精品解析：江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

萍乡市2025—2026学年度第二学期期末考试 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（ ） A. 8 B. 15 C. 28 D. 31 3. 已知函数，若，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 一组样本数据如下表，用最小二乘法拟合得线性回归方程为，则下列结论错误的是（ ） 3 4 5 6 7 18 22 27 30 38 A. B. 与正相关 C. 当时， D. 去掉表中某对样本数据，与的样本相关系数一定会改变 5. 已知实数，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 7. 若函数在其定义域内单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 11. 已知定义域均为的函数和满足对，都有，且，.数列，分别满足，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 对任意， C. 的前8项和 D. 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 13. 若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 14. 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的值. 16. 某校为了解学生对2026年足球世界杯赛事是否感兴趣，随机抽取该校400名学生进行调查，已知男生感兴趣人数比女生多40人，设事件“对2026年足球世界杯感兴趣”，事件“学生为男生”，且，. （1）完成如图列联表： 男 女 总计 感兴趣 不感兴趣 总计 400 （2）请判断是否有99.9%的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数与的导函数分别为和.若常数满足：对公共定义域内任意实数恒成立，则称是的“-伴随函数”. （1）设，，证明：是的“3-伴随函数”； （2）设，，若是的“-伴随函数”，求的最大值. 18. 已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. （1）求和的通项公式； （2）分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 19. 已知函数，其中为常数. （1）若，求实数的取值范围； （2）若. （i）设数列的前项和为，试比较与的大小； （ii）函数有两个不同的零点，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萍乡市2025—2026学年度第二学期期末考试 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，， 所以，. 2. 已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（ ） A. 8 B. 15 C. 28 D. 31 【答案】D 【解析】 【详解】根据等比数列的性质，，， 公比，又，则，, 所以，. 3. 已知函数，若，则可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复合函数求导法则和导数加法法则求，再将各选项中的值代入判断即可. 【详解】， ，， ，. 4. 一组样本数据如下表，用最小二乘法拟合得线性回归方程为，则下列结论错误的是（ ） 3 4 5 6 7 18 22 27 30 38 A. B. 与正相关 C. 当时， D. 去掉表中某对样本数据，与的样本相关系数一定会改变 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，先计算,,代入样本中心，即可判断；对于B，计算该组样本数据的相关系数即可判断；对于C，把代入回归方程即可判断；对于D，若去掉点，由于该点为样本中心点，去掉样本中心点，相关系数不变，故D错误. 【详解】对于A，,， 故，故A正确； 对于B，设该组样本数据的相关系数为，则 所以，与正相关，故B正确； 对于C，由A选项中计算可得，故当时，，故C正确； 对于D，由B选项中计算可知该组样本数据的相关系数为，则， 删除样本中心后，设剩余的样本点为，如下表： 3 4 6 7 18 22 30 38 则, 该组数据对应的相关系数为，则， 故，故D错误. 5. 已知实数，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 6. 函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】函数关于点对称，函数也关于点对称，所以先找函数的图象与函数，的图象所有交点的个数，再计算出横坐标之和. 【详解】函数关于点对称，函数也关于点对称，作出两函数在的图象，由图象可知共有8个交点，两两关于点对称， 所以函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和为. 7. 若函数在其定义域内单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为对恒成立，参变分离后进一步转化为， 利用基本不等式求即可得到实数的取值范围. 【详解】定义域为，， 若函数在其定义域内单调递减， 则对恒成立，即在恒成立，即； 当时，，， 当且仅当即时取等，所以，因此. 8. 已知实数，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】即，，同理可得，，构造函数，通过求导判断函数单调性即可判断. 【详解】即，，同理可得，，设，那么， 当时，，故， 当时，，故， 在上单调递增，时单调递减， 所以， 由于， 所以，，又，，， 又在上单调递增， 所以，即. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数值域判断A选项；根据基本不等式及充分条件和必要条件定义判断B选项；对于选项C，先表示出命题的否定，根据命题与其否定一真一假将命题转化为有解，根据二次函数开口方向和判别式求的取值范围判断C选项；根据函数定义域的定义判断D选项. 【详解】选项A，由指数函数的值域为得恒成立，A选项错误； 选项B，当时，由基本不等式可得，当且仅当即时成立，所以当时，，不能推出，充分性不成立； 当时，移项得，解得且，因此能推出，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件，B选项正确； 选项C, 若“，”是假命题，则，使得. 对于函数，其图象开口向上，要使得有解，则判别式，解得或，C选项正确； 选项D，已知函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，即函数的定义域为，D选项错误. 