5.1 认识方程（八大题型）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦方程核心概念，通过八类题型构建“定义辨析-解的判断-实际建模-性质应用”的递进逻辑，强化符号意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断是否是方程|3题|考查方程定义（含未知数、等式）|从概念本质出发，区分方程与代数式| |列方程|3题|结合古算题、几何等情境建模|体现数学语言表达现实世界的应用意识| |判断方程的解|3题|验证解的代入法|深化方程解的概念理解| |已知解求参数|3题|逆向运用解的定义求未知系数|培养推理意识与运算能力| |判断一元一次方程|3题|考查一元一次方程的定义（次数、系数）|构建方程分类的抽象能力| |判断一元一次方程的解|3题|结合整式值表分析解|强化解与代数式值的关联| |等式性质1|3题|辨析等式加减变形的正确性|奠定解方程的理论基础| |等式性质2|3题|辨析等式乘除变形的条件|完善等式变形的推理逻辑|

5.1 认识方程 题型一 判断各式是否是方程 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．是关于x的一元一次方程，则m的取值范围__________ ． 3．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 题型二 列方程 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 5．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是______．（写数字） 6．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 题型三 判断是否是方程的解 7．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 8．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 9．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 题型四 已知方程的解，求参数 10．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 11．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 题型五 判断是否是一元一次方程 13．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 14．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 15．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 题型六 判断是否是一元一次方程的解 16．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 17．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 18．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 题型七 等式的性质1 19．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 20．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 21．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 题型八 等式的性质2 22．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．已知，则代数式的值为______． 24．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 认识方程 题型一 判断各式是否是方程 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．是关于x的一元一次方程，则m的取值范围__________ ． 【答案】 【分析】根据题意，方程是关于的方程，故的系数不能为零，解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由方程 是关于 的方程， 故 ， 解得 ， 故答案为：． 3．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程； (2)是方程，也是一元一次方程； (3)是方程，不是一元一次方程． 【分析】本题考查方程，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （2）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （3）根据方程和一元一次方程的定义判断即可 【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数， ∴不是方程，不是一元一次方程； （2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为， ∴是方程，也是一元一次方程； （3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为， ∴是方程，不是一元一次方程． 题型二 列方程 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 5．小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘（其中记作，记作，记作，记作），再加上，再乘，再减去，然后加上抽出的纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是，梅花的代号是，红桃的代号是，方块的代号是，最后这位同学说出运算结果是．这位同学抽出的纸牌点数是______．（写数字） 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的应用和数字的变化规律，正确理解题意，找到数字的变化规律是解题的关键．设抽出的纸牌点数为，花色代号为（其中 分别对应黑桃、梅花、红桃、方块），根据运算步骤列出方程，通过代数变换和解方程确定的值即可． 【详解】解：设抽出的纸牌点数为，花色代号为， 由题意得，运算结果为：， 已知运算结果为， 故有方程：， 整理得：． 由于为至的整数，且为的倍数，因此需为的倍数，检验 ： 当 时，，不是的倍数； 当 时，，是的倍数； 当 时，，不是的倍数； 当 时，，不是的倍数． 故仅 满足条件，此时 ，解得 ， 因此抽出的纸牌点数为． 故答案为：． 6．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 题型三 判断是否是方程的解 7．是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 8．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 9．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 题型四 已知方程的解，求参数 10．若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. 11．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 12．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 题型五 判断是否是一元一次方程 13．下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．中含有2个未知数，不满足一元一次方程定义，不符合题意； B．中未知数的最高次数是2，不满足一元一次方程定义，不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，属于一元一次方程，符合题意； D．分母含有未知数，不是整式方程，不满足一元一次方程定义，不符合题意． 14．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为，据此列出关于的方程即可求解. 【详解】解：是关于的一元一次方程， 未知数的次数为，即， 解得. 15．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 题型六 判断是否是一元一次方程的解 16．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 17．整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____． 0 1 2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解． 【详解】解：∵， ， 由表可知：， 故答案为：． 18．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 题型七 等式的性质1 19．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 20．若、、是整数，是正整数，且，，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将三个式子相加可得，从而得出，，表示出，结合是正整数，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴将三个式子相加可得：， 整理可得， ∴， 将代入可得：，即， 将代入可得：，即， ， 为正整数， ∴当时，原式取得最大值． 21．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 题型八 等式的性质2 22．下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．据此逐一判断变形是否正确． 【详解】解：根据等式的基本性质判断： 对于A，∵，等式两边同时减同一个数6，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于B，若，当时，无论是否相等，等式都成立， ∴无法推出，变形错误； 对于C，∵，分式分母不为0，可得，等式两边同时乘，等式仍然成立， ∴，变形正确； 对于D，∵，等式两边同时除以非零数，等式仍然成立， ∴，变形正确； 综上，变形错误的是B． 23．已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 24．判断下列等式变形是否正确，并说明理由． (1)若，则． (2)若，则． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确．理由见解析 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． （1）根据等式的性质，可得答案； （2）根据等式的性质，可得答案． 【详解】（1）解：不正确，理由： 等式两边都乘， 所得等式为． （2）解：不正确，理由： 等式两边都除以， 所得等式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $