21函数的最大(小)值课时作业----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层覆盖函数最值从基础计算到实际建模的完整路径，梯度设计适配新授课从概念理解到应用迁移的教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数（二次、反比例）闭区间最值|选择题1-4直接应用单调性或配方求最值，巩固概念理解| |提升层|含参数/分段函数综合应用|选择题7-10结合参数讨论与分段函数性质辨析，培养推理能力| |综合层|实际情境中的函数建模|解答题19-20通过销售利润、投资分配问题构建模型，发展应用意识|

课时作业21　函数的最大(小)值 一、选择题 1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　) A．2　　　　 B. C. D．－ 2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　) A．[－6，－2]　　　 B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] 3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 7．函数f(x)＝ax＋(2－x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为(　　) A. B．0 C．1 D．2 8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 9．(多选题)已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是(　　) A．函数f(x)一定存在最大值 B．函数f(x)一定存在最小值 C．函数f(x)一定不存在最大值 D．函数f(x)一定不存在最小值 10．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 二、填空题 11．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为 . 12．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是 . 13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 . 14．函数g(x)＝2x－的值域为________． 15．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 . 16.已知定义在R上的函数f(x)恒满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝1时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 18．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 19．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)． (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)． (1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大年收益，最大年收益是多少万元？ 课时作业21　函数的最大(小)值 （答案） 一、选择题 1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　) A．2　　　　 B. C. D．－ 解析：∵函数y＝在[2,3]上单调递减， ∴当x＝3时，ymin＝＝. 故选B. 2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　) A．[－6，－2]　　　 B．[－11，－2] C．[－11，－6] D．[－11，－1] 解析：函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]， 所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2； 当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11， 所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B. 3．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 解析：当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A. 4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析：令f(x)＝－x2＋2x， 则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又∵x∈[0,2]， ∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0， ∴a<0.故选C. 5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　) A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋， ∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C. 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 解析：设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为(15－a)辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15，a∈N)，即y＝－0.15a2＋3.06a＋30， 可求得a＝10时，ymax＝45.6. 故选B. 7．函数f(x)＝ax＋(2－x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为(　　) A. B．0 C．1 D．2 解析：f(x)＝ax＋(2－x)＝x＋， ①当a>1时，a>，f(x)是增函数， f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)＝， ∴g(a)＝∈(0,2)； ②当a＝1时，f(x)＝2，∴g(a)＝2； ③当0<a<1时，a－<0，f(x)是减函数，f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(2)＝2a，∴g(a)＝2a∈(0,2)，∴g(a)＝因此g(a)的最大值为2.故选D. 8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 解析：f(x)＝2－＋b，①当0≤－≤1时，f(x)min＝m＝f＝－＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，故M－m＝max与a有关，与b无关；②当－<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，故M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a，与a有关，与b无关；③当－>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，故M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a，与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关． 故选B. 9．(多选题)已知函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，则下列结论中不正确的是(　　) A．函数f(x)一定存在最大值 B．函数f(x)一定存在最小值 C．函数f(x)一定不存在最大值 D．函数f(x)一定不存在最小值 解析：∵函数f(x)＝其中M，N为非空集合，且满足M∪N＝R，∴若M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，0]，则f(x)的最小值为0，故D错误；若M＝(－∞，0)，N＝[0，＋∞)，则f(x)无最小值，故B错误；由M∪N＝R，可得图象无限上升，则f(x)无最大值，故A错误，C正确．故选ABD. 10．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1 解析：函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，由图象(图略)知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确，故选BCD. 二、填空题 11．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为 . 解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2， 则a2－4a＋6的下确界为2. 答案：2. 12．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是 . 解析：∵f(x)＝－x＋在上单调递减， ∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 答案：. 13．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 . 解析：(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3， 且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3， ∴1≤m≤2. 答案：[1,2] 14．函数g(x)＝2x－的值域为________． 解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2， 即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0， ∴当t＝时，ymin＝－， ∴函数g(x)的值域为. 答案：. 15．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 . 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象(如图)．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)． 由图象可知，函数f(x)的最大值为6. 答案:6. 16.已知定义在R上的函数f(x)恒满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝1时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，可得f(x)图象的对称轴为直线x＝1，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以x＝1时f(x)取得最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以由f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)． 答案：(0,2)． 三、解答题 17．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝时， f(x)＝＝x＋＋2. 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) <0，所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝. (2)依题意f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立． 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 由y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，知当x＝1时，y取得最小值3＋a. 所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立． 于是实数a的取值范围为(－3，＋∞)． 18．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又∵f(x)的定义域和值域均为[1，a]， ∴即 解得a＝2. (2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2， 又∵x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a， f(x)min＝f(a)＝5－a2， ∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]， 总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4， 即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3. 又∵a≥2，∴2≤a≤3. 19．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)． (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ [解]　(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]． (2)由题意得， P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]． 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)． (1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大年收益，最大年收益是多少万元？ 解：(1)依题意可设f(x)＝k1x(x≥0)， g(x)＝k2 (x≥0)． ∵f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝， ∴f(x)＝x(x≥0)， g(x)＝(x≥0)． (2)设投资债券类产品x万元，则投资股票类产品(20－x)万元，年收益为y万元． 依题意得y＝f(x)＋g(20－x)， 即y＝＋(0≤x≤20)． 令t＝， 则x＝20－t2，t∈[0,2]， ∴y＝＋，t∈[0,2]， 即y＝－(t－2)2＋3，t∈[0,2]， ∴当t＝2，即x＝20－t2＝16时，年收益最大，最大年收益为3万元． 学科网（北京）股份有限公司 $