精品解析：江西省萍乡市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

萍乡市2024-2025学年度第二学期期末考试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列的前项和为，若，则公差（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 已知函数，则（ ） A B. C. D. 5. 设函数，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 0 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 7. 已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若表示大于最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（ ） A. 2028 B. 2030 C. 4054 D. 4055 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，且，，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则函数的图象不经过第四象限 B. C. 已知，，则的最小值为 D 已知，则 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 有且仅有个零点 C. 点是的对称中心 D. 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 13. 若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为__________. 14. 若递增数列的各项均是正整数，且满足，则______，______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 16. 某市统计了一景点在2024年6月至10月的旅游收入（单位：万元），得到如下表格： 月份 6 7 8 9 10 旅游收入 20 22 21 22 30 （1）求与的相关系数（精确到0.001），并用相关系数说明该组数据中与之间是否可用线性回归模型进行拟合；（注：若，则认为与之间具有很强的线性相关关系） （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如图所示的列联表，请填写列联表，并判断能否有95%的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 合计 男 100 女 40 合计 135 附：相关系数，参考数据：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，，. （1）求的极值； （2）若恒成立，求的取值范围. 18. 已知等差数列中，，前8项和为80. （1）求的通项公式； （2）从中依次取出第，，，，，项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前项和. 19. 若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. （1）判断函数是否为上函数，并说明理由； （2）若函数是上的函数，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 萍乡市2024-2025学年度第二学期期末考试 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式的计算和交集的运算可得结果. 【详解】， 所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 当，对数没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 3. 已知等差数列的前项和为，若，则公差（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解. 【详解】等差数列的前项和为，， 所以，所以， 则公差. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解. 【详解】由求导，可得， 则. 故选：D. 5. 设函数，则（ ） A 8 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】直接求导，代入即可求解. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：C. 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，， 所以， 因为， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 故选：D 7. 已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据已知不等式，求出构造函数在定义域上的单调性，根据函数单调性，解出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，可知在上单调递增， 因为，所以， 当时，即，可得， 因为在上单调递增，所以. 故选：B. 8. 若表示大于的最小整数，如：，，数列满足，，，记，则数列的前2025项和为（ ） A. 2028 B. 2030 C. 4054 D. 4055 【答案】D 【解析】 【分析】首先对递推式进行变形，根据累加法求数列的通项公式，代入数列，再利用题目所给的的定义算出数列各项的值，从而得到数列的前2025项和. 【详解】，即， 设，则，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以，可得，，，，，累加可得： ，所以， 依题意，， 对的取值范围进行分析： ， ，可以得到： 当时，，即， 所以，，， 因此当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，数列的前2025项和. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为等比数列 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，且，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项：通过前项公式推导通项，验证是否满足等差数列的条件. B选项：通过前项公式推导通项，判断是否满足等比数列的条件. C选项：通过等差数列前项公式，结合等差数列项的对称性进行推导. D选项：通过等比数列前项的性质，比较乘积与平方的大小关系. 【详解】A选项：已知， 当时，. 当时，通项，与首项相矛盾， 所以不是等差数列，故A选项错误. B选项：若， 当时，. 当时，适合， 则公比，所以是等比数列，故B选项对. C选项：若为等差数列，则. 根据等差数列对称性可知： 所以成立，故选项C对. D选项：等比数列公比，， 当时，由， 当时，由， 即，原式不成立，故选项D错. 故选：BC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则函数的图象不经过第四象限 B. C. 已知，，则的最小值为 D. 已知，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数型函数的图像变换可判断A，利用中间值比较大小可判断B，利用基本不等式进行变形计算可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以函数是增函数，图象过定点， 将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 则该图象过第一、二、三象限，故A正确； 对于B，因为函数在上单调递增，所以， 而，所以，故B错误； 对于C，已知，，则， 当且仅当且即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D，已知，则， 则，即，解得， 当时取等号，故D错误. 故选：AC. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是其对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 有且仅有个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用导数计算可得函数单调性，即可得极小值；对B：根据极大值、极小值，结合零点存在性定理可得函数有3个零点；对C：求出方程的实数解，再计算出即可得；对D：根据对称性，可得，再结合倒序相加法计算即可得. 【详解】对A：， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 则的极小值为，故A正确； 对B：由，， ，， 故在、及上各有一零点， 即有且仅有个零点，故B错误； 对C：，则， 令，解得，， 故点是的对称中心，故C正确； 对D：由关于点对称， 则， 故 ， 则，故D正确. 故选：ACD. 第II卷 注意事项： 第II卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】； 【解析】 【分析】问题等价于命题“, ”是真命题，结合判别式的符号可得答案. 【详解】命题“,”是假命题， 则命题“, ”是真命题， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 14. 若递增数列的各项均是正整数，且满足，则______，______. 【答案】 ①. 2 ②. 39 【解析】 【分析】结合递推式按照和分类讨论求得；根据数列的单调性求出，，进而求出，，即可得解. 【详解】由已知得：.若，则有，矛盾； 若，则，与递增矛盾；故. 因为，则，，所以，. 又，即，所以，， 则，，又，即， 所以，，所以. 故答案为：2，39. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）根据函数单调递增得出，再参数分离构造新函数应用导函数得出最值即可求参. 【小问1详解】 当时，，则， 则，，即切线斜率为0， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即，， 令，， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且， 所以实数的取值范围为. 16. 某市统计了一景点在2024年6月至10月的旅游收入（单位：万元），得到如下表格： 月份 6 7 8 9 10 旅游收入 20 22 21 22 30 （1）求与的相关系数（精确到0.001），并用相关系数说明该组数据中与之间是否可用线性回归模型进行拟合；（注：若，则认为与之间具有很强的线性相关关系） （2）为调查游客对该景点评价情况，随机抽查了200名游客，得到如图所示的列联表，请填写列联表，并判断能否有95%的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 合计 男 100 女 40 合计 135 附：相关系数，参考数据：，. 010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），说明见解析 （2）列联表见解析，有95%的把握 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出，，再结合相关系数公式即可求解； （2）根据题意先补全二联表，然后利用独立性检验公式计算即可求解 【小问1详解】 （1），， ， ， 所以， 因为，所以与之间具有很强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合. 【小问2详解】 列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 75 25 100 女 60 40 100 合计 135 65 200 假设：游客是否喜欢该景点与性别无关， 代入计算得：， 所以假设不成立，即有95%的把握认为“游客是否喜欢该景点与性别有关”. 17. 已知函数，，. （1）求的极值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导得，再结合导数知识即可求解其极值； （2）由恒成立，即恒成立，令，，再利用导数知识求出其最小值，从而可求解. 【小问1详解】 由题， 令得， 且时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值为. 故极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，，所以，使得，即，且，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 因为恒成立，即，即. 所以的取值范围为. 18. 已知等差数列中，，前8项和为80. （1）求的通项公式； （2）从中依次取出第，，，，，项，按原顺序排成一个新数列，若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本性质计算即可得； （2）由题意可得，即可得通项公式，从而得到的通项公式，再利用分组求和与错位相减法及等差数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，则有， 解得，所以； 【小问2详解】 由题知，，则， 设，前项和为，则， ， ， ， 所以， 所以. 19. 若函数满足：在定义域内，对任意实数，，使成立，则称为上的“函数”. （1）判断函数是否为上的函数，并说明理由； （2）若函数是上的函数，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的函数，且，，当时，都有成立，求实数的最大值. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意可得在恒成立，即可求解； （2）由题意可得在上恒成立，即求，令，，再结合导数从而可求解； （3）由题意可得对上恒成立，即，解得，从而不妨设，则，即，令，再结合导数从而可求解. 【小问1详解】 因为， 因为时，，所以是上的函数. 【小问2详解】 由题知，在上恒成立， 则，令，， 则， 当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为对上恒成立， 所以， 当时，得， 又，当且仅当时取等号； 且当时，单调递减， 所以当时，有最大值，即， 当时，恒成立； 当时，， 又，当且仅当时取等号， 又时，单调递减， 所以当时，有最小值，即， 综上得， 不妨设，则，即， 令，则，使函数在上单调递增，. 则，即，即，对成立，即， 所以实数的最大值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$