专题04二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(暑假预习讲义）-2026-2027学年人教版数学九年级上册.

专题04二次函数y=a+bx+c的图象和性质暑假预习讲义 ✺知识框架 1. 二次函数的三种表达形式 ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0 ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0 ③交点式：y=a(x-)(x-)(a≠0) 2.抛物线图象与系数的关系 ①a：决定抛物线开口方向与开口宽窄； ②a、b：共同确定对称轴位置；c：决定抛物线与y轴交点； ③判别式Δ=b2-4ac：判定抛物线与x轴交点个数。 3.对称轴与顶点坐标求解 ①公式法：对称(x=-，顶点坐标(﹣,)； ②配方法：将一般式化为顶点式，直接读取顶点、对称轴。 4.函数增减性与最值 结合开口方向、对称轴划分增减区间，掌握全体实数范围内函数最大值、最小值求解方法。 5.待定系数法求二次函数解析式 已知三点设一般式；已知顶点 / 对称轴设顶点式；已知抛物线与x轴交点设交点式。 6.图象符号判断综合题型 根据抛物线图象判断a、b、c、Δ的符号，分析a+b+c、a-b+c等代数式正负。 ✺学习目标 知识理解:1.掌握二次函数y=a+bx+c中系数a、b、c的几何意义，能依据抛物线图象快速判断a、b、c及Δ=-4ac的符号；2.熟记对称轴、顶点坐标计算公式，熟练运用配方法完成一般式与顶点式的互化；3.明晰三种解析式的适用场景，理解顶点、横轴交点对应的几何含义；4.理清判别式Δ的取值与抛物线、x轴交点数量的对应规律。 运算技能:1.熟练使用公式法、配方法求解任意二次函数的对称轴与顶点坐标； 2.能结合题干条件，灵活选取一般式、顶点式或交点式，借助待定系数法求解二次函数解析式；3.依据开口方向与对称轴准确划分函数单调区间，正确求解函数的最大值、最小值；4.会代入特殊自变量x=1、x=-1，判断a+b+c、a-b+c等代数式的正负。 数形应用:1.建立数形结合思想，能结合图象分析函数增减变化，实现函数解析式与图象特征相互转化；2.可根据系数符号绘制抛物线简易草图，也能从图象中提取有效信息判断系数符号；3.掌握图象符号判断题的基础解题思路，为二次函数综合题型学习做好铺垫；4.形成分类讨论意识，区分a>0开口向上、a<0开口向下两种情况分析函数性质。 ✺题型归纳 题型1.把y=a+bx+c化成顶点式 题型2.画y=a+bx+c的图象 题型3.y=a+bx+c的图象与性质 题型4.二次函数图象与各项系数符号 题型5.一次函数、二次函数图象综合判断 题型6.两个二次函数图象综合判断 题型7.根据二次函数的图象判断式子符号 题型8.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9.根据二次函数的对称性求函数值 题型10.y=a+bx+c的最值 题型11.利用二次函数对称性求最短路径 题型12.待定系数法求二次函数解析式 题型13.线段周长问题 题型14.面积问题 题型15.角度问题 题型16.特殊三角形问题 题型17.特殊四边形问题 题型18.其他问题 题型19.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点二、用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. ☘列表表示如下： 知识点三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， 知识点四、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 ✺题型◆精讲 题型1.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 2．二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的定义，正确记忆二次函数一般式的特点是解题关键． 将二次函数的顶点式化为一般式，再求二次项系数与常数项之和。 【详解】解：将二次函数化为一般式得：， 其中二次项系数为，常数项为，它们的和为， 故答案为 ：，． 3．用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 题型2.画y=ax2+bx+c的图象 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 2．已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：令，则， 令，则， 解得，， 所以，过，，的函数图象如图所示： 3．已知二次函数． (1)填写下表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查画二次函数的图象： （1）将的值代入，求出函数值，填表即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，当时，，当时，，当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … （2）描点，连线，画出图象如下： 题型3.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 2．二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【分析】本题主要考查二次函数图象，掌握二次函数的图象的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向由二次项系数的符号决定，当时开口向上，当时开口向下，即可解答． 【详解】解：对于二次函数，二次项系数， 因此图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 3．已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：将代入，得． 题型4.二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 2．如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，二次函数开口向下，与轴正半轴有交点，则、，根据对称轴可得与轴的一个交点坐标为，令得到，根据二次函数图像与轴有两个交点， 得到判别式，根据 二次函数图像的对称轴判断增减性即可． 【详解】解：根据题意得二次函数图像的对称轴是，与轴的一个交点为，则与轴的一个交点坐标为， 令得， 故③错误； 由图像可知，对称轴是，图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 不等式的解集是， 故④⑤正确； 由图像可知，二次函数图像开口向下，与轴正半轴有交点， 则、， 那么， 故②错误； 由于二次函数图像与轴有两个交点，则令得：， 则判别式，即， 故①正确； 综上所述，结论正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 题型5.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 2．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象的位置关系，解题的关键是理解二次函数与一次函数的大小关系是解题的关键．根据二次函数图象与一次函数图象的位置关系求解即可． 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 题型6.两个二次函数图象综合判断 1．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 2．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 3．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 题型7.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象过点的意义，作差法比较大小，实数的大小比较，二次函数的性质，解答即可． 本题考查了图象过点的意义，作差法比较大小，实数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A错误； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B错误； ∵， ∴， ∴， 故C错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确； 故选：D． 2．已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 3．如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为___________． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：顶点在轴的上方， ，即，故①正确； 对称轴， ，故②正确； ， ． 当时，， ，故③错误； 当时，最大， 当时，， （为实数），故④正确； 当时，存在，故⑤错误． 其中正确的有①②④，正确的个数为， 故答案为：． 题型8.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上，从而得到点离对称轴越远，函数值越大，再由点，也是该函数图象上的两动点，且总有，可得点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵点，是二次函数上的两点， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，也是该函数图象上的两动点，且总有， ∴点D离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离， 即， 解得：． 故选：A 2．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 3．在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 题型9.根据二次函数的对称性求函数值 1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．由表格可知，当时，故是方程的一个根；由于二次函数对称，且与时y值均为2，故对称轴为，因此与关于对称，即，即可作答． 【详解】解：∵时， ∴是方程的一个根； ∵与时y值均为2， 故对称轴为， 设另一个根为， 则与关于对称，即； 解得 ∴方程的根为，， 故选：C． 2．约定：如果是的函数，我们把时的函数值记为．已知二次函数，当取两个不同的值和时，，则________． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性得出，求出，然后把代入求解即可． 【详解】解：对于二次函数，当取两个不同的值和时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 3．已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①可证明抛物线经过点，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线解析式为；根据对称轴计算公式得到，进而得到原抛物线顶点坐标为，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，解之即可得到答案； （2）当时，一定有；而当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，当时，一定有，据此可得答案． 【详解】（1）解：①在中，当时，， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； ②由①得， ∵， ∴直线解析式为； ∵原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线的顶点到轴的距离为1， ∴， 解得或； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵，， ∴， ∴当时，一定有； 当时，一定有， 当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况， 当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有， ∴， 综上所述，． 题型10.y=ax2+bx+c的最值 1．已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 2．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 3．定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 题型11.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；①先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，即可判断①；根据对称性得出，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为，即可判断③；取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，即可判断④． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， ∴，故①正确； ∵且， 设，则关于对称， ∴，故②错误， ∵时，函数有最大值为， 若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为， ∴ 即，故③正确 取，连接，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为．故④正确 故答案为：①③④． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 【答案】最短路程为10；(，0)，(4，1)． 【分析】如图，按照“台球两次碰壁”的模型，作点关于抛物线的对称轴对称的点，作点关于轴对称的点，连结与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点． 在Rt△ACD中，AC＝8，AD＝6，所以CD＝10，即点走过的最短路程为10．设直线CD的解析式为y=kx-2，把（8,4）代入解析式可定方程，根据交点的意义确定M(，0)，N(4，1)． 【详解】∵抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点， ∴A（0，4），B（0，2）， 如图,按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点C，作点B关于x轴对称的点D，连结CD与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N． 设点C的坐标为（m，4）， 根据题意，得， 解得m=8， ∴C（8,4），D（0，-2）， ∴AC=8，AD=6， ∴在Rt△ACD中， CD＝=10， 即点G走过的最短路程为10． 设直线CD的解析式为y=kx-2，把C（8,4）代入解析式，得 8k-2=4， 解得k=， ∴直线CD的解析式为y=x-2， 当y=0时，x=, ∴M(，0)， 当x=4时，y=1, ∴N(4，1)． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，待定系数法确定一次函数的解析式，“台球两次碰壁”的模型，根据题意，把四边形的周长最小转化为“台球两次碰壁”的模型，是解题的关键． 3．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据轴对称的性质，求出的周长最小时点P的位置，据此得出点P的坐标，进一步求出此时的面积即可． 【详解】解：由题知， 因为，是抛物线上的两点， 则，， 所以点A坐标为，点B坐标为， 如图所示， 因为抛物线的对称轴为y轴， 则点A关于y轴的对称点M的坐标为， 所以当点P在与y轴的交点处时，取得最小值，即的周长取得最小值． 因为点M坐标为，点B坐标为， 所以直线的函数解析式为． 当时，， 所以点P的坐标为． 因为， 所以． 故答案为：，6． 题型12.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 2．二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，由表格可知二次函数的图象与轴交于和两点，故设解析式为，再代入点求出的值，最后展开得一般式即可求解，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 3．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 题型13.线段周长问题 1．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 3．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 题型14.面积问题 1．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】联立二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1求出点A、B的坐标，再用补差法算面积即可． 【详解】解：联立， 解得x1＝1，x2＝， ∴A、B的坐标为（，），（1，2）， ∴S△OAB＝S△OBC﹣S△ABD﹣S梯形OADC＝×1×2﹣××﹣×（+1）×＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，准确计算一元二次方程是解题的关键． 2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，然后求得抛物线的解析式．如图：过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据以及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴， 把点代入可得：，解得：， ∴， 如图：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 题型15.角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 2．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 3．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可； （3）连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H，求出点，由中点坐标公式得，点，点B、H的坐标得直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为：， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴过点O作直线交抛物线于点M，则点M为所求点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为： ， 则直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则， 即点或， 当M在上方时， 同理可得直线m的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，此方程无解； 故点或； （3）由题意可得， ∴点， 连接，过点D作于点，交抛物线于点，交于点H， ∵， 则点T是的中点， 由（1）知，的表达式为：， 设点， ∵，， ∴ 解得 ∴, 解得， ∴点， 由中点坐标公式得，点， 由点B、H的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，则（舍去）或， 则点． 题型16.特殊三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 2．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 题型17.特殊四边形问题 1．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 2．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 化为顶点式求出对称轴抛物线为直线，设，，根据正方形的边长相等列方程求出a的值即可求解． 【详解】解：， 则对称轴抛物线为直线， 根据题意作图如下： 设， 根据中点坐标公式可知，即， ∴， 即， ∵正方形，， ∴， 整理得， ， 解得，（舍去）， ∴， ． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点在何处时，的面积最大？求出面积的最大值及此时点的坐标； (3)是（1）中抛物线上一点，是直线上一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积能取的最大值，此时点坐标为 (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）由题意得，求的表达式为：；设点， 过点P作轴并延长交于点H，然后结合图形得出关于三角形面积的函数关系式求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，，解得：， ∴． （2）令中，得，， ∴； 设的表达式为：， 将，代入得， ， 解得：； ∴的表达式为：； 设点， 过点P作轴并延长交于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∴设的面积为S， ∴， ∴当时，的面积最大为，， ∴点坐标为； （3）存在，理由如下： 将代入中得， ①当为平行四边形的一条边时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ②当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：， ∴M、N的中点坐标为：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴此时点N的坐标为； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或． 题型18.其他问题 1．小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象的应用，由题意得，即得，由函数图象可得，当时，整数，，，即可得方程的整数解为，，进而即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可得，当时，整数，，， 又由方程知， ∴方程的整数解为，， ∴方程所有的整数解的平方和为， 故选：． 2．已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为_____． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，画出图形，数形结合确定最大值和最小值，进行求解即可． 【详解】解：画出，的图象如下： 令，解得或， 当时，； 当时，； 当时，， 由图可知：当时，有最小值为； 当时，有最大值为； ∴y的最小值与最大值的和为； 故答案为：3． 3．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】(1) (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 3．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x＝2， 又∵当x≤1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0， ∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4， ∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4， 解得a＝﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 5．已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 二、填空题 6．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 7．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 8．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 10．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 三、解答题 11．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 12．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①②最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【详解】（1）①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． （2）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 14．如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 15．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数y=a+bx+c的图象和性质暑假预习讲义 ✺知识框架 1. 二次函数的三种表达形式 ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0 ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0 ③交点式：y=a(x-)(x-)(a≠0) 2.抛物线图象与系数的关系 ①a：决定抛物线开口方向与开口宽窄； ②a、b：共同确定对称轴位置；c：决定抛物线与y轴交点； ③判别式Δ=b2-4ac：判定抛物线与x轴交点个数。 3.对称轴与顶点坐标求解 ①公式法：对称(x=-，顶点坐标(﹣,)； ②配方法：将一般式化为顶点式，直接读取顶点、对称轴。 4.函数增减性与最值 结合开口方向、对称轴划分增减区间，掌握全体实数范围内函数最大值、最小值求解方法。 5.待定系数法求二次函数解析式 已知三点设一般式；已知顶点 / 对称轴设顶点式；已知抛物线与x轴交点设交点式。 6.图象符号判断综合题型 根据抛物线图象判断a、b、c、Δ的符号，分析a+b+c、a-b+c等代数式正负。 ✺学习目标 知识理解:1.掌握二次函数y=a+bx+c中系数a、b、c的几何意义，能依据抛物线图象快速判断a、b、c及Δ=-4ac的符号；2.熟记对称轴、顶点坐标计算公式，熟练运用配方法完成一般式与顶点式的互化；3.明晰三种解析式的适用场景，理解顶点、横轴交点对应的几何含义；4.理清判别式Δ的取值与抛物线、x轴交点数量的对应规律。 运算技能:1.熟练使用公式法、配方法求解任意二次函数的对称轴与顶点坐标； 2.能结合题干条件，灵活选取一般式、顶点式或交点式，借助待定系数法求解二次函数解析式；3.依据开口方向与对称轴准确划分函数单调区间，正确求解函数的最大值、最小值；4.会代入特殊自变量x=1、x=-1，判断a+b+c、a-b+c等代数式的正负。 数形应用:1.建立数形结合思想，能结合图象分析函数增减变化，实现函数解析式与图象特征相互转化；2.可根据系数符号绘制抛物线简易草图，也能从图象中提取有效信息判断系数符号；3.掌握图象符号判断题的基础解题思路，为二次函数综合题型学习做好铺垫；4.形成分类讨论意识，区分a>0开口向上、a<0开口向下两种情况分析函数性质。 ✺题型归纳 题型1.把y=a+bx+c化成顶点式 题型2.画y=a+bx+c的图象 题型3.y=a+bx+c的图象与性质 题型4.二次函数图象与各项系数符号 题型5.一次函数、二次函数图象综合判断 题型6.两个二次函数图象综合判断 题型7.根据二次函数的图象判断式子符号 题型8.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9.根据二次函数的对称性求函数值 题型10.y=a+bx+c的最值 题型11.利用二次函数对称性求最短路径 题型12.待定系数法求二次函数解析式 题型13.线段周长问题 题型14.面积问题 题型15.角度问题 题型16.特殊三角形问题 题型17.特殊四边形问题 题型18.其他问题 题型19.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点二、用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. ☘列表表示如下： 知识点三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， 知识点四、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 ✺题型◆精讲 题型1.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数的一般形式是________________，二次项系数和常数项的和是________． 3．用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 题型2.画y=ax2+bx+c的图象 1．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数． (1)直接写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 3．已知二次函数． (1)填写下表： x … 0 1 2 3 4 … y … … (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 题型3.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象的开口方向为_____．（填“向上”或“向下”） 3．已知二次函数，当时，求函数的值． 题型4.二次函数图象与各项系数符号 1．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 2．如图是二次函数图像的一部分，且过点，二次函数图像的对称轴是，下列结论：①；②；③；④不等式的解集是；⑤当时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是______________________． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 题型5.一次函数、二次函数图象综合判断 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 2．二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 3．在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 题型6.两个二次函数图象综合判断 1．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 3．设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 题型7.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有______． 3．如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为___________． 题型8.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知点，是二次函数上的两点，点，也是该函数图象上的两动点，且总有，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 3．在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 题型9.根据二次函数的对称性求函数值 1．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表，那么方程的根是（   ） x … 0 … y … 0 2 2 … A． B．， C．， D．， 2．约定：如果是的函数，我们把时的函数值记为．已知二次函数，当取两个不同的值和时，，则________． 3．已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 题型10.y=ax2+bx+c的最值 1．已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（   ） A．函数有最大值 B．函数有最大值3 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 2．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 3．定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 题型11.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），给出以下结论：①；②且，则；③若是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则；④的最小值是其中说法正确的有______．（填写正确结论的序号） 2．如图，抛物线与y轴交于点A，B是AO的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程． 3．如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 题型12.待定系数法求二次函数解析式 1．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 3．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 题型13.线段周长问题 1．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D．以上都不正确 2．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 3．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 题型14.面积问题 1．已知二次函数y＝2x2和一次函数y＝3x﹣1两函数图象交于点A、B，则A、B与二次函数的顶点O组成的△OAB的面积为（　　） A． B． C． D．1 2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 题型15.角度问题 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 3．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的一点，使得，请求出点M的坐标； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型16.特殊三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 2．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 题型17.特殊四边形问题 1．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知点A是二次函数对称轴左侧抛物线上一点，轴于D，以为边在右侧作正方形，其中点B在抛物线上，点C在x轴上，则点A的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点在何处时，的面积最大？求出面积的最大值及此时点的坐标； (3)是（1）中抛物线上一点，是直线上一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型18.其他问题 1．小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是（    ） A． B． C． D． 2．已知y是和值中较小的一个，其中，，则当时，y的最小值与最大值的和为_____． 3．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． ✺巩固测试 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（    ） A．1 B． C．﹣ D．﹣ 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（   ） A． B． C． D．或 5．已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 二、填空题 6．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 7．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 8．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 10．如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 三、解答题 11．如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 12．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 14．如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $