河南周口市项城市第三高级中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

项城三高2025-2026学年度下期期末考试 高二数学 (满分150分，考试时间120分钟) 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求 1.已知函数f)=x2-1,则f(①)=( A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知等差数列{an}的前n项和为S,且S=2,S0-S1s=8,则S1=() A.3 B.4 C.5 D.6 3.在(x2-)8的二项展开式中，第4项的二项式系数是() A.56 B.-56 C.70 D.-70 4.在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两 个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则 不同的分配方案有() A.6种 B.12种 C.14种 D.28种 5.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得-1分，记总得 分为X,则() A.E(X)=8B.E(X)=12C.D(X)=6D.D(X)=18 6.掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件A为“两次的点数之和大于6”，事件B为两次点 数中的最小点数为3，则P(B)=() B. 12 c. 7 D.3 23 7.长时间玩手机会影响视力.据调查，某学校学生中，大约有二的学生每天玩手机超过 1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为. 现从该校随机调查一名学生， 高二数学试题第1页（共4页) 他近视的概率大约是() B. 2 、7 5 5 .16 8.若函数f(x)=nx-(x-1)恰有两个极值点，则实数m的取值范围为() (0m) B.（-∞-2)U(0,+∞) C.（-0,-2) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 9.下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量y(单位：亿吨)与年份代码x(1-5 分别对应2021-2025)的相关数据.根据表中数据求得y关于x的经验回归方程为 =bx+7,则( y 2 3 5 12 18 25 30 34 A.x与y正相关 B.回归直线过点(3,24) C.b=5.6 D.预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10.下列说法正确的是() A随机变量X~NL2).则P(X>-=号 B.随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=p,则E(X)=p C.随机变量5的分布列为P5=)=m兮(=1,2)，则m= D随机变显57满是25刀=4，且5-86) 则E()=0 11.己知函数f(x)=2f(1)lnx+x,则() 高二数学试题第2页（共4页) A.f(1)=-2 B.曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2x+y-3=0 C.f(x)恰有2个极值点 D.f(x)的图象与x轴恰有2个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X≤2.)=0.36，则 P(X>2.5= 13.若直线y=-3x+m与曲线y=2-nx相切，则实数m的值为 14.袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸 出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与 摸球，则恰好2人获奖的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.(13分) 己知等差数列{a}的前n项和为Sn,且a4-41=1,S5=3a5. 1 (1)求{a}的通项公式： (2)设bn=4,+ ,求数列{}的前n项和T 16.(15分) 已知(2x-1)”=+4x+2x2+.…+a,x”展开式共有11项. (1)求的值，并求二项式系数的最大值： (2)求a+q+a+…+a的值： 11. (3)求a+2a+5 42+ 4 8+… 2n0,的值 17.(15分) 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三 位同学答对题目的概率分别为行言， 231 ，且他们答对与否互不影响. (1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率： (2)若答对题目得2分，答错题目扣1分，用X表示甲、乙、丙三位同学的得分之和， 求X的分布列与数学期望， 高二数学试题第3页（共4页) 18.(17分) 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%。某城市 研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整 理成如下列联表，现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶 员的样本占样本总数的5 偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人. 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 300 (1)请根据己知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值0=0.01的独立性检验， 分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联？ (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一 步访谈，然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车 的人数为X,求X的分布列及数学期望. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 a 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：X= nad-be) n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 19.(17分) 已知函数f(y)x2-adx,a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的极值： (2)讨论函数y=∫(x)的单调性； (3)若函数y=f(x)有两个零点，求a的取值范围. 高二数学试题第4页（共4页)项城三高2025-2026学年度下期期末考试 高二数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求 1,【详解】选D由f)=x-1,得f(x)=2x+是，则f=2+1=3 2.【详解】选D.因为S5,S10-S5,S5-S10,S如-S15成等差数列，设其公差为d′，所以8=2+(4-1)×d”， 所以d'=2,所以S0-S5=S+d'=4,所以S0=S+4=6. 3.【详解】选A第4项的二项式系数为C=56. 4.【详解】选C.4位志愿者分到A、B两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种： 1人去A,3人去B:C4=4种 2人去A,2人去B:C4=6种 3人去A,1人去B:C=4种 总方案数：4+6+4=14种 5【详解】迹D设Y为正面向上的次数，则了~B8》 总得分X=2Y+(-1)×(8-Y)=3Y-8, 由1)=8×分1，D)=8〔1)-2，所以EX)-E(-8=38)）-8=4 D(X)=D(3Y-8)=9D(Y)=9×2=18,所以D正确. 6.【详解】选C.事件A包含的结果有(1,6)，(2,5)，(2,6，，(6,5)，(6,6共1+2+3+4+5+6=21种， 事件A⌒B包含的结果有(3,4)，(3,5，(3,6)，(4,3)，(5,3)，(6,3)共6种， 则P(80--会-号 7.【详解】选B.设事件A=“学生玩手机超过1小时”，事件B=“学生近视”，事件A为A的对立事件， 白题可得P4利片P川4小=子P(-号则a到-1专号 商P-P小+Pa啊可号号 第1页/共8页 8.【详解】选C.由函数f(x)=lnx-m(x-1),其定义域为(0，+o,且 f(m名2m(x-1）=2mm+2mx+1 因为函数f(x)恰有两个极值点，即-2x2+2x+1=0在(0，+)上有两个不同的解， 显然m≠0，即，1=x-x在(0，+四)上有两个不同的解， 2m 即y= 1 与y=x2-x的图象在(0，+0)上有两个不同的交点， 2m 仪由y对应的撒物线开扣向上，对称销为x专y。 句图示。可背一才千<0，解得m加-之，所以失数的取丝能国么-》 故选：C y=x2-x 2m 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分 9.【详解1选AC下=1+2+3+4+5=3，y=12+18+25+30+34_1 5, 而回归直线为)=x+7,故 119 5 =6x3+7,故6=5.6，故C正确， 因为b=5.6>0,故x与y正相关，故A正确： 当x=3时，y=5.6×3+7=16.8+7=23.8≠24，故B错误： 2030年对应x=10,此时生活垃圾无害化处理量为10×5.6+7=63（亿吨）， 故D错误。 10【时解】运ABD选顶A:能机安X~N1,2),根糕正态分布性质，则P(X>=了速项A 正确： 选项B:随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p,进而 第2页/共8页 E(X)=0×(1-p)+1×p=p,选项B正确： 速项C:住机变5粉布为P5=对=四目传=12小，烟个行)1，m=号适项c错 误： 流项D:随机变量5,7满足25+刀=4，且5~B6写 1 则E(5)=2,进而 E(7)=E(25+7)-2E()=4-2×2=0,选项D正确. 1.【详解)选AB.对于A,求导可得f(x)=2∫()+2x,令x=1可得子()=2f四+2，所以 ∫(1)=-2，即A正确： 对于B,由A可得f(x)=-4nx+x,则f(I)=1, 所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,可得B正确： 对于C,易知西数国的定义城为0+m.又r-2-4_2x+5儿x-V 令f'(x)=0,可得x=, 所以当x∈(0,2)时，f(x)<0,当x∈(V2,+o)时，f(x)>0, 因此函数f(x)在(0，V②)上单调递减，在(V2,+0)上单调递增， 所以函数f(x)仅在x=√2处取得极小值，即f(x)仅有1个极值点，可知C错误； 对D南c中分可知//小)=2-h4bnl=0 即对于任意x∈(0，+o),f(x)>0恒成立，因此D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.详解】因为X~N(2,o),所以P(X<2)=P(Y>2)=0.5,因此 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 故答案为：0.14. 第3页/共8页 13.【详解1设直线y=-3x+m与曲线y=2-nx相切于点(，%（飞>0）， 由y=2-1nx得y=-21 所以一 3，整理行3戏-名-2-0，解符头=1成%=号 (舍去)， 所以=2-n1=2,即切点为(1,2) 所以将(1,2)代入直线方程得2=-3×1+m,解得=5. 故答案为：5 14.【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有C=10种情况， 其中两个号码的和为偶数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)，（2,4)共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为 42 05 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率C:× 2)3 216 625 216 故答案为： 625 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【小问1详解】 设等差数列{a}的公差为d, a-4=d=1 由题意， 4=1 s=54+54a=3a=3a+4d解得1 d=11 2 所以an=41+(n-1)d=n, 故数列{an}的通项公式a.=n 【小问2详解】 由(1)知，b,=0±)=n+2 所以z=++)+动+a+ 第4页/共8页 n2+n+2 2 2 皮数列私的前”项和7=公2（图 2 16.【小问1详解】 二项式(2x-1)展开式的项数为n+1, 由题知展开式共11项，因此n+1=11,得n=10, 因为10是偶数，枚二项式系数的最大值为C。=5孔5 10 =252: 【小问2详解】 (2x-1)”展开式中，系数4，的符号由(-1)0决定， 即4，对应将原式中-1换为1后的系数， 等价于令x=-1代入原式：[2×(-1)-1]”=a,-a+a,-+a4o=lal+la++al, 计算得(-3)”=30，因此结果为30： 【小问3详解】 左边等于010=0，因此结果为0. 17.【小问1详解】 甲、乙、丙答对题目分别记为事件A,B,C,三人中恰有两人答对题目记为事件D, o=a川+ra=号对号员 P(AD)=P(4BC)+P(ABC)-2x3x12x1x11 3423423 第5页/共8页 所以P(AD)= P(AD) 38 P(D) 11-11 24 【小问2详解】 由题意可知，X的所有可能取值为-3,0,3,6， 则Px=到=1引1》1司 x-o-》 x-列-1-引+1-》14 所以X的分布列为 X -3 0 3 6 1 1 11 1 24 4 24 4 故E(X)=-3x1+0x+3x1 1_11 +6× 24 4 24 44 18.【小问1详解】 因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%， 故样本中偏好燃油汽车的人数为300×50%=150， 4 因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的 5 4 故样本中女性驾驶员的人数为300×=80，由题意，列联表补充如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设H。为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联， 第6页/共8页 根据列联表数据，计算得z300×120×50-100×3036.818>6.635=1了 220×80×150×150 根据小概率值=0.01的独立性检验，可以推断H,不成立， 即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 30 由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为 ×8=3人， 80 50 偏好新能源汽车的人数为二×8=5人， 80 随机变量X的可能值为0,1,2,3， m=叭音系x=尝-是 C56 P(X=2)= 28 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 15 15 5 56 56 28 28 X的数学期望E(X)=1× +2 15 515 56 +3× 28 288 19.【小问1详解】 白画数了(-子式-，所以运数的定义提为Q+o） f)=士令f()0得x1,f)<0得0<x<1, 故f(x)在(1，+o)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 放当x=1时f()取极小值f)=),无极大值。 【小问2详解】 f(x)=x-a-x-a 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)在(0，+o)单调递增： 第7页/共8页 当a>0时，令f(x)>0得x>a,f'(x)<0解得0<x<Va, 故f(x)在(0，Va)单调递减，在(Va,+∞）单调递增： 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+o)单调递增； 当a>0时，f(x)在(0，√a单调递减，在(Va,+∞)单调递增。 【小问3详解】 由题意可得于x=adnr有两个不等根，等价于。 有两个不谷银 令8(x)=nx 则g(x)=1-2mr x3 令g(x)=1-2lnx、 ≥0相0，g-1-2加<0相xe, x3 1 故g(x)在0，e 单调递增，在e',+o 单调递减， 当x→0时，g(x)→-0，当x→+0时，g(x)→0，如图所示， y=g(x) 2e e . 故y=2a 与y= 要有两个不同欢点则0 1 <g e 解得a>e,故a的取值范围为(e,+o). 第8页/共8页