分，则该同学获胜．已知甲、乙两同学每局获胜的概率均为，每局比赛结果相互独立且无平局．记为比赛结束时进行的局数． （1）求恰好经过3局比赛甲获胜的概率； （2）求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 2 3 4 5 P ． 【解析】 【小问1详解】 设恰好经过3局比赛甲获胜为事件A. 比赛恰好进行3局就结束且甲获胜，说明第1局乙获胜，第2、3局甲连胜，甲凭借第2、3局的2连胜赢得比赛， 因为每局比赛结果相互独立，所以. 恰好经过3局比赛甲获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意，X的所有可能取值为. （甲甲或乙乙） （甲乙乙或乙甲甲） （甲乙甲甲或乙甲乙乙） （甲乙甲乙乙、乙甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、乙甲乙甲乙） 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 数学期望． 18. 已知函数的定义域为，，导函数． （1）证明：； （2）若对任意，，求的最大值； （3）设曲线在点（）处的切线为，直线与交点的横坐标为，若，求的取值范围． 【答案】（1）令，设， 因为，令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）观察的结构，将单独提取构造新函数，利用导数研究新函数的单调性与最大值，即可证明不等式成立. （2）对所给双变量不等式移项变形，构造辅助函数，将不等式恒成立转化为在上单调递增，进一步转化为在上恒成立，分离参数后构造新函数，利用导数求新函数的最小值，即可得到的最大值. （3）根据导数的几何意义写出曲线在点处的切线方程，联立切线方程与求解得到的表达式，将的条件转化为关于的函数符号问题，构造辅助函数研究其单调性，结合已知的条件即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 整理得， 设函数， 若，对恒成立， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 整理得， 令，则， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，当时，，所以当时，， 所以，所以a的最大值为． 【小问3详解】 由题意得切线， 由 得， 整理得， 则． 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以当时，， 当时，，所以t的取值范围是． 19. 在某次射击训练中，已知甲每次射击的命中率为（），每次射击是否命中相互独立，命中（）次时停止射击，记表示甲在本次训练中累计射击的次数． （1）若，求； （2）求； （3）若，证明：． （附：若为随机变量，则；若，当时，，可记作．） 【答案】（1） （2） （3）因为X的取值范围是， 设脱靶次数为，则， 且， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，令， 所以． 【解析】 【分析】（1）明确“”的实际含义为第6次射击恰好命中，且前5次射击恰好命中2次，结合独立重复试验的概率公式即可求解. （2）利用题干给出的期望线性性质，将累计射击次数对应的脱靶总次数拆分为r个几何分布的脱靶次数之和，通过错位相减法计算单个几何分布的期望，再推导总期望. （3）利用离散型随机变量分布列的归一性（所有概率之和为1），结合负二项分布的概率表达式，通过变量代换即可完成证明，体现概率模型与代数恒等式的转化思想. 【小问1详解】 由题意，“时，”表示“第6次射击时恰好命中，且前5次恰好命中2次”， 则． 【小问2详解】 设“第次命中到第i次命中前脱靶的次数”，则 的取值范围是， 因为， 且， 所以， 因为 设， 则， 所以 所以，当时，， 所以， 设Y为X次射击中脱靶的次数，则， 所以， 因为，所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法归纳： 1. 负二项分布模型识别：停止条件为累计命中次时，第次命中发生在第次射击，对应前次射击命中次，概率公式为. 2. 复杂离散型随机变量期望求解：可将随机变量拆分为多个简单随机变量的和，利用期望的线性性质简化计算，无需判断变量是否独立. 3. 幂级数恒等式证明：可借助概率分布列的归一性等概率结论，通过变量代换将概率问题转化为代数恒等式问题，简化推导过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $