第一课：一元二次方程相关概念暑期预习2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学九年级上册暑期预习同步练，聚焦一元二次方程相关概念，通过基础巩固、概念辨析、综合应用三阶分层设计，培养抽象能力与推理意识，适配预习阶段知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、一般形式、系数识别|单选题1-7题重复强化定义判断，填空题11-14题聚焦参数取值条件，夯实符号意识| |中档|根的概念及简单应用|单选题8题结合根的性质推理，填空题15题渗透整体代入思想，发展推理意识| |提升|概念综合应用与跨情境迁移|解答题18题关联三角形边长，19题融合根与系数关系，体现模型意识与应用能力|

人教版九年级上册数学新教材暑期预习 第一课：一元二次方程相关概念 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（    ） A． B． C．任意实数 D． 3．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有一个根为，则满足(    ) A． B． C． D．为任意数 6．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 9．一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C． D． 10．下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．某个关于的一元二次方程有一个解为，这个方程可以是：_________ ． 12．如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 13．若是关于x的一元二次方程，则m的值是______． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是______． 15．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为________． 三、解答题 16．已知是方程的根，求代数式的值． 17．计算： (1)计算：． (2)解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来． (3)已知关于x的一元二次方程有一根是，求m的值． (4)先化简然后从，0，1，2中选一个合适的数的值代入求值． 18． 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 19．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一课：一元二次方程相关概念》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A C B A B A 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：．，含2个未知数，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故该选项符合题意； ．，的分母中含未知数，是分式方程，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； ．，的最高次数是1，不是一元二次方程．故该选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】根据一元二次方程的概念即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般式为：，且a、b、c为常数，关键是把握这个条件． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 4．B 【分析】根据一元二次方程的定义：形如 为常数且，即可解答． 【详解】A、，未知数最高次数是1次，是一元一次方程，该选项不符合题意； B、，是一元二次方程，该选项符合题意； C、，有两个未知数，是二元一次方程，该选项不符合题意； D、，是分式方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程中求出的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 方程是关于的一元二次方程， ， ， 的值为． 故选：A． 6．C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 7．B 【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程）依次进行判断即可求解． 【详解】、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项合题意； 、是一元一次方程，故此选项不符合题意； 、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 8．A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 9．B 【分析】题主要考查一元二次方程的特点，解题的关键是熟知一元二次方程的一般式； 根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为； 故选：B. 10．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程. 【详解】解：A.满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B.含有2个未知数，故本选项不符合题意； C.含有一个未知数，但含未知数的项的最高次数为3，故本选项不符合题意； D.是分式方程，故本选项不符合题意. 故选：A. 11．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解，熟练掌握定义是解题的关键．由于是方程的一个根，因此方程可构造为含有因式的一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为， 则方程为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程中二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的定义，需满足未知数的最高次数为2且二次项系数不为零；由此只需保证方程中二次项系数，即可求出的取值条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为：，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式，可得,，以此进行求解即可． 【详解】依题意，得， 解得， 故答案为：． 14．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，据此可得且，最后求解即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 15．2023 【分析】把代入方程，得，再由等式性质得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2023． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根和等式性质是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 17．(1) (2)， 解集在数轴上表示如下： (3) (4)；当时，原式 【分析】（1）将代入，再依次计算乘方，绝对值，化简二次根式，最后进行加减运算； （2）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可； （3）将代入解方程即可计算m的值； （4）先通分进行分式加减法，再进行分式乘除法进行化简，然后从，0，1，2中选一个使得原分式有意义（分母不为0）的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集是，， （3）解：将代入， 得，， 解得，； （4）解： ， ，， ，， 当时， 原式． 18．是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， 依题意，将代入得 ∴即 ∴是等腰三角形 19．0 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $