精品解析：2026年贵州省中考数学试题

贵州省2026年初中学业水平考试（中考）试题卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个蒙古包抽象出的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 汽车 B. 路程 C. 速度 D. 时间 5. 如图，一只猴子从竹竿底端的点顺着往上爬至点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（ ） A. 逐渐变小 B. 始终不变 C. 逐渐变大 D. 无法确定 6. ，两数的平方差用代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，能判断直线的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：________． 14. 如图，在中，，垂足为，且，，则与之间的距离为__________． 15. 某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 16. 一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 20. 年“多彩贵州 书香高原”耕读行动掀起阅读热潮．某校为了解七年级学生某月参与阅读分享活动次数的情况，在甲、乙两班中各随机抽取名学生进行问卷调查，将数据进行整理并绘制成如下统计图表． 甲、乙两班抽取的学生某月参与阅读分享活动次数统计表 众数 中位数 平均数 方差 甲班 a 5.5 5 乙班 5 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________次，________次； （2）计算统计表中的值； （3）小星在整理此次抽取的名学生阅读分享活动次数的相关统计量时，他认为当两个班抽取的人数相同时，只需将统计表中对应的一组统计量相加除以，即得到被抽取总人数相应的统计量．你同意他的方法吗？若同意，判断这种方法能适用于其他统计量吗？请用上表中数据说明理由：若不同意，请举出一个反例进行说明． 21. 亚洲体操锦标赛于年月日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进，两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知种物品的单价比种物品的单价多元，用元采购种物品的数量与用元采购种物品的数量相同． （1）求，两种物品的单价各是多少元？ （2）该公司计划购进这两种物品共个，当购买种物品的费用不超过购买种物品的费用的倍时，种物品最多能购进多少个？ 22. 项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： （1）如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； （2）如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 23. 如图，已知是的直径，点，在上，． （1）线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； （2）求证：； （3）过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 24. 小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． （1）请帮小红确定点的位置，并画出图形； （2）解决该问题的依据是________； 【问题探究】 （3）如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 （4）如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 25. 某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2026年初中学业水平考试（中考）试题卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题不计分． 3．不能使用计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较四个气温，即可得到最低气温． 【详解】解：对四个气温数值进行大小比较， 是四个气温中的最低的． 2. 如图是一个蒙古包抽象出的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先拆分蒙古包对应的圆柱、圆锥组合几何体，分别确定两种立体图形的主视图形状，拼接得到完整主视图，再逐一排除错误选项选出答案． 【详解】解：题干中蒙古包抽象出的几何体，下半部分是圆柱、上半部分是圆锥， 从正面看，圆柱的主视图是矩形，圆锥的主视图是等腰三角形，组合后就是“下方矩形上方三角形”的图形，符合的是选项B； A、只有三角形，缺少下方圆柱部分； C、只有矩形，缺少上方圆锥顶； D、是带圆心的圆，不属于正面观察得到的图形． 3. 实数，在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出，即可判断出答案． 【详解】解：根据数轴可得，，， ． A、，正确 B、，，错误； C、，，错误； D、，，错误． 4. 小红爸爸驾驶一辆新能源汽车，以每小时千米的速度在花江峡谷大桥上匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 汽车 B. 路程 C. 速度 D. 时间 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的基本定义：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而变化的量是因变量，据此即可判断． 【详解】解：∵在这个变化过程中，速度保持不变，是常量，路程随着时间的变化而变化，时间主动发生变化， ∴自变量是时间． 5. 如图，一只猴子从竹竿底端的点顺着往上爬至点，眼睛始终盯着挂在顶端的帽子，在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行，则视线与水平方向所成的夹角（ ） A. 逐渐变小 B. 始终不变 C. 逐渐变大 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可知视线与水平方向所成的夹角不变． 【详解】解：在爬行过程中猴子的视线与竹竿平行， 在小猴爬行的过程中，视线与水平方向所成角等于，竹竿与地面的夹角， 小猴的视线与水平方向所成的夹角不变． 6. ，两数的平方差用代数式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵题目要求表示，两数的平方差， ∴运算顺序为：先分别求，的平方，再求两个平方的差， ∵的平方为，的平方为， ∴两数的平方差可表示为． 7. 如图，能判断直线的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，对顶角相等，不能得到； B、，邻补角互补，不能得到； C、，内错角相等，能判断； D、，同位角互补，不能判断． 8. 某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 9. 如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，易得为等边三角形，得到，根据作图得到证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为2． 10. 在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 11. 如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 12. 如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形的中心坐标，再结合点的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边的交点坐标即可． 【详解】解：矩形的长为，宽为，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上， 点，点，点，点， 直线将矩形分成面积相等的两部分， 该直线必经过矩形的对称中心（即对角线的中点）， 设矩形中心为点，则点的坐标为，即， 设过点和点的直线解析式为， ，解得， 直线解析式为， 点，点， 线段在直线上， 令，则，解得， 该直线与矩形边的交点坐标为． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．观察原式，发现公因式为；提出后，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 14. 如图，在中，，垂足为，且，，则与之间的距离为__________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，进而得到即为与之间的距离，易得为等腰直角三角形，得到，即可. 【详解】解：∵中， ∴， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴与之间的距离为2. 15. 某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向_________（填“上”或“下”）． 【答案】 上 【解析】 【分析】根据用频率估计概率的知识点，当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在概率附近，比较稳定后的频率大小，即可判断概率较大的事件． 【详解】解：当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近. 由表格数据可得， 随着累计抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在，“盖口向下”的频率稳定在， ， 抛掷这一瓶盖，盖口向上发生的概率较大． 16. 一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合即可证明； （2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 20. 年“多彩贵州 书香高原”耕读行动掀起阅读热潮．某校为了解七年级学生某月参与阅读分享活动次数的情况，在甲、乙两班中各随机抽取名学生进行问卷调查，将数据进行整理并绘制成如下统计图表． 甲、乙两班抽取的学生某月参与阅读分享活动次数统计表 众数 中位数 平均数 方差 甲班 a 5.5 5 乙班 5 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________次，________次； （2）计算统计表中的值； （3）小星在整理此次抽取的名学生阅读分享活动次数的相关统计量时，他认为当两个班抽取的人数相同时，只需将统计表中对应的一组统计量相加除以，即得到被抽取总人数相应的统计量．你同意他的方法吗？若同意，判断这种方法能适用于其他统计量吗？请用上表中数据说明理由：若不同意，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）3；5 （2）5 （3）不同意，举反例：甲班的数据中众数为3，乙班的数据中众数为5，按照小星的方法得到众数为，实际合并后20个数据中，5出现了7次，次数最多，故合并后的众数是5，并不是小星的方法算出来的4（反例不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）从众数、中位数和方差的角度举反例分析即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得，甲班数据中3出现的次数最多，故众数； 乙班数据排列为4，4，5，5，5，5，5，5，6，6，则中位数为第5、6个数据的平均数， 故； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 21. 亚洲体操锦标赛于年月日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进，两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给游客．已知种物品的单价比种物品的单价多元，用元采购种物品的数量与用元采购种物品的数量相同． （1）求，两种物品的单价各是多少元？ （2）该公司计划购进这两种物品共个，当购买种物品的费用不超过购买种物品的费用的倍时，种物品最多能购进多少个？ 【答案】（1） 种物品单价为元，种物品单价为元 （2） 种物品最多能购进个 【解析】 【分析】（1）设种物品单价为元，种物品单价为元，列分式方程求解即可； （2）设购买种物品个，则购买种物品个，根据购买种物品的费用不超过购买种物品费用的倍，列不等式求解． 【小问1详解】 解：设种物品单价为元，种物品单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：种物品单价为元，种物品单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种物品个，则购买种物品个， 根据题意可得：， 解得：， 答：种物品最多能购进个． 22. 项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： （1）如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； （2）如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； （2）小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【解析】 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知是的直径，点，在上，． （1）线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； （2）求证：； （3）过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】（1）相等；互相垂直 （2）证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； （3）补全图形如图： 的半径为3 【解析】 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 24. 小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． （1）请帮小红确定点的位置，并画出图形； （2）解决该问题的依据是________； 【问题探究】 （3）如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 （4）如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【答案】（1）如图①，点即为所求； （2）两点之间线段最短 （3）1 （4） 【解析】 【分析】（1）连接与直线的交点即为点； （2）依据为两点之间线段最短； （3）过点作的对称点，交于点，连接，交于点，则，故当点与点重合时，取得最小值，如图，连接，然后证明，再解即可； （4）过点作于点，过点作交的延长线于点，先判断点在直线上，连接，确定周长的最小值为，先证明，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作的对称点，交于点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值，如图，连接， ∵，点为中点，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上， 连接， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值即为， ∵，不变， ∴周长的最小值为， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值． 25. 某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】（1），； （2）能避开障碍物和暗礁； （3）． 【解析】 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； 【小问3详解】 解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $