5.5 三元一次方程组课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三元一次方程组的定义、消元思想及解题步骤，通过知识衔接复习二元一次方程组解法，课前检测巩固旧知，古题引入从《九章算术》问题抽象模型，搭建“二元到三元”的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题（古题建模），“数学思维”培养消元策略（优先消系数简单未知数），“数学语言”规范解题表达（步骤清晰的例题解析）。分层练习题从基础到拓展，如比例设元例题、综合应用题，帮助学生发展运算能力与推理意识，教师可直接用于课堂教学与分层训练。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.5 三元一次方程组 练习题 知识点回顾：1. 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。2. 三元一次方程组：由三个三元一次方程组成，含有三个未知数的方程组。3. 核心思想：消元，三元→二元→一元，先消去一个未知数，转化为熟悉的二元一次方程组求解。4. 解题步骤：观察系数，优先消去系数简单、相同或互为相反数的未知数，逐步降元求解。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 三元一次方程组含有________个未知数，且含未知数的项的次数为________。 2. 解三元一次方程组的核心思想是________，逐步将三元转化为一元一次方程。 3. 解三元一次方程组，一般优先消去________的未知数，简化计算。 4. 方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\z=2\end{cases}$$最容易先消去的未知数是________。 5. 三元一次方程组求解最终需要求出________个未知数的值。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于三元一次方程的是（ ） A. $$x+y+z=5$$ B. $$x^2+y+z=3$$ C. $$x+y=2$$ D. $$xyz=4$$ 2. 解三元一次方程组的正确消元顺序是（ ） A. 三元→一元→二元 B. 三元→二元→一元 C. 直接解一元 D. 无固定顺序 3. 已知三元一次方程组中一个方程为$$z=3$$，下一步最简便的操作是（ ） A. 消去x B. 消去y C. 代入另外两个方程，消去z D. 随意计算 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 判断$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$是否是方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y+z=2\\2x+y-z=1\end{cases}$$的解。 2. 解三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=10\\x=2\\y=3\end{cases}$$ 3. 用消元法解方程组：$$\begin{cases}x+y+z=9\\x+y=5\\z=2x\end{cases}$$ 四、常规计算题（15分） 解三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y+z=2\\2x+y-z=5\end{cases}$$ 五、拓展提升题（15分） 已知三个数x、y、z，满足$$\begin{cases}x+y=7\\y+z=9\\x+z=8\end{cases}$$，求x、y、z的值。 参考答案与简要解析 一、填空题 1.三、1 2.消元 3.系数最简单 4.z 5.三 二、选择题 1.A 2.B 3.C 三、基础解答题 1. 将解代入三个方程，全部成立，是方程组的解。 2. 代入得：$$2+3+z=10$$，解得$$z=5$$，方程组的解为$$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=5\end{cases}$$。 3. 把$$x+y=5$$代入第一个方程，得$$5+z=9$$，$$z=4$$；由$$z=2x$$得$$x=2$$，进而得$$y=3$$。解：$$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}$$。 四、常规计算题 解：①-②得：$$2y=4$$，解得$$y=2$$。 ②+③得：$$3x=7$$，解得$$x=\dfrac{7}{3}$$。 将x、y代入①得：$$z=\dfrac{5}{3}$$。 方程组的解为$$\begin{cases}x=\dfrac{7}{3}\\y=2\\z=\dfrac{5}{3}\end{cases}$$。 五、拓展提升题 解：三式相加得：$$2(x+y+z)=24$$，即$$x+y+z=12$$。 分别减去原式三式，得$$z=5，x=3，y=4$$。 方程组的解为$$\begin{cases}x=3\\y=4\\z=5\end{cases}$$。 学科网 02 知识衔接 1.解二元一次方程组有哪几种方法？ 