2.3 2.3.2　两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．3．2　两点间的距离公式 学习目标　1.掌握两点间的距离公式并会应用，以培养数学运算能力．(重点)　2.会用坐标法证明简单的平面几何问题，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点P，以方便居住在两个小区的住户出行． 问题1　如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 提示：设两个小区为A，C，过点C作公路的垂线，使CH＝HB，连接AB交公路于点P，则点P就是公交站点，使站点到两个村的距离之和最小值为AB. 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P72，分析思考： 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|＝？为什么？ 提示：能，因为＝. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)原点O与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(　　 ) (2)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　 ) (3)用坐标法解决平面几何问题时，关键是建立适当的平面直角坐标系．(　　 ) (4)已知点A(a，2a)，点B(－a，－a)，a>0，则A，B两点间的距离是13a.(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 　两点之间的距离公式 问题2　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|. 问题3　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 温馨提示 此公式与两点的先后顺序无关. 例1　(链接教材：人A版教材P73例3)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(　　 ) A． B． C．3 D．2 解析：选D.由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2. 类题通法 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝； (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解. 【迁移运用】 1.已知△ABC的顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　 ) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 解析：选C.由两点间的距离公式，得|AB|＝＝3，|BC|＝＝3， |AC|＝＝3，所以△ABC的周长为6＋3. 　两点之间的距离公式的应用 计算两点间距离的方法 对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 例2　(链接教材：人A版教材P74练习T2)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 解：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，有x＝，则A(，0)， 令x＝0，有y＝，则B(0，)， 故AB的中点为(，)， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝， 解得a＝±2. 【迁移运用】 2.(1)已知两点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(　　 ) A．0或8 B．0或－8 C．0或6 D．0或－6 解析：选A.由两点间的距离公式，得|AB|＝＝5，解得b＝0或b＝8. (2)已知两点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，a＝________． 解析：由两点间距离公式，得|AB|＝＝＝＝＝， 所以当a＝时，|AB|取最小值． 答案： (3)直线y＝2x＋b上横坐标分别为－1，3的E，F两点，计算E，F两点之间的距离． 解：法一　由题E(－1，－2＋b)，F(3，6＋b)得|EF|＝＝4. 法二　|EF|＝|－1－3|＝4. 　坐标法的应用 问题4　为了判定某三角形的形状，我们将之放入平面直角坐标系中，并已知三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，请给出结论． 提示：|AB|＝＝2， 同理|AC|＝2，|BC|＝2， 于是|AB|＝|AC|且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故△ABC为等腰直角三角形． 坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法． 温馨提示 建系的两个主要原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条直线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 　　　　　　　　　　　 例3　已知在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF相交于点G，用坐标法求证：|AG|＝|AD|. 证明： 建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则B(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，E(1，0)，F(0，1)，D(2，2). 易得直线DE的方程为y＝2x－2，直线CF的方程为y＝－x＋1， 联立得解得x＝，y＝，即点G， 所以|AG|＝＝2＝|AD|. 类题通法 1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”. 【迁移运用】 3.已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)， 所以|AC|＝＝， |BD|＝＝，故|AC|＝|BD|. 1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　 ) A．5 B． C． D．4 解析：选A.|MN|＝＝＝5. 2．(多选)对于，下列说法正确的是(　　 ) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：选BCD.对于A，点(x，0)与点(1，2)的距离为＝，故A不正确；对于B，点(x，0)与点(－1，－2)的距离为＝，故B正确；对于C，点(x，0)与点(－1，2)的距离为＝，故C正确；对于D，点(x，－1)与点(－1，1)的距离为＝，故D正确． 3．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C(，a)，a>0，则△ABC的形状是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 解析：选C.由已知得|AB|＝2a，|AC|＝＝a，|BC|＝＝a，∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形． 4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________. 解析：BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $