第03讲25.2.2公式法暑假预习同步训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程公式法，通过基础辨析、中档应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配暑假预习巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根的判别式直接应用|选择1-2判断根的情况，强化抽象能力| |进阶层|参数取值与几何结合|填空11等腰三角形边长分类，培养推理能力| |拓展层|新定义与跨知识整合|解答18“和谐二次根式”应用，发展模型意识|

第03讲25.2.2公式法暑假预习讲义同步训练新人教版九年级数学上册 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 4．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 5．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 6．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 8．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_________． 11．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 12．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 三、解答题 13．若代数式与的值互为相反数，求的值． 14．的三边，，． (1)求证：是直角三角形； (2)是否同时存在，，（，，均为正整数）使得？若存在，求，，的值，若不存在，请说明理由． 15．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求 的值． 16．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 17．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：一元二次方程有实数根； (2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围． 18．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 参考答案 1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9． 10． 11． 12． 13．【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 14．(1)证明：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； (2)解：不存在，理由如下： 是直角三角形， ， ， ， ， 解得或，线段的长不能为负，舍去， ， ，均为正整数， 一定是有理数， ，是无理数，矛盾， 故不存在，，（，，均为正整数），使得； 15．(1)证明：方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式得      计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 16．【详解】（1）证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 17．(1)证明：∵， ∴一元二次方程有实数根． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 解得． 18．【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 学科网（北京）股份有限公司 $