代入消元法和加减消元法 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元 解：①+②得3x=9 x=3 把x=3代入① 得y=0 原方程组的解是 03 课前检测 1、(1)解方程组 (2) 2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 D x=3 y=0 x+y=3 ① 2x-y=6 ② x+6y=12 ① 3x-2y=8 ② 解：①×3-②得20y=28 y=1.4 把y=1.4代入① 得x=3.6 原方程组的解是 x=3.6 y=1.4 04 古题引入 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实收三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实收三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实收二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》） 古译今： 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾一束，中禾二束，下禾三束，可得米26斗；问上、中、下禾每束可得米多少斗？ 03 新知探究 探究一 三元一次方程组的概念 解：设每束上禾得米x斗、每束中禾得米y斗，每束下禾得米z斗 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 观察方程组的特点： 几个未知数？未知项的次数是几？ 04 情境引入 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26 像这样 含有三个未知数的三个一次方程组成的 方程组叫三元一次方程组. 三个一次方程的公共解叫做三元一次方程组的解。 03 新知讲解 下列是三元一次方程组的是( ) A B C D 三个方程都是一次方程,且该方程组中一共含有三个未知数,故是三元一次方程组 第二个方程含有未知数的项的次数是2 第一个方程不是整式方程 第二个方程含有未知数的项的次数是3 D 1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 8 2. 解方程组 最简便的消元方法是( ) A. 先消去 B. 先消去 C. 先消去 D. 先消去常数项 B 返回 中考考法 03 新知讲解 解三元一次方程组 探究二 3x+2y+z=39 ① 2x+3y+z=34 ② x+2y+3z=26 ③ 解：由①得：z=39-3x-2y ④ ④代入②③ 得： x-y=5 ⑤ 8x+4y=91 ⑥ 解由⑤⑥方程组成的方程组得： x= y= 削去z，三元一次变二元一次 例题1： 把x= ,y= 代入④得：z= x= 所以原方程组的解是： y= z= 03 新知讲解 解三元一次方程组 探究二 思考：如果检验方程的解是否正确？ 03 新知讲解 例2.解三元一次方程组 x+y=7 ① y+z=9 ② z+x=8 ③ 解：①+②+③得:2x+2y+2z=24 即 x+y+z=12 ④ ④－①得z=5 ④－②得x=3 ④－③得y=4 ∴三元一次方程组的解为 x=3 y=4 z=5 03 新知讲解 例题3 解方程组 x：y：z=2：3：5 x+y+z=200 解：设x=2k,y=3k,z=5k 将 x=2k， y=3k， z=5k 代入②得 2k+3k+5k=200, k=20 所以x=40,y=60,z=100 ∴三元一次方程组的解为 x=40 y=60 z=100 知识要点1 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 知识要点2 解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元． 北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月13日 5.5 三元一次方程组 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.5 三元一次方程组 练习题 本节核心考点：掌握三元一次方程、三元一次方程组的定义，理解三元一次方程组的解的概念，熟练运用消元思想，通过代入或加减消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解，是二元一次方程组的延伸与提升。 核心知识点（必背） 1. 三元一次方程：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 2. 三元一次方程组：由三个一次方程组成，一共含有三个未知数的方程组。 3. 三元一次方程组的解：同时满足方程组中三个方程的一组未知数的值。 4. 核心解题思想：消元思想，三元→二元→一元，逐步降次求解。 5. 解题原则：优先消去系数最简单、出现次数最少的未知数，简化计算。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 三元一次方程组含有________个未知数，且含未知数的项的次数都是________。 2. 解三元一次方程组的核心思想是________，逐步将三元方程组转化为一元一次方程。 3. 解三元一次方程组的常规步骤：三元→________→一元。 4. 方程组$$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\z=2\end{cases}$$中，可直接确定的未知数的值是________。 5. 三元一次方程组的解需要同时满足________个方程。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于三元一次方程的是（） A. $$x+y+z=5$$ B. $$x^2+y+z=3$$ C. $$x+y=2$$ D. $$xyz=4$$ 2. 解三元一次方程组优先消去的未知数是（） A. 系数最大的 B. 系数最简单的 C. 任意未知数 D. 出现最多的 3. 下列属于三元一次方程组的是（） A. $$\begin{cases}x+y=3\\y+z=4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x+y+z=6\\x-y=1\\y+z=3\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}x+y+z=2\\x^2=1\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}x+y=5\\y-z=2\\x-z=7\end{cases}$$ 4. 检验三元一次方程组的解，需要代入（） A. 第一个方程 B. 两个方程 C. 三个方程 D. 无需检验 5. 解三元方程组的最终目的是转化为（） A. 二元一次方程组 B. 一元一次方程 C. 整式方程 D. 分式方程 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y+z=6&①\\x-y=1&②\\z=2&③\end{cases}$$ 2.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+y=3&①\\y+z=5&②\\x+z=4&③\end{cases}$$ 3.（20分）解三元一次方程组： $$\begin{cases}x+2y+z=7&①\\2x-y+3z=12&②\\3x+y+2z=13&③\end{cases}$$ 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 三、1 2. 消元 3. 二元 4. $$z=2$$ 5. 三 选择题答案 1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 解答题详细解析 1. 解： 将③$$z=2$$代入①得：$$x+y+2=6$$，即$$x+y=4&④$$， 联立②④：$$\begin{cases}x-y=1\\x+y=4\end{cases}$$， 两式相加得：$$2x=5$$，解得$$x=2.5$$， 代入得：$$y=1.5$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=2.5\\y=1.5\\z=2\end{cases}$$。 2. 解： ①+②+③得：$$2x+2y+2z=12$$，化简得$$x+y+z=6&④$$， ④-①得：$$z=3$$， ④-②得：$$x=1$$， ④-③得：$$y=2$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}$$。 3. 解： ②+③得：$$5x+5z=25$$，化简得$$x+z=5&④$$， ②×2+①得：$$5x+7z=31&⑤$$， 联立④⑤：$$\begin{cases}x+z=5\\5x+7z=31\end{cases}$$， 解得：$$z=3，x=2$$， 将$$x=2，z=3$$代入①得：$$2+2y+3=7$$，解得$$y=1$$。 ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=2\\y=1\\z=3\end{cases}$$。 五、易错点总结 1. 概念判定错误：含未知数平方、乘积、分母含未知数的方程，均不是三元一次方程； 2. 消元混乱：未固定消去同一个未知数，导致无法组成二元方程组，解题卡死； 3. 计算失误：多次加减消元，符号出错、漏乘、漏项是高频扣分点； 4. 回代遗漏：求出两个未知数后，忘记回代求第三个未知数，解题不完整； 5. 检验缺失：三元方程组必须代入全部三个方程检验，仅代入部分方程无法验证解的正确性。 3. 设 ， ， 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两 架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，右边应 放“ ”的个数为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若 是一个三元一次方程， 则___, ___. 1 0 返回 中考考法 17 5. 请写出一个以 为解的三元一次方 程：____________________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 18 6. 若方程组 的解满足 ，则点 在第____象限. 四 中考考法 19 【点拨】 ,得 ，整理得 ， 所以.所以.所以 .所以点 在第四象限. 返回 中考考法 7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共 18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分 邮票买了___枚. 3 中考考法 21 【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各买了枚、 枚、枚.由题意得 由③，得 .把代入①，得.④ 把 代入②， 得.⑤ 由④，得 .⑥ 把⑥代入⑤， 得.所以 . 返回 中考考法 8. 教材P136随堂练习 解方程组: 中考考法 23 【解】，得 .④ ，得，解得 . 将代入④中，得，解得 . 将代入②中，得，解得 . 所以方程组的解为 返回 中考考法 24 9. 已知多项式中，，， 为 常数， 的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则 的值为( ) D A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 中考考法 25 05 课堂小结 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 $