2.3.1 两条直线的交点坐标 教案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性第一册

该教案聚焦两条直线交点坐标的求法及直线位置关系与二元一次方程组解的对应关系。课堂导入通过复习解析几何“用代数方法研究几何”的思想，回顾点与直线方程的关系，搭建前后知识联系的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，通过思考“交点与方程关系”引导学生用数学眼光抽象代数本质，结合逻辑推理证明直线位置与方程组解的等价关系培养数学思维，用表格梳理关系、例题规范表达发展数学语言。例1对比斜率与方程组两种判断方法，助学生深化理解，提升教师教学效率与学生核心素养。

课题 两条直线的交点坐标 教学目标 1.会求两条相交直线的交点坐标。 2.掌握二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系。 教学重点： 能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点坐标。 教学难点： 两条直线相交与二元一次方程的关系。 教学过程 1、 复习引入 我们先来回顾一下之前所学习的内容。通过前面的学习我们知道解析几何就是在平面直角坐标系中用代数的方法来研究几何体图形。在平面直角坐标系中用坐标来表示点，用二元一次方程来表示直线。根据点和直线关系的代数表示我们知道，如果点P在直线上，点P坐标就一定满足直线方程，（按）反之若点P坐标满足方程 ，则P在直线上，这样我们可以通过方程把握直线上的点进而用代数的方法对直线进行定量研究例如我们今天要学习的两条直线的交点坐标。 2、 新课讲授 思考1：已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？ 在我们学习函数的知识后知道，两个函数图像的交点坐标就是由这两个函数解析式组成的方程组的解，那么我们可以类比得出这个方法。求两条直线的交点，只需联立方程组求解即可. 联立方程组，解得 即，就是两条直线的交点坐标. 追问1：为什么可以这样做了，接下来我们一起分析一下。 如果两条直线相交，那么两条直线存在唯一交点，记为.则点既在直线上也在直线上.及点同时满足两条直线方程，所以是方程组的唯一解。反之，若是方程组的唯一解，那么点既在上也在直线上. 则点是两条直线的唯一交点.所以两条直线相交。 从而可得出：两条直线相交等价于对应方程组有唯一解。 例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形. 解：（1）解方程组，得. 交点坐标为（如图） 问题2：如果两条直线，平行，能否判断对应方程组解的情况？ 两条直线平行说明两条直线没有公共点，即不存在点同时满足两条直线方程，所以方程组无解.反之亦然. 所以两条直线平行等价于对应方程组无解. 问题3：如果两条直线，重合，能否判断对应方程组解的情况？ 两条直线重合等价于两条直线有无数个公共点，即存在无数个点同时满足两条直线方程，所以方程组有无数组解. 所以两条直线重合等价于对应方程组有无数组解 梳理两条直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数的关系. 直线的位置关系 公共点的个数 方程组解的个数 相交 有且仅有1个公共点 唯一解 平行 没有 无解 重合 无数个 无数多组解 例1 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标. （1）； （2）； (逐题讲解) 解：（1）解方程组，得. 所以，直线与相交，交点坐标为. （2） 解方程组 （1） ×2-（2）得9=0，矛盾，这个方程组无解， 所以，直线与无公共点，则两直线平行 追问1：如果题目改为只问“判断下列各对直线的位置关系”你能否用直线的斜率判断各对直线的位置关系？ 根据我们之前学习的知识得，若两条直线斜率存在，可以通过斜率得出两直线的位置关系。 对于斜率分别为的两条直线，有 追问2：能否用斜率判断两对直线的位置关系？ 追问3：但题目告诉的是直线方程的一般式，那么，我们怎么得到直线的斜率了？ 首先将方程化为斜截式，找出x系数，就是斜率 （求解过程逐题讲解） 解：(1) 将直线方程化为斜截式： 斜率不相等，则与相交 （2）将直线方程化为斜截式： 斜率相等，截距不相等，则与平行 跟踪训练： 能否用直线的斜率和解方程组,这两种方法判断两条直线的位置关系,并确定交点个数呢？ 方法一：斜率判断 方法二：解方程组判断 将直线方程化为斜截式： 解方程组 （1）×2得与（2）式的方程相同 则与重合，有无数个交点 所以方程组有无数组解则与重合，有无数个交点 思考4：比较用斜率判断和解方程组判断两直线位置关系这两种方法，你有什么体会？ 斜率判断和解方程组判断都是代数方法。斜率判断关注的是直线方程系数关系，能快速判断两条直线平行或相交（垂直）。而解方程组判断关注解的个数与交点个数的对应，从而判断两条直线平行或相交；且能求相交直线交点坐标。 例3 求满足下列条件的直线的方程:经过两条直线和的交点，且平行于直线 （分析：由直线经过两条直线和的交点，可确定一点。又由平行于直线可以确定斜率。所以可以写出直线l的点斜式方程。） 解：解方程组 的交点坐标为 由直线与直线平行知，的斜率为 所以直线的方程为 整理得 3、 课堂小结 （回顾一下本节课你学到了什么？） 1.相交直线交点坐标的求法——通过解方程组求两直线交点坐标； 2.方程组解的个数与交点个数的关系及判断两直线位置关系的方法. 四、课后作业 1. 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： （1）， （2），. 2. 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： （1），； （2），； （3）， 学科网（北京）股份有限公司 $