26.2二次函数的图象和性质 2026-2027学年人教版九年级上册数学暑期预习同步训练

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过基础-进阶-综合三层设计，实现从概念理解到综合应用的梯度巩固，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、对称轴、开口方向|单选题（1-5题）直接考查核心概念，填空题（11-13题）强化符号意识| |进阶层|平移规律、系数关系、配方|填空题（14-15题）结合新定义与图象分析，解答题（16-17题）训练方法迁移| |综合层|面积计算、最值问题、动态变换|解答题（18-20题）融合几何直观与逻辑推理，体现数学建模与应用意识|

26.2二次函数的图象和性质 从最简单的到顶点式，再到一般式的图象特征、平移规律及函数性质。 1、 基础形式： 这是二次函数的最简形式，图象是一条关于轴对称的抛物线。 顶点：（原点） 对称轴：直线（即轴） 开口方向：：开口向上，有最小值；：开口向下，有最大值 开口大小：越大，开口越窄；越小，开口越宽。 增减性（时）：x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 （时）：x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 二、平移形式与顶点式： 这是二次函数图象平移的最终形态，也是解题最常用的形式。 顶点坐标： 对称轴：直线 最值：时，处取最小值；时，处取最大值 平移规律（由变换而来）： 上下平移：，上加下减（常数项） 左右平移：，左加右减（括号内自变量） 综合：是由向右()或向左()平移单位，再向上()或向下()平移单位得到。 三、一般式： 通过配方可将一般式转化为顶点式，从而求出对称轴和顶点。 配方结果： 对称轴公式：直线 顶点坐标： 增减性：以对称轴为界， ：左减右增； ：左增右减。 四、 系数与图象的关系 1.决定开口方向和大小。开口向上，开口向下。 2.与共同决定对称轴位置（左同右异）： 同号 对称轴在轴左侧； 异号 对称轴在轴右侧； 对称轴是轴。 3.决定抛物线与轴交点的位置。 五、关键解题方法 描点法画图：列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连线。 配方法：将化为顶点式，是求顶点和对称轴的核心技能。 图象平移口诀："左加右减自变量，上加下减常数项"（注意：左右平移是针对整体而言的，如变成是左移2单位）。 一、单选题 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 2．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 10．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 二、填空题 11．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 12．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式） 13．抛物线的顶点坐标是___________． 14．我们定义一种新函数；形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①当时，函数取得最大值； ②图象与坐标轴的交点为，，； ③若在函数图象上，则也在函数图象上； ④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 15． 已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 三、解答题 16．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 17．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 18．已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 19．已知抛物线与轴相交于点 (1)______，该抛物线的顶点坐标为______ (2)在直角坐标系中画出图象：列表取点 x … … y … … (3) 根据图象，直接写出不等式的解集是______． 20．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式和的面积； (2)点D是第一象限内抛物线上的一点，连接，，求面积的最大值及点D的坐标； (3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得，请直接写出点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2二次函数的图象和性质 从最简单的到顶点式，再到一般式的图象特征、平移规律及函数性质。 1、 基础形式： 这是二次函数的最简形式，图象是一条关于轴对称的抛物线。 顶点：（原点） 对称轴：直线（即轴） 开口方向：：开口向上，有最小值；：开口向下，有最大值 开口大小：越大，开口越窄；越小，开口越宽。 增减性（时）：x<0，y随x增大而减小；x>0，y随x增大而增大。 （时）：x<0，y随x增大而增大；x>0，y随x增大而减小。 二、平移形式与顶点式： 这是二次函数图象平移的最终形态，也是解题最常用的形式。 顶点坐标： 对称轴：直线 最值：时，处取最小值；时，处取最大值 平移规律（由变换而来）： 上下平移：，上加下减（常数项） 左右平移：，左加右减（括号内自变量） 综合：是由向右()或向左()平移单位，再向上()或向下()平移单位得到。 三、一般式： 通过配方可将一般式转化为顶点式，从而求出对称轴和顶点。 配方结果： 对称轴公式：直线 顶点坐标： 增减性：以对称轴为界， ：左减右增； ：左增右减。 四、 系数与图象的关系 1.决定开口方向和大小。开口向上，开口向下。 2.与共同决定对称轴位置（左同右异）： 同号 对称轴在轴左侧； 异号 对称轴在轴右侧； 对称轴是轴。 3.决定抛物线与轴交点的位置。 五、关键解题方法 描点法画图：列表（取对称点）→ 描点 → 用平滑曲线连线。 配方法：将化为顶点式，是求顶点和对称轴的核心技能。 图象平移口诀："左加右减自变量，上加下减常数项"（注意：左右平移是针对整体而言的，如变成是左移2单位）。 一、单选题 1．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 2．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 3．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 6．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 7．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 9．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 10．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 二、填空题 11．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 故答案为：. 12．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式） 【答案】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为． 13．抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 14．我们定义一种新函数；形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①当时，函数取得最大值； ②图象与坐标轴的交点为，，； ③若在函数图象上，则也在函数图象上； ④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，①由图象可知：函数无最大值；②对于函数，当时，；当时，，解得；③由图象可知：对称轴为直线，即可判断；④当直线经过点时，，解得；联立与得：，令，解得；即可判断； 【详解】解：①由图象可知：函数无最大值；故错误； ②对于函数， 当时，；当时，，解得； ∴函数与坐标轴的交点为，，；故正确； ③由图象可知：对称轴为直线， ∴若在函数图象上，则也在函数图象上；故正确； ④如图所示： 当直线经过点时，，解得； 联立与得：， 整理得：， 令，解得； ∴当时，直线与函数G的图象有4个交点．故正确；故答案为：②③④ 15．已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为．故答案为： 三、解答题 16．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 17．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴，解得：，∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，∴，∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是，∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 18．已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)，的面积为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的平移变换，关键是利用二次函数的顶点式和图象对称性来求解． （1）根据二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用图象的对称性找到两个交点的横坐标； （2）先求出二次函数的解析式，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，确定的取值范围； （3）根据平移规律得到平移后的函数解析式，代入已知点求出的值，再求出新函数与轴的交点和顶点坐标，最后计算三角形面积． 【详解】（1）解：由二次函数图象可知，对称轴为，与轴的一个交点为， 根据对称性，另一个交点为，因此方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为，将点代入得，解得， ∴函数解析式为． 当时，；当时，；当时，．∴当时，的取值范围为；故答案为：； （3）解：将二次函数图象向上平移个单位后，解析式为． 将点代入得，解得． 此时解析式为． 令，则，解得，， ∴，，． ∵顶点的坐标为， ∴的面积为． 19．已知抛物线与轴相交于点 (1)______，该抛物线的顶点坐标为______ (2)在直角坐标系中画出图象：列表取点 x … … y … … (3)根据图象，直接写出不等式的解集是______． 【答案】(1)3； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制及不等式解集，解题的关键是利用抛物线与轴的交点求出参数，再结合二次函数的性质分析． （1）将点代入抛物线解析式求，再将解析式化为顶点式得顶点坐标； （2）确定抛物线的关键点（顶点、与坐标轴交点等），列表取值后绘制图象； （3）根据抛物线图象在轴下方的部分，确定不等式的解集． 【详解】（1）解：把代入，得． 将代入抛物线方程，得到． 抛物线的顶点坐标公式为，其中， ， ． 代入公式，得到顶点坐标为，即． 故答案为：3；． （2）列表取点 x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点画图得： （3）观察草图，当或时，抛物线在轴下方，即． 不等式的解集为或． 故答案为：或． 20．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式和的面积； (2)点D是第一象限内抛物线上的一点，连接，，求面积的最大值及点D的坐标； (3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；的面积为6 (2)面积的最大值为；点D的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）把两点代入即可求出抛物线的解析式，进而即可求出的面积； （2）设，过点作轴，根据，即可求出点坐标及面积的最大值； （3）当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点A，C坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标． 【详解】（1）解：由，得：，抛物线的解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为，∴， ∴； （2）解：设，过点作轴，连接，如图， 则， ，，， ， ， ∴函数开口向下，有最大值， 当时，点坐标是，面积的最大值是； （3）解：设交轴于点，过点作于点，如图， ，， ∴为等腰直角三角形， ， ，，，， ， 设，则，，， 解得，，，， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得，解得（舍去）或，点． 【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、二次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理，解题关键是运用数形结合思想分析问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $