山东烟台市蓬莱区2025-2026学年八年级下学期期末教学质量监测数学试卷

**基本信息** 蓬莱区八年级期末数学卷以“文化传承+生活应用+思维探究”为特色，通过赵爽弦图、黄金分割等文化素材，物理电路、栅栏设计等现实问题，及动态几何、规律探究等综合题型，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、反比例函数性质等|第6题以“遗忘规律”建模，体现数学语言表达现实世界| |填空题|6/18|赵爽弦图、位似变换等|第12题结合古代数学成就，培养数学眼光| |解答题|7/60|动态几何、函数综合、探究证明等|25题“问题提出-探究-应用-拓展”分层设计，发展推理能力；19题物理电路问题，强化应用意识|

蓬莱区八年级下学期期末教学质量监测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中，属于一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知均不为，则下列各式不成立的是(    ) A. B. C. D. 3.关于反比例函数，下列说法中错误的是(    ) A. 当时，y随x的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 4.若实数x满足，化简的结果是(    ) A. B. C. 1 D. 5.已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半.”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分.假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程(    ) A. B. C. D. 7.黄金分割是汉字结构最基本的审美规律.如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观.横竖笔画交点C恰好是线段AB的黄金分割点，若，则AC的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，AE平分，交CD于点E，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，若，则CF的长为(    ) A. B. C. D. 3 9.如图，在菱形ABCD中，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一点，且，AQ、DP相交于点O，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图1，在矩形ABCD中，，E是BC边上的一个动点，，EF交CD于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则AB的长为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.函数中，自变量x的取值范围是        . 12.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若图中，，则中间小正方形EFGH的边长        13.已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是：        . 14.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，的顶点A的坐标为以点P为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点P同侧；以点P为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点P同侧…，按照以上规律作图，点的坐标为          . 15.如图，菱形OABC的顶点A在x轴负半轴上，，反比例函数的图象过点C和菱形的对称中心M，则k的值为        . 16.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，点D在x轴上，若，则点D的坐标为        . 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.计算： ； 18.解方程： ； 四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题7分 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，当时， 写出I关于R的函数解析式； 完成如表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … 当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 20.本小题7分 已知关于x的一元二次方程有两个实数根. 求实数m的取值范围： 若、是该方程的两个根，且满足，求m的值. 21.本小题7分 【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： 第n个图案中“◎”的个数为______； 第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示为______. 【规律应用】 结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和…等于第n个图案中“◎”的个数的3倍. 22.本小题7分 为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域长方形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为27m，AB位置的墙最大可用长度为，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留、、2m宽的门不用栅栏建成后栅栏总长 若活动区域长方形的一边CD长为10m，则另一边______ 若活动区域长方形的面积为，求边CD的长. 23.本小题10分 如图，矩形ABCD中，点P，Q分别从点A，C出发，沿AB，CD以每秒1个单位长度的速度向点B，D运动，两点到达B，D两点时停止运动，已知，设运动时间为t秒. 当四边形DAPQ为矩形时，______秒；当四边形 DPBQ为菱形时，______秒； 当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时，直接写出此时t的值. 24.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于点， 求一次函数及反比例函数的表达式； 当时，请直接写出x的取值范围； 若P为直线AB上一动点，当时，求点P的坐标. 25.本小题12分 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. 【图特殊化】 如图1，在正方形ABCD中，，AF交DE于点G，则______填比值； 【探究证明】 如图2，在矩形ABCD中，，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交BC于点M，过点B作交CD于点 乙方案：过点E作交BC于点M，过点G作交CD于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明. 【结论应用】 如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合.若，，求折痕EF的长； 【拓展运用】 如图4，在四边形ABCD中，，，，点E、F分别在线段AB、BC上，且，求的值. 八年级数学答案解析 1.【答案】C  【解析】解：是不等式，不是方程． B.分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程． C.整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程． D.含有两个未知数，是二元一次方程． 故选： 根据一元二次方程的定义判断各项． 本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2.【答案】D  【解析】解：A、交叉相乘得，与已知一致，故A成立，不符合题意； B、交叉相乘得，与已知一致，故B成立，不符合题意； C、交叉相乘得，展开得，两边减bc得，与已知一致，故C成立，不符合题意； D、交叉相乘得，展开得， ， 化简得，故D不成立，符合题意． 故选： 本题考查比例的基本性质与合比性质，通过交叉相乘或比例性质验证选项是否与已知条件等价即可判断． 本题考查比例线段，等式的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3.【答案】D  【解析】解：反比例函数，  函数图象位于第一、三象限，选项B正确，不符合题意；  且在每个象限内，y随x的增大而减小，  对应第三象限，  当时，y随x的增大而减小，选项A正确，不符合题意；  将代入解析式，得，与点的纵坐标一致，  点在函数图象上，选项C正确，不符合题意；  当时，，  时，y随x的增大而减小，  当时，，  因此D是错误选项，符合题意；  故选： 先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 4.【答案】A  【解析】解：， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ，， 故选： 先根据二次根式的性质确定x的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 5.【答案】D  【解析】解：， ， ， 故选项D满足条件． 故选： 结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，进而满足结论即可 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：根据题意可得： 故选： 理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为x，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 7.【答案】C  【解析】解：，点C恰好是线段AB的黄金分割点， ， ， 故选： 由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：在矩形ABCD中，， ，，，， ， 平分， ， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得：， 为BE的中点， ， 故选： 由矩形的性质和AE平分，容易证得，则运用勾股定理求出BE，最后用直角三角形的性质求出 本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 9.【答案】D  【解析】解：如图，四边形ABCD为菱形，延长AQ，DC交于点H， ，，， 设， 点P是AB边的中点，， ，，， ， ∽， ， ， ， ， ∽， ， ， 设，则， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 故选： 延长AQ，DC交于点H，根据菱形的性质得出，，，设，证明∽，得出，求出，证明∽，得出，设，则，证明∽，得出，求出，，最后求出结果即可． 本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 10.【答案】A  【解析】解：，， ， ， ， ∽， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， 故选： 首先推导出∽，利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 11.【答案】且且  【解析】解：要使函数有意义，需同时满足： ， 解得且且 故答案为：且 且 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂的定义，分别列出关于x的不等式，求解后取公共部分，即可得到自变量x的取值范围． 本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握该知识点是关键． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得，，，， ， 故答案为： 由四个全等的直角三角形可知，已知，，先根据勾股定理求出，再求出EF的长度即可求解． 本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.【答案】没有实数根  【解析】解：， 且， ， ， ， 关于x的方程为， ， 没有实数根． 故答案为：没有实数根． 根据二次根式有意义的条件求出，，再根据根的判别式判断即可． 本题考查了根的判别式和二次根式有意义的条件，掌握当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设直线AP的解析式为：， 则， 解得：， 则直线AP的解析式为， ， 由题意得：，，， 设的坐标为， 则， 解得：，舍去， 当时，， 点的坐标为， 故答案为： 利用待定系数法求出直线AP的解析式，利用两点间的距离公式求出AP，根据位似变换的性质求出，再根据两点间的距离公式列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是位似变换，图形的变化规律，熟记两点间的距离公式是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，作轴，垂足为点D，设点C的坐标为，， 是菱形ABCO的对称中心， ， 反比例函数的图象过点C和菱形的对称中心M， ， 解得， 在中，由勾股定理可得， ， 故答案为： 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 16.【答案】或  【解析】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ， ， 当点D在点A左侧时， 由条件可知， 过点D作，交直线BC于点E，过点D作轴，过点B作于F，过点E作于G，则， 四边形OBFD为矩形， ，， ，， ， ，， 为等腰直角三角形，， ≌， ，， 设， ， 设直线BC的解析式为， 由条件可得， 解得， 直线BC的解析式为， 将代入可得， 解得， ； 当点D在点A的右侧时， 作点D关于直线AB的对称点H，连接AH，DH， ，， ， ， ， ， 设直线BH的解析式为， 由条件可得， 解得：， 直线BH的解析式为， 当时，， 解得， ， 综上所述，点D的坐标为或 17.【解析】解：原式； 原式 18.【解析】解：原方程移项得：， 分解因式得：， 解得：，； 原方程可变为：， ， ， 解得：， 利用因式分解法解方程即可； 利用公式法解方程即可． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 19.【解析】解：电流I是电阻R的反比例函数，设， 时， ， 解得， ； 列表如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4 3 2 … ，， ， ， 即用电器可变电阻应控制在不低于欧的范围内． 20.【解析】关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 实数m的取值范围为； 、是关于x的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， 的值为 21.【解析】解：由所给图形可知， 第1个图案中“◎”的个数为：， 第2个图案中“◎”的个数为：， 第3个图案中“◎”的个数为：， …， 所以第n个图案中“◎”的个数为 故答案为：3n； 由题知， 因为第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，， …， 所以第n个图案中“★”的个数可表示为 故答案为：； 由题知， ， 解得或舍去， 所以n的值为 22.【解析】解：由栅栏总长为45m可知： ； 故答案为：18； 设，则，根据题意可得： ， 解得：，， ， ， ， 当时，，符合题意． 答：边CD的长为 23.【解析】解：当运动时间为秒时，，， 当四边形DAPQ为矩形时，， 即， 解得：； 当四边形DPBQ为菱形时，， 即， 整理得：， 解得： 故答案为：9，5； 过点P作于点E，如图所示， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 答：t的值为或 24.【解析】解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，将点A，点B的坐标分别代入反比例函数得： ， 解得：， 反比例函数的表达式为 把点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； 的取值范围为或；理由如下： 时，表明一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， 由图象得：当或时，； ①当P在线段AB上时，如图1，过B点作轴，过P点作于M点，过A点作于N点． 则， 设， ， ∽， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点P在AB延长线时，如图2，过B点作轴，过A点作于E点，过P点作于F点． 则， 设， ， ∽， ， ， ， ， 解得：经检验，是分式方程的解，且符合题意， 点的坐标为， 综上所述，P点的坐标为或； 25.【解析】解：四边形ABCD是正方形，，， 又， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故答案为：1； 证明：甲方案：如图2，过点A作交BC于点M，过点B作交CD于点N； 四边形ABCD是矩形， ，，，， 四边形AEFM、HGBN均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ∽， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交BC于点M，过点G作交CD于点N，EM交GH于点O， 四边形ABCD是矩形， ，，， 四边形AEMB、GBCN均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ∽， ， ； 解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由可知，， ， ， 即折痕EF的长为； 解：如图4，过点D作，交BC的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ≌， ， ， ， ， 又， ∽， ， ，， ， ， 不合题意舍去或， ， 由知，， 又， ∽， ， ，， ， 即的值为 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $