专题 1.1生活中的立体图形（八大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以“模块-专题-压轴”三级递进结构，系统整合立体图形识别、分类及点线面体关系，通过典例变式实现方法迁移与空间观念培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体识别|1典例+3变式|实物抽象几何体特征分析法|从生活实例到立体图形概念生成| |立体图形分类|1典例+3变式|按面的曲直/柱锥球分类标准|概念内涵拓展与分类逻辑构建| |点棱面关系|1典例+3变式|欧拉公式及棱柱要素关系法|从构成要素到数量关系推导| |动态认识点线面体|1典例+3变式|图形运动转化（点动成线等）思想|静态关系到动态生成的思维进阶| |旋转体及体积|1典例+3变式|平面图形旋转轨迹判断及体积公式应用|几何直观与空间想象能力综合提升|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题1.1生活中的立体图形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 几何体的识别 微专题1动态认识点、线、面、体 模块2 立体图形的分类 微专题2平面图形旋转所得立体图形 模块3 几何体中的点、棱、面 压轴1 求平面图形旋转所得立体图形体积 模块4 组合几何体的构成 通关检测·实战演练 模块5 点、线、面、体四者之间的关系 知识梳理 · 基础溯源 【知识点1立体图形的认识】 1．立体图形:有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2．立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等． 3．棱柱的有关概念及其特征： ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形． ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面． 【知识点2 点、线、面、体的关系】 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 模块通关·举一反 三 【模块一】几何体的识别 【典例1】鲜艳欲滴的水果是人们的最爱，观察图中的三幅图片，与如图所示的实物相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是    (    ) A．球、圆锥、圆柱 B．球、棱柱、棱锥 C．圆柱、圆锥、球 D．球、圆柱、圆锥 【变式1-1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．球 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 【变式1-2】如图所示的四种物体中，哪种物体最接近于圆柱(    )． A．（A） B．(B) C．(C) D．(D) 【变式1-3】下列几何体是三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【模块二】立体图形的分类 【典例2】下列几何体中，含有曲面的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】．如图所示的立体图形中，不是柱体的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】下列几何体中，棱柱有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块三】几何体中的点、棱、面 【典例3】下列说法错误的是（    ） A．长方体、正方体都是棱柱 B．三棱柱的侧面是三角形 C．直六棱柱有六个侧面且侧面为长方形 D．棱柱的底面都是多边形 【变式3-1】若一个棱柱有12个顶点，则下列说法正确的是（    ） A．这个棱柱是十二棱柱 B．这个棱柱有4个侧面 C．这个棱柱的底面是八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【变式3-2】三棱柱的顶点个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【变式3-3】不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（　　） A．四棱柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【模块四】组合几何体的构成 【典例4】如图，模块①由个棱长为的小正方体构成，模块②—⑥均由四个棱长为的小正方体构成；现在从模块②—⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为的大正方体，下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②⑤⑥ B．模块③④⑥ C．模块②④ D．模块③⑤⑥ 【变式4-1】组成如图所示的陀螺的是（    ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【变式4-2】从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式4-3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【模块五】点、线、面、体四者之间的关系 【典例5】将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．设其中一面、两面、三面涂色的小正方体的个数分别为为、、，则、、之间的关系为（      ） A．－＋＝1 B．＋－＝1 C．－＋＝2 D．＋－＝2 【变式5-1】五棱柱有_______个面，_________个顶点，__________条棱. 【变式5-2】若一个直n棱柱共有18条棱，则它是________棱柱，有________个面，________个顶点． 【变式5-3】简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 正八面体 8 12 现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝_____． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】动态认识点、线、面、体 【典例6】将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式6-1】一个正方体的表面涂满了同种颜色，按如图所示将它切成个大小相等的小立方块．设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则、、之间的数量关系为________． 【变式6-2】将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么n的值为_____． 【变式6-3】如图①是一个正方体木块，把它切去一块，分别得到如图②③④⑤所示的木块. 我们知道，图①中的正方体木块有8个顶点12条棱，6个面，请你将图②③④⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表. 图号 顶点数x 棱数y 面数z ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ 【微专题二】平面图形旋转所得立体图形 【典例7】如图，左排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到右排的立体图形，那么与甲乙丙丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为（　　） A．③④①② B．①②③④ C．③②④① D．④③②① 【变式7-1】如图所示将三角形绕直线l旋转一周，可以得到图(e)所示的立体图形的是(　　) (a)　　       　(b)　　  　(c)　    　　(d)　       　　(e) A．图(a) B．图(b) C．图(c) D．图(d) 【变式7-2】将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】求平面图形旋转所得立体图形体积 【典例8】现有一个长为，宽为的长方体，绕它的一边旋转一周得到的几何体的体积是 ． 【变式8-1】．两条直角边长度分别为，的直角三角形，绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到立体图形的体积较大的是（锥体的体积公式：×底面积×高）（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，旋转一周所形成的旋转体体积与其他图形不相等的是（    ）． A． B． C． D． 【变式8-3】如图，长方形的相邻两边的长分别为x，y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_________； (2)若（k是常数），分别记绕长度为x，y的边旋转一周的几何体的体积为，，其中x，，的部分取值如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况为______； A．逐渐增大；  B．逐渐减小；  C．先增大再减小；  D．先减小再增大； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 通关检测·实战演练 1.下列实物对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、长方体 D．棱柱、圆锥、四棱柱、长方体 2.下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A．B． C． D． 3.下列图形中属于棱柱的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 5.观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 6.观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A． B． C． D． 9.一个长方形的长是厘米，宽是厘米．如图所示，以长为轴旋转一周形成的圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙．下面说法正确的是（ ）． A．两个圆柱的底面积一样大 B．两个圆柱的底面周长一样大 C．两个圆柱的侧面积一样大 D．两个圆柱的体积一样大 10.综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 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【分析】常见的立体图形如:长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；观察图形并结合上述立体图形,即可得到答案. 【详解】由题目可知，第一个水果是类似球，第二个类似圆柱，第三个类似圆锥. 故答案选D. 【点睛】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识. 【变式1-1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（　　） A．球 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】利用长方体的立体图形判定即可． 【详解】长方体是立体图形，选项B中缺少遮挡的虚线，所以B图形名称与图形不相符． 故选B． 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，解题的关键是熟记各种立体图形的特征． 【变式1-2】如图所示的四种物体中，哪种物体最接近于圆柱(    )． A．（A） B．(B) C．(C) D．(D) 【答案】A 【详解】试题解析：A.生日蛋糕盒最接近圆柱. 故选A. 【变式1-3】下列几何体是三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱柱由上、下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的三角形，侧面是矩形，根据三棱柱的定义可选出答案． 【详解】解：三棱柱的上下底面应为两个完全相同三角形， 故选C． 【点睛】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识立体图形． 【模块二】立体图形的分类 【典例2】下列几何体中，含有曲面的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面，三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形，六棱柱由两个六边形，六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 【变式2-1】图中属于柱体的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据柱体的定义：一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，进行判断即可． 【详解】解：①③④⑤⑥⑧为柱体，共6个．②为圆锥，⑦为球体， 故选D． 【点睛】本题考查柱体的识别．熟练掌握柱体的定义，是解题的关键． 【变式2-2】．如图所示的立体图形中，不是柱体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据柱体的定义逐一判断，可得答案． 【详解】解：A．正方体是柱体，故本选项不符合题意； B．直三棱柱是柱体，故本选项不符合题意； C．直四棱柱是柱体，故本选项不符合题意； D．此立方体不符合柱体的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了认识柱体，柱体是一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱． 【变式2-3】下列几何体中，棱柱有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：第一个图是四棱柱，第二个图是圆柱，第三个图是圆锥，第四个图是四棱柱，第五个图是球，第六个图是三棱柱，其中棱柱有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱的概念． 【模块三】几何体中的点、棱、面 【典例3】下列说法错误的是（    ） A．长方体、正方体都是棱柱 B．三棱柱的侧面是三角形 C．直六棱柱有六个侧面且侧面为长方形 D．棱柱的底面都是多边形 【答案】B 【分析】根据立体图形的特征进行分析即解． 【详解】解：A、长方体、正方体都是棱柱，故本选项正确，不符合题意； B、三棱柱的侧面是长方形，故本选项错误，符合题意； C、直六棱柱有六个侧面且侧面为长方形，故本选项正确，不符合题意； D、棱柱的底面都是多边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查棱柱的特征：上下底面可以是任意多边形，但侧面一定是四边形，掌握棱柱的特征是解题关键． 【变式3-1】若一个棱柱有12个顶点，则下列说法正确的是（    ） A．这个棱柱是十二棱柱 B．这个棱柱有4个侧面 C．这个棱柱的底面是八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【答案】D 【分析】根据棱柱有12 个顶点知上下底面各有6个顶点，即这个棱柱的底面是六边形． 【详解】解：∵棱柱有12 个顶点， ∴上下底面各有6个顶点，即这个棱柱的底面是六边形，棱柱有6条侧棱， 故选：D． 【点睛】本题主要考查立体图形，熟记n棱柱的特征，即棱数与侧棱、与侧面、与底面的边数之间的关系，是解决此类问题的关键． 【变式3-2】三棱柱的顶点个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据三棱柱的定义，即可得到答案． 【详解】∵三棱柱的上下底面都是三角形，侧面是平行四边形， ∴三棱柱的顶点个数是6个， 故选B． 【点睛】本题主要考查三棱柱的定义，掌握三棱柱的上下底面都是三角形，侧面是平行四边形，是解题的关键． 【变式3-3】不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是（　　） A．四棱柱 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【答案】D 【分析】根据三棱锥的特点，可得答案． 【详解】侧面是三角形，说明它是棱锥，若是棱柱，则侧面应该是长方形， 底面是三角形，说明它是三棱锥，且满足有6条棱的特点， 故选：D． 【点睛】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键． 【模块四】组合几何体的构成 【典例4】如图，模块①由个棱长为的小正方体构成，模块②—⑥均由四个棱长为的小正方体构成；现在从模块②—⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为的大正方体，下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②⑤⑥ B．模块③④⑥ C．模块②④ D．模块③⑤⑥ 【答案】A 【分析】根据题目要求，仔细观察每个模块，从模块①的条件可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可找到正确选项． 【详解】解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 符合上述要求的是②，⑤，⑥． 故选：A． 【点睛】本题考查了立体图形，重点是能够仔细观察立体图形的基本形状，分析图形的结构特点，展开丰富的空间想象力完成此题． 【变式4-1】组成如图所示的陀螺的是（    ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【分析】图中的几何体上面是圆柱，下面是圆锥，由此可得解． 【详解】解：如图所示的陀螺的是由圆柱和圆锥组成的． 故选D． 【点睛】此题考查从实物中抽象出立体图形，要求学生掌握常见的圆柱、圆锥、球这些立体图形的特征． 【变式4-2】从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【详解】本题考查整体的思想及简单几何体表面积的计算能力．从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积． 解：挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24． 故选C． 本题可以有多种解决方法，一种是把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦，另一种算法就是解答中的这种，这种方法的关键是能想象出得到的图形与原图形表面积相等． 【变式4-3】若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵要求塔形露在外面的面积超过7（不包括下底面），最下面的立方体棱长为1， ∴最下面的立方体露出的面积为：4×（1×1）+0.5=4.5； 那么上面一层假如有立方体的话露出的面积为4×0.5+0.5×0.5=2.25，这两层加起来的面积为：6.75． 那么上面一层假如还有立方体的话露出的面积为4×0.25+0.25×0.25=1.0625，这三层加起来的面积为：7.8125． ∴立方体的个数至少是3． 故选B． 【模块五】点、线、面、体四者之间的关系 【典例5】将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．设其中一面、两面、三面涂色的小正方体的个数分别为为、、，则、、之间的关系为（      ） A．－＋＝1 B．＋－＝1 C．－＋＝2 D．＋－＝2 【答案】C 【详解】分析： 如下图所示，只有1个面被涂色的小正方体共有6个，有两个面被涂色的小正方体共有12个，有三个面被涂色的小正方体共有8个，即，将所得结果代入各选项检验即可作出判断. 详解： 如下图所示，由图可知：只有1个面被涂色的小正方体共有6个，有两个面被涂色的小正方体共有12个，有三个面被涂色的小正方体共有8个， ∴， ∴，即A中结论错误，C中结论正确； ，即B和D中结论都是错误的. 故选C. 点睛：“读懂题意，画出如图所示的示意图，并由此得到的值”是解答本题的关键. 【变式5-1】五棱柱有_______个面，_________个顶点，__________条棱. 【答案】 7 10 15 【分析】根据n棱柱，有2n个顶点，3n条棱求解即可． 【详解】解：五棱柱有 7个面，10个顶点， 15条棱． 故答案是：7；10； 15． 【点睛】本题考查了棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱． 【变式5-2】若一个直n棱柱共有18条棱，则它是________棱柱，有________个面，________个顶点． 【答案】 6 8 12 【分析】先根据直棱柱的定义可得，再画出图形即可得． 【详解】这个直n棱柱共有18条棱， ， 画出图形如下所示： 则它共8个面，12个顶点， 故答案为：6，8，12． 【点睛】本题考查了直棱柱，熟练掌握直棱柱的概念是解题关键． 【变式5-3】简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 正八面体 8 12 现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝_____． 【答案】8 【分析】直接利用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为V﹣E+F=2，求出答案． 【详解】解：∵现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30， ∴这个多面体的顶点数V=2+E﹣F， ∵每一个面都是三角形， ∴每相邻两条边重合为一条棱， ∴E=F， ∵E+F=30， ∴F=12， ∴E=18， ∴V=2+E﹣F=2+18−12=8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了欧拉公式，正确运用欧拉公式进行计算是解题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】动态认识点、线、面、体 【典例6】将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】五棱柱有15条棱，观察五棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是6条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是6条， 则至少需要剪开的棱的条数是：15﹣6＝9（条）． 故至少需要剪开的棱的条数是9条． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立体图形的展开与折叠，准确分析判断是解题的关键． 【变式6-1】一个正方体的表面涂满了同种颜色，按如图所示将它切成个大小相等的小立方块．设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则、、之间的数量关系为________． 【答案】 【分析】根据题图分别找出3个面，2个面，1个面涂有颜色的正方体即可. 【详解】解：由题图可知：在原正方体的8个顶点处的8个小正方体上，有3个面涂有颜色；2个面涂有颜色的小正方体有12个，1个面涂有颜色的小正方体有6个， 则6﹣12+8=2. 故答案为. 【点睛】本题主要考查认识立体几何图形，根据已知得出涂有颜色不同的小立方体的个数是解题关键． 【变式6-2】将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么n的值为_____． 【答案】7 【分析】根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律，得将这个正方体的棱等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论． 【详解】解：由题意可知：将这个正方体的棱等分，有个是各个面都没有涂色的， 所以 ， 解得n=7， 故答案为7． 【点睛】本题是立体几何的规律探究题，解题的关键是结合图形得出规律，列出方程，解方程即可. 【变式6-3】如图①是一个正方体木块，把它切去一块，分别得到如图②③④⑤所示的木块. 我们知道，图①中的正方体木块有8个顶点12条棱，6个面，请你将图②③④⑤中木块的顶点数、棱数、面数填入下表. 图号 顶点数x 棱数y 面数z ① 8 12 6 ② ③ ④ ⑤ 【答案】见解析 【分析】根据题目中各个图形确定顶点数、棱数及面数即可； 【详解】解： 图号 顶点数x 棱数y 面数z ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 10 15 7 ⑤ 10 15 7 【点睛】本题考查几何体的点、棱、面，正确识图是解题的关键. 【微专题二】平面图形旋转所得立体图形 【典例7】如图，左排的平面图形绕轴旋转一周，可以得到右排的立体图形，那么与甲乙丙丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为（　　） A．③④①② B．①②③④ C．③②④① D．④③②① 【答案】A 【解析】 【详解】 甲旋转后得到③，乙旋转后得到④，丙旋转后得到①，丁旋转后得到②．故与甲乙丙丁各平面图形顺序对应的立体图形的编号应为③④①②．故选A． 【变式7-1】如图所示将三角形绕直线l旋转一周，可以得到图(e)所示的立体图形的是(　　) (a)　　       　(b)　　  　(c)　    　　(d)　       　　(e) A．图(a) B．图(b) C．图(c) D．图(d) 【答案】B 【分析】根据图e的主视图是一个正方形,被直线l从中间分成两个等腰直角三角形,由此可以判断图e是由图b绕直线l旋转一周得到. 【详解】根据图e的主视图被直线l从中间分成两个等腰直角三角形可得: 图e是由图b绕直线l旋转一周得到. 故选B. 【点睛】本题主要考查面与之间关系,解决本题的关键要熟练掌握面与体之间关系. 【变式7-2】将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行分析，能求出结果． 【详解】所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答． 【变式7-3】如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 试题解析：如图所示： 压轴拓展·素养提升 【压轴一】求平面图形旋转所得立体图形体积 【典例8】现有一个长为，宽为的长方体，绕它的一边旋转一周得到的几何体的体积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点线面体，利用圆柱的体积公式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏解． 根据矩形旋转得圆柱，根据圆柱的体积公式，可得答案． 【详解】解：以宽为旋转轴，； 以长为旋转轴，． 答：以宽为旋转轴，得到的几何体的体积是；以长为旋转轴，得到的几何体的体积是． 故答案为：或． 【变式8-1】．两条直角边长度分别为，的直角三角形，绕其中一条直角边所在直线旋转一周，得到立体图形的体积较大的是（锥体的体积公式：×底面积×高）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面图形的旋转，理解直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥是解决问题的关键． 当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为，据此可求出其体积；然后比较它们的体积即可得出答案． 【详解】解：当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为， 此时该圆锥的体积为：； 当绕着边长为的直角边所在的直线旋转时，得到圆锥的底面半径为，圆锥的高为， 此时该圆锥的体积为：； 综上所述：体积较大的为． 故选：C． 【变式8-2】如图，旋转一周所形成的旋转体体积与其他图形不相等的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆锥体的体积计算公式．根据圆锥体的体积底面积高求解，分别求出各个选项中旋转体的体积并比较即可． 【详解】解：选项A中旋转体的体积为：， 选项B中旋转体的体积为：， 选项C中旋转体的体积为：， 选项D中旋转体的体积为：， 故选：A． 【变式8-3】如图，长方形的相邻两边的长分别为x，y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_________； (2)若（k是常数），分别记绕长度为x，y的边旋转一周的几何体的体积为，，其中x，，的部分取值如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况为______； A．逐渐增大；  B．逐渐减小；  C．先增大再减小；  D．先减小再增大； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 【答案】(1)圆柱 (2)①10，，；②C；③当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了矩形的旋转，圆柱的形成，圆柱的体积，函数的性质，熟练掌握圆柱的定义，熟练掌握圆柱的体积公式，函数的性质是解题的关键． （1）根据圆柱的概念求解即可． （2）①根据题意和圆柱的体积公式分别求解即可． ②根据题意和圆柱的体积公式填写表格，然后求解即可． ③根据②中的表格，分类求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，两次旋转所形成的几何体都是圆柱， 故答案为：圆柱． （2）①根据题意，得，， 当时，，， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：10，，； ②根据题意，得 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m ∴当x逐渐增大时，的变化情况：先增大后减小；故选C． ③根据题意，得，， 当时，得， 解得； 当时，得， ∴， ∴， 解得； 当时，得， ∴， ∴， 解得； 故当时，；当时，；当时，． 通关检测·实战演练 1.下列实物对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（　　） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、长方体 D．棱柱、圆锥、四棱柱、长方体 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的识别，根据实物读出名称即可． 【详解】圆柱，球，正方体，长方体． 故选：B． 2.下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．依次从观察图形，即可得出答案． 【详解】解：A、形状类似圆柱，故符合题意； B、形状类似长方体，故不符合题意； C、形状类似圆锥，故不符合题意； D、形状类似球，故不符合题意． 故选：A． 3.下列图形中属于棱柱的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的识别，知道棱柱的基本特征是解答本题的关键． 【详解】棱柱的定义是：有两个面相互相平行，其余各面都是四边形，并且每个相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的几何体叫做棱柱．根据棱柱定义可得共有4个棱柱． 故选B． 4.从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【详解】本题考查整体的思想及简单几何体表面积的计算能力．从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积． 解：挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24． 故选C． 本题可以有多种解决方法，一种是把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦，另一种算法就是解答中的这种，这种方法的关键是能想象出得到的图形与原图形表面积相等． 5.观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 6.观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键要注意观察，培养空间想象力，解题的关键是要掌握面动成体的原理；根据面动成体的原理以及空间想象力即可得到答案． 【详解】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体． 故选：D． 7．如图是一个由平面图形绕虚线旋转得到的立体图形，则这个平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体——图形的旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．图示几何体是由两个圆柱组成的，矩形旋转成圆柱，据此即可求解． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，故选项符合题意； B、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下两个圆柱，且上圆柱有空心，故选项不符合题意． C、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，且上下圆柱有空心，故选项不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周，能够得到上下中下三个圆柱，故选项不符合题意； 故选：A． 8．分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点、线、面、体．分别求出几何体，几何体的体积，再进行判断即可． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积为， 所以，两个立体图形的体积之比是． 故选：C． 9.一个长方形的长是厘米，宽是厘米．如图所示，以长为轴旋转一周形成的圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙．下面说法正确的是（ ）． A．两个圆柱的底面积一样大 B．两个圆柱的底面周长一样大 C．两个圆柱的侧面积一样大 D．两个圆柱的体积一样大 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积、面积，周长，侧面积公式解答即可． 【详解】解：∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面半径为厘米，乙圆柱的底面半径为厘米， ∴，， ∴， ∴两个圆柱的底面积不一样大， 故错误； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面周长为厘米，乙圆柱的底面周长为厘米， ∴， ∴两个圆柱的底面周长不一样大， 故错误； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的侧面积为，乙圆柱的侧面积为， ∴， ∴两圆柱的侧面积相等， 故正确； ∵长方形的长是厘米，宽是厘米， ∴甲圆柱的底面半径为厘米，乙圆柱的底面半径为厘米， ∴，， ∴，， ∴， ∴两个圆柱的体积不一样大， 故错误； ∴项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了圆柱的体积，面积，周长。侧面积公式，熟记体积和面积的相关公式是解题的关键． 10.综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： (1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 30 通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是 棱柱； (3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【来源】山西省晋城市城区第八中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题 【答案】(1)表见解析， (2)五 (3)6 【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； （2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $