精品解析：江西南昌市三校（一中、十中、行知）2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册、选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 因此当时，，， 得 2. 若为单元素集合，则m=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 3. 在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据等比数列的性质， 因为， 而又因为该等比数列各项均大于零，所以. 4. 若“，”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图象可知，在和上单调递减，在上单调递增， 则当时，，当时，， 因此表示与同号， 当时，只有时，，当时，只有时，， 则的解集为. 6. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，且. 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0或时，趋近于， 若函数有零点，等价于，即， 显然是的真子集， 所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件. 7. 已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象关系，求解出变量关系，进而将转化，通过基本不等式即可求解. 【详解】由题可知，因为轴，因此， 则，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 8. 如图，点，在曲线上，设点，其中.若均为正方形，且，则i的最大值为（ ） A. 32 B. 31 C. 64 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线方程与点坐标的联系，表示出点的坐标，进而表示出数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可得当时，， 由图可得点A在曲线上，所以，即. 因为直线的方程为，由，解得， 所以，，， 因此数列是以16为首项，16为公差的等差数列， 所以. 由，得，即，解得64， 故i的最大值为63. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确. 对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确. 对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确. 对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确. 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. 随着的增大，逐渐变小 D. 当取得最小值时，的值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，判断正负，比较大小，判断选项A；推导恒等式，倒序相加求​，判断选项B；代入相邻两项对比，判断数列单调性，判断选项C；解不等式，区分正负项，前项和在最后一个负项处取最小值，判断选项D． 【详解】因为，， 所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，， 当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，代入对应参数，根据指数函数本身单调性性质即可判断；对于B选项，对函数进行求导，结合函数单调性与函数导数性质，即可求解参数范围；对于C选项，将函数不等式问题，转化为函数单调性问题，即可求解参数值；对于D选项，结合函数单调性与函数值间的联系即可判断； 【详解】对于A选项，因为的定义域为， 由，得在上单调递增，A不正确. 对于B选项，， 由在上单调递增，得在上恒成立， 则在上恒成立. 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，从而，B正确. 对于C选项，可知函数在上单调递增， 若，则，则在上单调递增. 由，可得当时，，不符合题意. 若，则存在，使得， 此时在上单调递减，在上单调递增， 由，可得，则，解得，C正确. 对于D选项，由，可得， 则在上单调递减，在上单调递增. 取，则，即在上单调递减，在上单调递增， 则，D不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则_______. 【答案】 【解析】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. 13. 对于数列，若（C为常数），则称是的“C和数列”.已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由等差数列性质求出的通项公式，并得到，得到，由等差数列求和公式得到的前10项和 【详解】设的公差为d，则， 则， 则，所以， 则， 故. 14. 将体积为的沙子堆成两个圆锥形状的沙堆（忽略沙子缝隙对体积的影响），若这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，则这两个沙堆占地面积（这两个沙堆底面圆的面积之和）的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据母线与圆锥底面圆心和顶点连线间的关系，即可求解两圆锥底面半径联系，通过表示两圆锥体积和，利用导数即可求解最大值. 【详解】记两个沙堆底面圆的半径分别为，. 因为这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，所以这两个沙堆的高分别为，. 由.，得.这两个沙堆的占地面积为. 令，则. 因为，是减函数，且， 所以当时，，当，时，， ，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）通过数列的递推公式，利用累乘法即可求解通项公式； （2）化简数列通项，通过裂项相消法即可求解出数列前项和的计算公式，进而即可证明； 【小问1详解】 由题意可得. 当时，， 当时，满足， 所以. 【小问2详解】 略 16. 已知（且）是定义域内的奇函数. （1）求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，即可求解参数值； （2）利用函数单调性，将函数不等式问题转化为自变量大小关系问题，即可求解； 【小问1详解】 （方法一）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 则， 得. （方法二）易知的定义域为，关于原点对称. 因为是定义域内的奇函数，所以， 解得. 经检验，当时，是奇函数，故. 【小问2详解】 由（1）可知，. 由，，解得， 则是上的增函数. 由，得. 因为是上的增函数，所以，即. 令，易得是上的增函数，且， 所以由可得，则原不等式的解集为. 17. 已知函数 （1）求的所有极值点之和； （2）若，，，求的最小值； （3）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2）64. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点与函数的导数之间的联系，通过求导即可求解. （2）通过求解函数在整个区间上的最值，将参数的最小值问题转化为函数的最值问题，即可求解. （3）利用导数的几何意义，根据直线的点斜式方程，结合切线的意义联立方程即可求解. 【详解】（1）由题意得. 令，得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 的极大值点为，的极小值点为， 则的所有极值点之和为. （2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为，，，， 所以，，则， 所以c的最小值为64. （3）设切点坐标为，则， 所以切线方程为， 即. 因为切线过点，所以，即， 所以，解得， 故所求切线方程为. 18. 已知数列满足，，，正项数列的前项和为，且. （1）求，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（１）根据数列前项和与数列通项间的关系，联立与时的情况即可求解； （２）求解得到数列通项，利用错位相减法，求解得到数列的前项和公式，求解即可. 【小问1详解】 因为从第2项开始，是以为公比的等比数列，因此， 所以， 因为正项数列的前n项和为，且①， 所以当时，解得（舍去）， 因此当时，②. ①一②可得， 又因为各项为正，所以，即. 又因为当时，，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以 . 【小问2详解】 由题意得，，且. 当时，，则. 两式相减可得， 所以. 当时，也满足上式，所以. 由，得. 当为偶数时，，令， 在上单调递减， 所以，从而. 当为奇数时，，令，在（0，1]上单调递增， 所以，从而. 综上，的取值范围为. 19. 对任意的，函数恒无零点． （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）当时，对任意的，直线与曲线至多只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）令，转化为，利用，值域恒正，结合可取任意非零实数、方程无解的条件，确定； （2）代入写出解析式，求导，令导数为 0 找到临界点，分区间判断导数正负，得到单调区间； （3）把交点问题转化为方程至多一解，即必须单调；构造研究其最值，分讨论导数恒正、恒负的条件，解不等式得到范围． 【小问1详解】 令，得， 当时，， 当时，， 因为对任意非零实数恒无零点，所以． 【小问2详解】 由（1）知，则令，得 ， 令，得，令，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问3详解】 令，则关于的方程至多只有一解， 则函数为单调函数，， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以； 当时，，当时，，且当时，， 若，则， 当时，显然不恒成立，不符合题意； 当时，由，得，即， 解得， 若，则， 当时，显然不恒成立，不符合题意； 当时，，不满足题意， 综上，m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册、选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 若为单元素集合，则m=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 在正项等比数列中，，其中r，，，则公比q=（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若“，”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，点，在曲线上，设点，其中.若均为正方形，且，则i的最大值为（ ） A. 32 B. 31 C. 64 D. 63 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. 随着的增大，逐渐变小 D. 当取得最小值时，的值为7 11. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递增，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则_______. 13. 对于数列，若（C为常数），则称是的“C和数列”.已知为等差数列，，，且是的“C和数列”，则________，的前10项和为_______. 14. 将体积为的沙子堆成两个圆锥形状的沙堆（忽略沙子缝隙对体积的影响），若这两个沙堆的母线与底面的夹角均为，则这两个沙堆占地面积（这两个沙堆底面圆的面积之和）的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 16. 已知（且）是定义域内的奇函数. （1）求的值； （2）若，求不等式的解集. 17. 已知函数 （1）求的所有极值点之和； （2）若，，，求的最小值； （3）求曲线过点的切线方程. 18. 已知数列满足，，，正项数列的前项和为，且. （1）求，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 对任意的，函数恒无零点． （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）当时，对任意的，直线与曲线至多只有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $