精品解析：河南省项城市第三高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

项城三高2024-2025学年度下期期末考试 高二数学试卷 （满分150分 考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上. 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 详解】由，得，解得， 又，所以， 所以，又， 所以. 故选：A. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案. 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 3. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊三角函数值求角，即可作出判断. 【详解】由或 又由， 故选:D. 4. 下列表示是同一个函数的是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 5. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 6. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 7. 已知函数和．设，则函数（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 无最大值，有最小值0 C. 无最大值，无最小值 D. 无最大值，有最小值1 【答案】D 【解析】 【详解】如图，由函数的图象可知函数无最大值，当，即或2时，函数有最小值． 8. 函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（ ） ①是偶函数； ②是上减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断①；利用函数单调性的定义可判断②；利用函数单调性可知在上的最小值为，利用赋值法求出的值，可判断③；将所求不等式变形为，结合函数的单调性解此不等式，可判断④. 【详解】对于①，取，则，解得， 令，则，即，且函数的定义域是， 所以函数是奇函数，故①错误； 对于②，令、，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故②正确； 对于③，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故③错误； 对于④，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故④正确， 故选：B. 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则将化简得，再利用虚部的定义判断A选项；利用共轭复数的定义判断B选项；利用复数的模的计算公式求得判断C选项；最后利用复数的几何意义判断D选项. 【详解】， 对于A选项，的虚部为，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断选项A的正误，根据特称命题得否定，判断B选项正误，根据基本不等式取等号的情况，判断C选项正误，根据不等式恒成立的情况，判断D选项正误. 【详解】由可知，所以，则，所以A正确； 根据存在量词命题的否定，改变量词，否定结论可知，B正确； 当时，，由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以取不到等号，所以C错误； 当时，不等式为，对任意恒成立，所以D错误. 故选：AB. 11. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【详解】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】要使得函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将整理为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 14. 已知函数，是上严格增函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求 （2）若，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域求值即可； （2）分、令，解方程可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， ； 【小问2详解】 当时，，解得（舍）； 当时，，解得，又因，所以. 综上：实数. 16. 求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【小问1详解】 已知，， 令，，则，代入上式得， 即. 【小问2详解】 设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 17. 已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【小问1详解】 由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； 【小问2详解】 因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； 【小问3详解】 时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值. （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； （3）若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】（1） （2）增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. 【小问2详解】 是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. 【小问3详解】 因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. 【小问2详解】 设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 项城三高2024-2025学年度下期期末考试 高二数学试卷 （满分150分 考试时间120分钟） 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案都写在答题卷上. 一、单项选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 下列表示是同一个函数的是（ ） A. B. C. ， D. 5. 不等式的解集是，则的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数为定义在上奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数和．设，则函数（ ） A. 有最大值2，无最小值 B. 无最大值，有最小值0 C. 无最大值，无最小值 D. 无最大值，有最小值1 8. 函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（ ） ①是偶函数； ②是上的减函数； ③在上的最小值为； ④若，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应点位于第二象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 11. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_____. 13. 已知函数，则的最小值为______． 14. 已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求 （2）若，求实数的值 16. 求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求. 17. 已知是定义在上的偶函数，当时，. （1）求，值； （2）求的解析式； （3）画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值. （2）判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； （3）若函数满足不等式，求出的范围. 19. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$