精品解析：辽宁辽南协作体2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度下学期期末考试高二试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数且，，函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 6. 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在上为局部奇函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”的否定形式是“，” B. “”的一个充分不必要条件是“” C. 若关于的不等式在[1,5]上恒成立，则实数的取值范围是 D. 已知定义域为的函数满足，则 10. 当下新能源汽车备受关注，某校“祖冲之”社团（借助数学家“祖冲之”命名）对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（ ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 A. 25 B. 45 C. 60 D. 40 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为R B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，12题第一个空3分，第二个空2分） 12. 已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 13. 若是函数的极值点，则的值为___________. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理.现有函数，设数列满足，，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱. （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用12年的失效费. 附：样本的相关系数，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 16. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集为A． （2）已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数，，. （1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）求函数的极值； （3）函数，若，证明：. 18. 已知是数列的前项和，且满足，，数列满足， （1）求和； （2）若数列满足，，求的前项和. 19. 已知函数，. （1）证明：当a=0时，； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）已知，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末考试高二试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根号下的非负性解不等式，结合对数函数的图像性质即可求解. 【详解】解，得，即集合， 对于，为函数的图像向左平移2个单位，其值域不变为， 即集合，所以. 2. 已知等差数列，则“”是“”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列公差为，则有， 由，则， 则时，，成立，“”是“”成立的充分条件. 时，有，即可推出或的结论， 故“”不是“”成立的必要条件.故A正确. 3. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数在上的单调性，再分别化简、、的取值范围，由单调性得到函数值的大小关系. 【详解】设，当时，，故在上单调递减. 对于，由得， 对于，由换底公式，，由得， 对于，即，故， 于是，又函数在上单调递减，故. 【点睛】先研究的单调性，再把对数、指数化到可比较区间，用“自变量越大、函数值越小”排序. 4. 已知实数且，，函数，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 则， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 5. 若等比数列中的，是方程的两个根，则（ ） A. B. 1015 C. D. 1014 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质得到，进而得到，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由韦达定理可知，由等比数列的性质可知 ，所以， 所以 . 6. 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 7. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知在上为局部奇函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件，利用函数新定义，通过分离参数和基本不等式即可求解. 【详解】由局部奇函数的定义可知，， 从而， 因为， 所以， 当且仅当，即时，不等式取等号， 从而，即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用导数确定函数的单调性，结合奇偶性使用脱壳法将抽象函数不等式转化为，进而分离参数并运用基本不等式求解. 【详解】由题意得，其中， 即，所以恒成立，即恒成立， 设，， ，所以是奇函数， ，所以是奇函数， 此时，， 所以也是奇函数， 因为单调递增，单调递减，单调递减，则单调递减， ，所以单调递增，单调递减， 所以单调递减， ， 由奇函数得， 由单调递减得有解， 即. 令，则， 当且仅当即时等号成立，易得一定有解， 则. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”的否定形式是“，” B. “”的一个充分不必要条件是“” C. 若关于的不等式在[1,5]上恒成立，则实数的取值范围是 D. 已知定义域为的函数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据全称命题否定的定义，先改全称量词为存在量词，再否定结论；选项B，结合三角函数的性质进行充分性和必要性的验证即可；选项C，根据题意进行参数分离，进而构造函数求解最大值得到的取值范围；选项D，根据函数递推关系推导函数的周期，再结合周期求解函数值. 【详解】选项A原命题“”的否定应为“”，A错误. 选项B，充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，不一定推出， 必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，B正确. 选项C，不等式在上恒成立，则对任意恒成立. 令，则在上单调递减，最大值为， 所以，即，C错误. 选项D，由，可得①，② ，②①可得，即周期为. 已知，可得，且，，；又， 所以，D正确. 10. 当下新能源汽车备受关注，某校“祖冲之”社团（借助数学家“祖冲之”命名）对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，则调查人数中男生有可能的人数为（ ） 附： 0.050 0.010 3.841 6.635 A. 25 B. 45 C. 60 D. 40 【答案】BC 【解析】 【分析】设男生可能有人，作出列联表并计算得到，由可求得的范围，结合是的正整数倍可得结果. 【详解】设男生可能有人，依题意可得列联表如下： 喜欢新能源汽车 不喜欢新能源汽车 总计 男生 女生 总计 ， 有的把握认为是否喜欢新能源汽车和性别有关，， 解得：，又是的正整数倍， 和都满足题意. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的值域为R B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D. 【详解】，因为， 所以的值域为.A错； 的定义域是R，且，则是偶函数.B对； 的图象可看成的图象向左平移一个单位长度， 又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对； 令，则， 当时，，单调递增，且 又为上增函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 又是偶函数，则，则.D对. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，12题第一个空3分，第二个空2分） 12. 已知函数，则函数的最小值为______________此时______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为 ， 当且仅当，即或(舍去)时等号成立. 所以函数的最小值为，此时. 13. 若是函数的极值点，则的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案. 【详解】解：根据题意，， 得， 由题意可知， 解得或， 当时，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点； 当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 14. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子.他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理.现有函数，设数列满足，，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倒序相加求出，进而得到通项公式，再结合对勾函数的单调性求出的取值范围. 【详解】由，可得， 所以. 对，倒序相加可得： ，两式相加可得： ， 所以，代入不等式可得： ，整理得，即. 令，当时，单调递减， 当时，单调递增. 又，，， 所以，即， 故，即实数的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱. （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用12年的失效费. 附：样本的相关系数，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】（1），认为与线性相关性很强 （2）线性回归方程为，失效费约为9.9万元 【解析】 【详解】（1）由表知，， ， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算12年的失效费约为9.9万元. 16. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集为A． （2）已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，， 因为，可得， 所以，可得，解得， 所以不等式的解集. 【小问2详解】 解：由（1）知，集合，且， 因为是的必要不充分条件，所以， ①若，则，解得，符合题意； ②若，由，可得，此时不等式组解集为空集， 综上可得：实数的取值范围是． 17. 已知函数，，. （1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）求函数的极值； （3）函数，若，证明：. 【答案】（1） （2）的极大值为，无极小值 （3）证明如下： 易知，则， 令，则，令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数的极大值为， 由已知，∴，，由（2）可知，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算参数即可； （2）直接求导，判定函数的单调性计算极值即可； （3）化简函数式，求导判定其单调性得出极大值即最大值，根据条件得出，再结合第二问的结论即可证明. 【小问1详解】 易知，切线斜率为，所以， 由切线方程可得； 【小问2详解】 易知，， 令，即，∴， 令，∴， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问3详解】 略 18. 已知是数列的前项和，且满足，，数列满足， （1）求和； （2）若数列满足，，求的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系，结合化简可得，，再利用累乘法可求得，由化简得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求得； （2）由题设可得，根据裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 则，则， 则，， 所以， 则，， 而满足上式，则. 由，则， 则，即，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即. 【小问2详解】 由， 则， 所以 . 19. 已知函数，. （1）证明：当a=0时，； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）已知，证明：. 【答案】（1）证明：当时， 令，（） ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则函数，所以 （2） （3）证明：由（1）得， 则，所以，即，则， 令，得， 所以，即， 又，， 令，则，且不恒为零， 所以在上单调递增，即，则， 所以，即 . 【解析】 【分析】（1）令，利用导数证明即可； （2）当时，结合（1）可知；当时，求得的一个零点为，从而可得，不满足题意，即可得答案； （3）结合（1）可得，经过恒等变换可得，令，从而得即，结合，，令，利用导数确定函数的单调性，可得，即可得，再代入，即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时，由（1）知，，即； 当时，取， 则，其中的一个零点为， 由于，而， 得， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $