25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习作业-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础辨析、变式应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，适配暑假分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础辨析|韦达定理直接应用|选择题6直接构造方程，强化概念理解| |变式应用|结合判别式与代数式变形|填空题12利用方程根定义转化，提升推理能力| |综合探究|跨知识点综合与新定义问题|解答题20“倍根方程”探究，培养创新意识与模型观念|

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题（共10小题） 1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 2．已知a和b是方程x2+2026x﹣1＝0的两个解，则a2+2025a﹣b的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝3x1x2，则k的值为（　　） A． B． C． D． 4．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是（　　） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 6．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0 7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4 8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　） A． B． C． D．0 9．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（　　） A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1 10．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　） A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2 二．填空题（共8小题） 11．设x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1﹣2x1x2+x2＝0，则m＝　 　 ． 12．若m，n是方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则m2﹣3m+2n的值为　 　 ． 13．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　 　 ． 14．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是　 　 ． 15．已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是　 　 ． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且4，则x1x2的值是　 　 ． 17．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是 　 　 ． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　 （填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 三．解答题（共4小题） 19．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于3？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． （1）判断关于x的方程x2﹣6x+8＝0是不是倍根方程　 　 （是或不是）． （2）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则　 　 ． （3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a不为0）是倍根方程，且5a+b＝0，请求出此方程的两个根． 21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 22．已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m+2，n＝1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1． 因为， 则， 所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10， 解得m＝1或﹣3． 当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0， 所以m＝1符合题意； 当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0， 则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0， 所以m＝﹣3符合题意， 综上所述，m的值为1或﹣3． 故选：C． 2．【解答】解：由条件可知a2+2026a﹣1＝0，a+b＝﹣2026， ∴a2+2026a＝1， ∴a2+2025a﹣b ＝a2+2026a﹣a﹣b ＝1﹣（a+b） ＝1﹣（﹣2026） ＝2027． 故选：C． 3．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k， ∵x1+x2＝3x1x2， ∴4＝3k， 解得：， 故选：D． 4．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且Δ＞0， 由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0， 解得a， ∵x1+x2，x1x2＝9， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0， 那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 即91＜0， 解得a＜0， 最后a的取值范围为：a＜0． 故选D． 方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax2+（a+2）x+9a， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧， 当a＞0时，x＝1时，y＜0， ∴a+（a+2）+9a＜0， ∴a（不符合题意，舍去）， 当a＜0时，x＝1时，y＞0， ∴a+（a+2）+9a＞0， ∴a， ∴a＜0， 故选：D． 5．【解答】解：根据条件知： α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2， ∴1， 即m2﹣2m﹣3＝0， 所以，得， 解得m＝3． 故选：A． 6．【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12＝0， 故选：A． 7．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根， ∴Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0， 解得：m≤1． ∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β， ∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0， 解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）． 故选：A． 8．【解答】解：∵x1+x2＝4， ∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5， ∴x2， 把x2代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4m＝0， 解得：m， 故选：A． 9．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1． ∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝1． ∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0， 解得：m≥﹣1． ∴m＝1． 故选：D． 10．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2． ∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3， ∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3， 解得：k＝±2． 当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意； 当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0， ∴Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0， ∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去． ∴k＝2． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：由条件可知x1+x2＝4，x1x2＝m， ∴x1﹣2x1x2+x2＝4﹣2m＝0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 12．【解答】解：由条件可知m+n＝5， ∵m是方程x2﹣5x+3＝0的实数根， ∴m2﹣5m+3＝0，变形得m2＝5m﹣3． 故m2﹣3m+2n ＝（5m﹣3）﹣3m+2n ＝2m+2n﹣3 ＝2（m+n）﹣3 ＝2×5﹣3 ＝7． 故答案为：7． 13．【解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x0； 设x2﹣2x0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn； m﹣n； 根据三角形三边关系定理，得： m﹣n＜1＜m+n，即1＜2； ∴，解得3＜k≤4． 14．【解答】解：当1﹣m2＝0时，m＝±1． 当m＝1时，可得2x﹣1＝0，x，符合题意； 当m＝﹣1时，可得﹣2x﹣1＝0，x，不符合题意； 当1﹣m2≠0时，（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0， [（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＝0， ∴x1，x2． ∵关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数， ∴01，解得m＞0， 01，解得m＞2． 综上可得，实数m的取值范围是m＝1或m＞2． 故答案为：m＝1或m＞2． 15．【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝k， 3， 解得：k＝2， 故答案为：2． 16．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2﹣k， ∵4， ∴4， （2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 2k2+2k﹣4＝0， k2+k﹣2＝0， k＝﹣2或1， ∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k＝1， ∴x1•x2＝k2﹣k＝0， ∴x1x24﹣0＝4． 故答案为：4． 17．【解答】解：∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3＝0的两根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝k2+k+3， ∵Δ＝4k2﹣4（k2+k+3）＝﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3， ∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2 ＝x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2 ＝（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2 ＝2k2+2k﹣4 ＝2（k）2， ∵k≤﹣3，2×（﹣3）28， ∴2（k）28， 故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8． 故答案为：8． 18．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得， ∵x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； 故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 因此x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0， 故②正确； ③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴x1，x2＝﹣q， ∴x2＝﹣q2x1， 因此是倍根方程， 故③正确； ④设关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0是“倍根方程”， ∴令x2＝2x1， ∴x1+2x1，2x1•x1， ∴3x1，2， ∴x1， ∴2（）2， 即2b2＝9ac， 故④正确， 故答案为：②③④． 三．解答题（共4小题） 19．【解答】解：（1）∵方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴4（k+1）2﹣4k（k﹣1）＞0， 即12k+4＞0， 解得，k， 又k≠0， ∴k且k≠0； （2）存在． x1+x2，x1•x2， 由题意得，+＝3， 即3， 解得k， ∵k且k≠0时方程有两个不相等的实数根， ∴存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于3． 20．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x1＝2，x2＝4， ∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程； 故答案为：4； （2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0， ∴x1＝2，， 当时，； 当时，； 故答案为：﹣1或﹣4； （3）由条件可设x1＝2x2， ∵5a+b＝0， ∴， ∴x1+x2＝5， ∴x2+2x2＝5， ∴，． 21．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0， 解得：k， ∴实数k的取值范围为k． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝1﹣2k，x1•x2＝k2﹣1． ∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）＝16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12＝0， 解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 22．【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1， 又∵x0，且1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0有两个整数根x1、x2，且k＝m+2，n＝1时， ∴把k＝m+2，n＝1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx+m﹣1＝0， ∴△≥0，即Δ＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴Δ＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m+4）≥0， 则m＞0或m； ∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2＝3，x1•x21， ∴1为整数， ∴m＝1或﹣1， 由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1 ∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1＝0得：x2﹣3x+1﹣1＝0， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x1＝0，x2＝3； （3）|m|≤2成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k＝﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0且方程有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2m，x1x2n， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k＝x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x12+x22＝x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝k2， （x1+x2）2﹣3x1x2＝k2， （﹣m）2﹣3n＝（﹣1）2， m2﹣4n＝1，n①， Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n≥0②， 把①代入②得：9m2﹣480， m2≤4， 则|m|≤2， ∴|m|≤2成立 学科网（北京）股份有限公司 $