黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025~2026学年度高一年级第二学期期末考试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册、选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1复数：=平2在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为 A.(1,-4,-3) B.(1,-4,3) C.(-1,4,3) D.(-1,-4,3) 3.已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3,P(B)=0.5,若AB,则P(AB)= A.0.35 B.0.15 C.0.5 D.0.3 4.已知平面a⊥平面B,直线m中平面a,则“m∥a”是“m⊥的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若△ABC的三个内角A,B,C满足sinA：sinB:sinC=7:8:9,则△ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 6.如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱BB1=16.若侧面BBCC 水平放置时，水面恰好过AB,AC,A1B1,A1C的中点，则当底面ABC 水平放置时，水面高为 A.6 B.8 C.12 D.16 7.已知O在△ABC所在平面内，满足|OA|=|OB|=|OC,且AB=2,AC=4,则A0·BC= A.4 B.6 C.8 D.12 【高一年级期末考试·数学第1页（共4页）】 26-X-696A 8.如图1，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2W5,CB=CD=2,且CB⊥CD,将△ABD沿BD 翻折到△PBD,得到三棱锥P-BCD,如图2所示，若二面角P-BD-C的正切值是2√2，则 三棱锥P-BCD外接球的表面积是 图1 图2 A.24π B.48π C.72π D.96元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A=“点数为2”，事件B= “点数为奇数”，事件C=“点数不小于3”，事件D=“点数不大于2”，则下列说法正确的是 A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.B与D互为对立 D.C与D互为对立 10.已知向量a=(cosa,sina),b=(cosB,sin),且a十b|=√3，则下列说法正确的是 A.|a=1 B.|a-b|=2 C.cos(a-B)- D.向量a一b在向量b上的投影向量为b 11.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1BC中，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，点P满足AP =xAB+yAC+xAA1,其中x,y,x∈[0,1]，则下列说法正确的是 A当点P为棱B,C的中点时，x十y十=号 B.当x十y十x=1时，P,A1,B,C四点共面 C当x=y时，驴.心- D当十)=1时，△PAA面积的最小值为爱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一组数据x1,x2,…,x14的方差为2，则数据3c1一2,3x2一2，…， 3x14一2的方差为 13.如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，点E是棱AA1的中点，点D是棱 BC上的-点，且EB/平面ADC,则肥 14.在△ABC中，AB=√2AC,点D,E满足AD=2DB,AE=3EC,CD 与BE交于O,且AO⊥BC,则sin∠ACB= 【高一年级期末考试·数学第2页（共4页）】 26-X-696A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某品牌空调为了解客户对某款空调使用的满意度，进行了一次客户满意度问卷测试，测试成 绩均位于区间[50,100]内，从中随机抽取了400名客户的测试成绩，将所得数据分成五组： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],绘制得到频率分布直方图，如图所示 频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 05060708090100分数 (1)求a的值； (2)求这400名客户中测试成绩落在[60,90)内的人数； (3)估计这400名客户测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 16.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD是菱形， 点E,F分别为棱DD1,AB的中点. (1)求证：EF∥平面CBD; (2)求证：A CI BD. 17.(本小题满分15分) 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对 的概率为号，乙每轮猜对的概率为分·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也 相互不影响。 (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率 【高一年级期末考试·数学第3页（共4页）】 26-X-696A 18.(本小题满分17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且/3sinB-cosB=2b-C a (1)求A; (2)已知bC=4,点0是△ABC内-点，且∠AOB=∠B0C=∠C0A- (1)求OA.OB+OB.OC+O元.OA的值； (ⅱ)求△OBC面积的最大值. 如 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAB⊥平面ABCD,点E是棱PD的中点，点F是棱PC上的一点（不包含端点）. (1)求证：PA⊥平面ABCD; (2)若PA=6,且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值 为③ 3 (ⅰ)求三棱锥P-AEF的体积； (i)记平面AEF交PB于点G,点H在平面PBC上，求 GF与平面HAD所成角的正弦值的取值范围. 【高一年级期末考试·数学第4页（共4页）】 26-X-696A2025~2026学年度高一年级第二学期期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1A由题意知》2D令+号复数：在复平面内对应的点的坐标为（管，号），位于 3i(1-2i) 第一象限.故选A. 2.C点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为（一1,4,3）.故选C. 3.D因为A二B,所以P(AB)=P(A)=0.3.故选D. 4.B若m∥a,则m可能与平面B平行，故“m∥a”不是“m⊥”的充分条件；若m⊥3，在平面a内作垂直于a与3 交线的直线n,又平面a⊥平面B,所以nLB,又m⊥B,所以m∥，又nC平面a,直线m￠平面a,所以m∥a, 所以“m∥a”是“m⊥3”的必要条件.综上，“m∥a”是“m⊥”的必要不充分条件.故选B. 8 5.A由正弦定理可得snA:snB:smC-a:6:(一7：8：9，则a=了c,6=号c,因此根据余弦定理cosC a2+b2-c2 ()+(g)-e 2ab 号>0，即C<受：而由A<B<C<受，放△AC为锐角三角形放 选A. 6.C设正三棱柱的底面积为S,又水面恰好过AB,AC,AB,A,C的中点，所以水的体积V=是SX16= 12S,当底面ABC水平放置时，设水面高为h,所以水的体积V=Sh=12S,解得h=12.故选C. 7.B因为|OA|=|OB|=|OC1,所以O为△ABC的外接圆的圆心，取AB的中点D,连接OD,则OD⊥AB, 所以Aò·=(AD+Dò)·A市=(2A市+Dò)·Ai=A+Dò·A成=号A亦，同理可得Aò：AC =2A衣，所以Ad.心=A0.(AC-A市)=Aò.A花-A0.A市=号A心-号A亦=号×华-号X2 =6.故选B. 8.A取BD的中，点O,则PO⊥BD,CO⊥BD,CO=√2，PO=3√2，所以∠POC为二面角P-BD-C的平面角，所 以am∠POC-2WE,故os∠POC-号，在△POC中，由余弦定理得PC=OC+0P-2OC·OPos∠P0C 2+18-2EX32X3=16,所以PC=4,所以PC+BC=PB,PC+DC=PD,即PCLBC,PCLDC, 又BC∩DC=C,BC,DCC平面BCD,所以PC⊥平面BCD,所以三棱锥P-BCD外接球的半径为R= CB+CD+C卫_4牛4于6=6，所以外接球的表面积为4R=24元故选A 2 2 9.ABD“点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，故A正确；“点数为2”与“点数不小于3” 【高一年级期末考试·数学参考答案第1页（共6页）】 26-X-696A 不能同时发生，所以A与C互斥，故B正确；当“点数为1”时，B与D同时发生，C错误；“点数不小于3”与“点 数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以C与D互为对立，故D正确.故选ABD. 10.AC由题意知|a=√/cos2a十sina=1,故A正确；|b=√/cos2+sin3=1,因为|a十b|=√3，所以 1a+b2=a2+2a·b+6=1+2a·b+1=3,所以a·b=号，所以a-bl=a-b- √一2a·b十6-√-1干=1，故B错误：a·b=计sin asin=c0s(a一9)=7，故C正确：向 量ab在向最b上的投影向量为a,a治=之6，故D错误.故选AC 1.CD当点P为棱B,C的中点时，A市=A市+B丽+B市=A店+AA+号BC=A+AA+ 号(A心-A成)=AB+A心+AA,所以x=7y=子=1，x+y十=2，故A错误：当x+y十=1 时，AP=xAB+yAC+:AA=xAB+yAC+(1-x-y)AA,所以AP-AA=x(Ai-AA)+ y(AC-AA),即AP=xA,B+yAC,所以P,A,B,C四点共面，故B正确：当x=y时，AP=zA言十 yAC+AA=xAB+xAC+:AA,所以B驴=AP-AB=xAB+xA心+之AA-AB,所以B驴.BC= (xAB+xAC+AA-AB).BC=(xAB+zAC+AA-AB).(AC-AB)=x (AC-AB)+ (A·A花-A·店)+-市·A心=1-令=，放C正确：当x+y=1时，产= (xA+yAC+AA)2=x2+y+2+xy+x2十yg=(x十y)2+2-xy+(x十y)z=1+2-xy+, 市，=xA成.A+yA衣.A不+A不·A-分x十y十=是十，所以点P到AM的距离 IAA d√什-w+一（合+）√厚-，周为<”=子，所以d-√厚-≥骨- -号当且仅当x=y=之时，取等号，所以△PAA的面积S=合A,·d=,即△PAA面积的最 小值为，放D正确.放选以CD, 12.18因为数据x1,x2,…,4的方差为2，则数据3一2,3x2一2，…，3m4一2的方A 差为32×2=18. 13. 连接BC,交AC于点O,再连接OD,如图所示，则积-2-之，因为EB ∥平面ADC,平面EBC∩平面ADC=DO,EBC平面EBC,所以EB∥DO,所以 BD_EO_1 【高一年级期末考试·数学参考答案第2页（共6页）】 26-X-696A 14.号设A访=a,AC-b,且b1=m,则1al=反bl=厄m,因为B.0E三点共 线，则存在实数，使得A0=1A+(1-)A花=a十1-)b,又因为C,O,D三B生 点共线.则春在实数，使得A0=xA心+(1-0A心=办+号1-a,所以a+是(1-0b=b+号（1-Aa,则 (= 1-0 解得1=子A=子，所以A0=子b什子a,且C=AC-A成=b-a.因为A01BC,所以Aò· 3 入=4(1-0 BC-(分b+a)·ba)=8-gab子a=之m-号m2-合a·b=0,解得a·b=-m,所以 ∠BAC-s.b=Ti合=- a·b 号，因为∠BAC∈(O,),所以∠BAC=,由余弦定理得BC= √AB+AC-2AB·ACcos∠BAC=/2m2+m2-2×2 nXmcos =5m,由正弦定理得AB sin/ACB= sin∠BAC,得sin∠ACB=ABsin∠BAC BC 2 /5 BC √5m 5 15.解：(1)由题意知(0.015十0.020+a十0.025十0.010)×10=1，…2分 解得Q=0.030.…………4分 (2)测试成绩落在[60,90)的频率为(0.020十0.030+0.025)×10=0.75， 所以这400名客户中测试成绩落在[60,90)内的人数为400X0.75=300.…8分 (3)估计这400名客户测试成绩的平均数x=0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74.5. …13分 16.证明：1)取DC的中点G,连接GE,GB,如图所示，又点E为棱DD的中点，所以G/∥DC,BG=DC, 在直四棱柱ABCD-A,BCD中，CD∥CD,CD=CD, 所以EG∥DC,EG=DC, B 又底面ABCD是菱形，点F为棱AB的中点，所以BF/∥CD,BF=CD, G 所以EG∥BF,EG=BF,所以四边形EGBF是平行四边形，所以EF∥ GB, …5分 D咪 又EF过平面CBD,GBC平面CBD,所以EF∥平面CBD.…8分 (2)连接AC,因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD,…9分 6 【高一年级期末考试·数学参考答案第3页（共6页）】 26-X-696A 在直四棱柱ABCD-ABCD1中，AA1⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以AA1⊥BD,·11分 又AC∩AA1=A,AC,AAC平面ACA1,所以BD⊥平面ACA,… …13分 又ACC平面ACA,所以AC⊥BD... 15分 17.解：(1)记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件M, 则P(M)=1-P(M)=1-(1-号)×(1-2)=号， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为 6 5分 (2)记事件A:表示在两轮活动中甲猜对i个灯谜，其中=0,1,2，事件B,表示在两轮活动中乙猜对i个灯 谜，其中=0,1,2， 所以PA)=(1-号)x(1-号)=寸PA)=(1-号)×号+号×(1-号）=号， P(A)-号×号-合， P(B)=(1-2)×(1-2)=4,P(B)=(1-7)×+2×(1-2)=7, PB)=2×=, 记事件C表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则C=AB2UA2B1, 所以PcO=P(A.BUA B)=P(AB)+P(AB)=号×+号X号-子 2=3, 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为行 10分 (3)记事件D表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则D=AB,UA2B,UA2B,, 所以P(D=(A.B.UA.BUA.B)=PAA)+PAR)+PAB)=号X+告×+号×-合， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为号 …15分 18.解：(1)因为/3sinB-cosB=26S,由正弦定理得3sinB-cosB=2 sin Bsin C, a sin A 3 sin Bsin A-cos Bsin A=2sin B-sin C=2sin B-sin(A++B)=2sin B-sin Acos B-cos Asin B, 即/√3 sin Bsin A=2sinB-cos Asin B,又0<B<π，所以sinB>0,所以3sinA=2-cosA, 即V3sinA+cosA=2sin(A+否)=2，所以sin(A+F)=1,… …3分 【高一年级期末考试·数学参考答案第4页（共6页）】 26-X-696A 又0<A<x,所以A+吾=受，解得A=晋 3 5分 （2(1)h题意知S。g=合6cinA=5,… 6分 又Sa=SaoB+Sae+SaA=号(OA|·|0Bl+|OBl·|OCl+|0C·|OA|)sin120, 放(0A·OB+|OB|·10C+|0C·0A)=, 可得|OA·|OB引+|OB·|OC+|OC·|OA=4.…8分 所以OA.Oi+O3.0元+0元.OA=(1OA1.1O1+1O·1O1+1O心.1oA1)cos120°=-2. …10分 (I)设∠AB0=0,则∠0AB=号-0，∠0AC-0,∠AC0=苓-0，其中0<0<5， 在△AOB中，由正弦定理可得nAO市m04万即_( OB OB 11分 OC 在AA0c由由正弦定理可得nAO元sn☑0 AC sin红sin0对sin0,…12月 所以oB.0x-青xsn0n(3-0）=9nkn(肾-o）-=9n(号os9-子sn) =号(sns0-sir0)=号（停sn20-1=g29）=号[sn(20+吾）2]， 14分 又0<0<音→答<20+吾<→3<sin(20+吾)1,0B.0c≤号， 所以Sa-0B:0Csn∠0C-OB:OC<号，即△0BC面积的最大值为号 17分 19.(1)证明：因为底面ABCD是边长为6的正方形，所以AB⊥BC,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面 PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,新以CD⊥平面PAD,…2分 又PAC平面PAD,所以CD⊥PA,…3分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥BC,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面 PAD,又PAC平面PAD,所以BC⊥PA,…4分 又BC∩CD=C,BC,CDC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.…5分 【高一年级期末考试·数学参考答案第5页（共6页）】 26-X-696A (2)解：(i)由(1)知PA⊥平面ABCD,又AB,ADC平面ABCD,所 以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,以A为坐标原点，AB,AD,AP 所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 D0,6,0),P(0,0,6),B(6,0,0),E(0,3,3),C(6,6,0),所以AE= (0,3,3),P元=(6,6，-6)，AP=(0,0,6),设P市=1P元= (6,6,-6)(0<A<1), 则AF=AP+PF=(0,0,6)+(6x,6x,-6x)=(6以，6入，6-6x). n·AE=0, 设平面AEF的法向量为n=(x,y,之)，则 n·AF=0, 3y+3x=0, 即 6λx+6y+6(1-λ)2=0， 取y=A,解得之=一入，x=1一2A,所以n=(1一2入，A,一)是平面AEF的一个法向量，…7分 因为AP⊥平面ABCD,所以AP=(O,0,6)是平面ABCD的一个法向量. 因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 1 所以cos(n,AP)1= 3 …9分 6√/(1-2)2+2+(-λ) 3 解得入=了或入=1（含），所以PF=号PC 10分 所以三棱锥P-AEF的体积VAm=Vr-PAE= 6×6×6=6. 11分 (i)设P心=uP克，则AG-AP+uPi=(0,0,6)+(6,0,-6)=(6,0,6-6), 由(1)可知n=(分，号-专)为平面ABGF的-个法向量，所以nLA衣。 所以AG·n=2μ-(2-2μ)=4-2=0，解得=2， 13分 所以G=P市-P心=(2,2，-2)-(3,0，-3)=(-1,2,1)， 因为H在平面PBC上，所以Bi=sBC+tBP, 所以Ai=AB+sBC+tB驴=(6,0,0)十s(0,6,0)十1(-6,0,6)=(6-6t,6s,61). m·AD=0,6y=0, 设平面HAD的法向量m=(,y,为)，则 即 m·Ai=0,(6-6)m+6sy+61a=0, 取x=t得y1=0,名=t1,所以m=(t,0,t1)是平面HAD的一个法向量，…14分 设GF与平面HAD所成角为0，则sin0-cos(G市，m √6P+(t-1)产√6√/22-21+ …15分 因为2r-2+1e[7,+),所以sm0c(o.号]， 即GF与平面HAD所成角的正弦值的取值范围为(o,号】 17分 【高一年级期末考试·数学参考答案 第6页（共6页）】 26-X-696A