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件列方程组求出和，根据等差数列通项公式判断A选项；令得到中的负项和非负项，再根据判断B选项；利用等比数列定义判断C选项；根据中的负项和非负项去绝对值，再利用等差数列的求和公式求和即可判断D选项. 【详解】选项A，由得， 因为，所以解得或（舍）， 所以，A选项正确； 选项B，令，解得，因为，所以当或时，取最小值，B选项错误； 选项C，，所以，因为，首项， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列，C选项正确； 选项D，由B知，当时，，当时，， 所以， 由得，所以，D选项正确. 11. 已知定义域均为的函数和满足对，都有，且，.数列，分别满足，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 对任意， C. 的前8项和 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A令；B将互换证明为偶函数；C举反例，；D令，得是的周期；令，得出是的周期即可. 【详解】令，则，则，故A正确； 因为，所以， 则，令得，则为偶函数， 则，所以B正确； 令，则，则， 则，则是的周期； 令，则， 则， 则， 故是的周期； 则，故D正确； 若，满足， 且 ， 但， 故C错误. 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 【答案】2 【解析】 【详解】， . 13. 若函数的值域为，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可. 【详解】当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减， 所以，因此当时，值域为； 当时，开口向上，对称轴为，所以； 因此当时，值域为； 要使函数的值域为，则，解得. 14. 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据“数列”定义得到存在正整数，使得即可求出公差；将代入后利用裂项相消法求得，解不等式得到结果. 【详解】等差数列的通项公式，前n项和公式， 因为等差数列是“数列”，根据“数列”定义，当时，存在正整数，使得， 即，整理得； 因为，为正整数，所以仅当时满足条件，因此； 所以， 因此数列的前项和 ， 令，则，所以； 所以正整数的最小值为5. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极小值，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义先求切线斜率，由点斜式求出切线方程即可. （2）根据极值点定义得到方程，检验后得到满足条件的. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令得或，在处取得极小值，或， 若，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极小值，符合题意； 若，即，则， 当时，；当时，；当时，， 此时，在处取得极大值，不合题意，舍去； 综上所述，． 16. 某校为了解学生对2026年足球世界杯赛事是否感兴趣，随机抽取该校400名学生进行调查，已知男生感兴趣人数比女生多40人，设事件“对2026年足球世界杯感兴趣”，事件“学生为男生”，且，. （1）完成如图列联表： 男 女 总计 感兴趣 不感兴趣 总计 400 （2）请判断是否有99.9%的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男 女 总计 感兴趣 80 40 120 不感兴趣 120 160 280 总计 200 200 400 （2）有的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关 【解析】 【小问1详解】 设对2026年足球世界杯感兴趣的女生人数为人，则对2026年足球世界杯感兴趣的男生人数为人， 由题意得：，解得， 又，表示“对2026年足球世界杯感兴趣的女生”，表示“学生为女生”，则女生总数为200人，故列联表如下： 男 女 总计 感兴趣 80 40 120 不感兴趣 120 160 280 总计 200 200 400 【小问2详解】 ， 所以有的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关． 17. 已知函数与的导函数分别为和.若常数满足：对公共定义域内任意实数恒成立，则称是的“-伴随函数”. （1）设，，证明：是的“3-伴随函数”； （2）设，，若是的“-伴随函数”，求的最大值. 【答案】（1），， 由三角函数性质得：，则， 所以，是的“3-伴随函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，利用“3-伴随函数”的定义推理得证. （2）求出函数的导数，利用“-伴随函数”的定义建立恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，由是的“-伴随函数”，得当时，恒成立， 当时，，此时可以取任意实数； 当时，不等式等价于，令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 所以，即的最大值为． 18. 已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中. （1）求和的通项公式； （2）分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求的通项公式，利用累乘法求的通项公式； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由得：时，，两式相减得， 又，故，满足，故是首项为3，公比为2的等比数列， 所以； 由得：， 所以； 【小问2详解】 由题知，，则， 故， 则 两式相减得： ， 故． 19. 已知函数，其中为常数. （1）若，求实数的取值范围； （2）若. （i）设数列的前项和为，试比较与的大小； （ii）函数有两个不同的零点，，证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）不妨设，则，解得， 令，则，代入上式得：， 化简得：，即，则， 要证，即证， 即证，即， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，故在上恒成立，在上单调递减， 故，即，所以． 【解析】 【分析】（1）将恒成立转化为，根据导数判断出函数单调性， 求出，再列不等式求实数的取值范围； （2）（i）根据，令，通过构造个不等式相加后即可判断与的大小； （2）（ii）根据得到，的关系式，再通过换元令将证明转化为证明，再利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 则， 由题知，， 故. 【小问2详解】 （i）， 由（1）知，，即（当且仅当时取等号）， 令，则， 则， 则，即； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $