精品解析：辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年度高二下学期期末考试数学试题

2024-2025学年度（下）沈阳市五校协作体期末考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共Ⅱ部分：第一部分：选择题型（1-11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 故选：B． 2. 某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数； 【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为. 故选：B 3. 已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为，则m的值为（ ） x 6 8 10 12 y 6 5 m 2 A. 3 B. 3.3 C. 4 D. 4.3 【答案】A 【解析】 【分析】求出，代入回归方程可得答案. 【详解】，， 所以，解得. 故选：A. 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 5. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分组求和及等差数列的前n项和公式即可直接求得答案. 【详解】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数 与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可. 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 既有最大值也有最小值 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据求出的通项公式，然后求出，从而确定每个选项. 【详解】因为，所以时，. 所以， 所以，所以数列从第2项起是公比为3的等比数列. 由于，因此，故D正确； 所以当时，，而也符合， 所以数列的通项公式为，又， 故数列是首项为1公比为3的等比数列，A正确B错误； 因为数列的首项为1，且从第二项开始，以为首项，以3为公比的等比数列，所以数列是递增的数列，最小值为，没有最大值，C错误； 故选：AD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 当且仅当时，方程有两个不等的实根 C. 对区间上任意两个实数，都有 D. 设，只有一个极值点，则实数k的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的定义计算判断A；举例说明判断B；作差变形，构造函数并利用导数探讨单调性判断C；求出函数导数，由导函数的变号零点只有一个分类求解即可. 【详解】函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 对于A，，A正确； 对于B，当时，只有1个根4，B错误； 对于C， ，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 由，不妨令，则， 即，而，则， 所以，C正确； 对于D，函数定义域为R， 求导得，由只有一个极值点，得只有一个变号零点， 而，若是的唯一变号零点，令，则函数没有变号零点， 当时，在R上单调递增，， 在上存在变号零点，不符合题意； 当时，无零点，则； 当时，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当趋近于负无穷大时，的函数值趋近于正无穷大， 因此当且仅当时，函数没有变号零点，则，； 若不是的变号零点，由，得，此时还有另一个变号零点，符合题意； 所以实数k的范围为，D错误. 故选：AC 11. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析， 所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的______条件. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】解分式不等式，结合充分必要条件进行判断. 【详解】，解得或， 则是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 13. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求，再求，再根据对于恒成立，再分离参数，进而转化为最值问题即可求解． 【详解】由， 则， 所以， 又在上为“凸函数”， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则， 所以在单调递增， 所以， 所以， 故实数m的取值范围是． 故答案为：． 14. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解． 【详解】对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，剩下个坐标相同，此时对应情况数有种，所以， 则X的分布列为： X 1 2 … 6 P … 所以，， ． 故答案为：. 四、解答题 本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可； （2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论. 【小问1详解】 命题，不等式恒成立，为真命题， 则，解得，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题，使成立， 当为真命题时， 即，解得或， . 当命题中恰有一个为真命题时， ①为真命题，为假命题，即，所以； ②为假命题，为真命题，即，所以； 综上可得：. 16. 钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表： 0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上 男生（人） 1 6 6 7 20 17 3 女生（人） 2 5 5 8 10 8 2 （1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”； 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 （2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，. 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”；（2）分布列见解析，1.6. 【解析】 【分析】（1）依题意填写的列联表，根据公式求出，然后判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”． （2）求出抽取的女生人数，男生人数，可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到的分布列，然后求数学期望 ． 【详解】（1）依题意填写的列联表如下： 比较了解 不太了解 合计 男生 40 20 60 女生 20 20 40 合计 60 40 100 ， 没有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”. （2）抽取的女生人数为（人），男生人数为（人）. 所以X的可能取值为， 则 . 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望为. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，属于基础题． 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解得到和，进而得到通项公式.（2）先根据第（1）问的结果求出的表达式，再用裂项相消法求出，然后将恒成立转化为小于一个关于的式子的最小值问题，借助导数求解. 【小问1详解】 设等差数列公差为. 根据等差数列的性质：可得，则，即. 由等差数列的前项和公式，可得，即. 联立方程组， 解得. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，则，. 所以. 则 . 因为对恒成立，即恒成立. 因为，所以恒成立. 令，. 对求导得，所以在上单调递增. 则， 所以. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． 【小问3详解】 ． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 19. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为. （1）写出的分布列并计算； （2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值； （3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值. 【答案】（1）分布列见解析， （2）50 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）第一问就是用相互独立事件同时发生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可计算出结果； （2）第二问关键是看懂题意，即甲口袋中黑球个数为0个时，，甲口袋中黑球个数不为0个时，，所以要想数列的前100项和最大，则尽最大可能让甲口袋中黑球个数为0，从而得到问题的解法及结果； （3）第三问关键是找到第次交换球后的概率与第次交换球后的概率关系，有了第次交换球后的概率分布，就可以计算第次甲口袋中黑球期望与第次的期望关系，从而构造成等比数列求出，再用极限思想就可以得到结果. 【小问1详解】 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球. 从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作， 记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 即； 【小问2详解】 根据题设可得不可能同时为1，故， 由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球， 即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换， 这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时， 之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则， 我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则， 这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50； 【小问3详解】 设表示第次交换后甲口袋中黑球有个的概率， 则， ， ， ， 所以 ， 由上可得期望的递推关系：， 变形构造为：，由(1)得，所以， 即数列是以首项为，公比为等比数列， 所以，即， 所以当交换次数趋向于无穷时，趋向的值为. 【点睛】方法点睛：本题创新在第二问数列求和的最大值，看似是一个很难很麻烦的问题，但我们能构理解题意，找到问题可能发生的结果，甚至不用计算，就能得到结果。关键就是在于问题的分析能力. 而第三问就重在能找到一个递推关系，而期望是必须研究甲口袋中的黑球个数取时的概率分布列，所以由此想找到的是概率递推关系，从而就可以不断深入研究期望的递推关系，从而解决问题，这个题的亮点就是与数列的递推综合来解决概率问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）沈阳市五校协作体期末考试 高二年级数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 试卷说明：试卷共Ⅱ部分：第一部分：选择题型（1-11题58分） 第二部分：非选择题型（12-19题92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 3. 已知x与y之间具有相关关系，并测得如下一组数据，x与y之间的经验回归方程为，则m的值为（ ） x 6 8 10 12 y 6 5 m 2 A. 3 B. 3.3 C. 4 D. 4.3 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 设数列的前项n和为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C 既有最大值也有最小值 D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 当且仅当时，方程有两个不等的实根 C. 对区间上任意两个实数，都有 D. 设，只有一个极值点，则实数k的范围为 11. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “”是“”的______条件. 13. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是_____． 14. 在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 四、解答题 本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数取值范围. 16. 钱学森、华罗庚、李四光、袁隆平、钟南山分别是我国著名的物理学家、数学家、古生物学家、农学家、呼吸病学专家，他们在各自不同的领域为我国作出了卓越贡献.为调查中学生对这些著名科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名中学生，请他们列举这些科学家的成就，把能列举这些科学家成就不少于4项的称为“比较了解”，少于4项的称为“不太了解”.调查结果如下表： 0项 1项 2项 3项 4项 5项 5项以上 男生（人） 1 6 6 7 20 17 3 女生（人） 2 5 5 8 10 8 2 （1）完成如下列联表，并判断是否有的把握认为“中学生对这些科学家的了解程度与性别有关”； 比较了解 不太了解 合计 男生 女生 合计 （2）在抽取的100名中学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取一个10人的样本，从这个样本中随机抽取4人，记为这4人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附： 0.100 0.050 0010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，. 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 通项公式； （2）记数列 的前 项和为 ，若 对 恒成立，求 的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 19. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为. （1）写出的分布列并计算； （2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值； （3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $