25.2.1 第1课时 直接开平方法（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 初中数学 25.2.1 配方法（第1课时 直接开平方法）同步练，以三层递进设计实现从概念理解到创新应用的知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|直接开平方法概念及变形应用|选择、填空结合解方程，强化完全平方式、非负性等基础考点| |能力提升|方程转化、根的应用及实际问题|综合解答题融入等腰三角形周长等情境，发展模型意识| |思维拓展|新解法探究（平均数法）|通过方法迁移题培养创新意识，衔接数学思维进阶|

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 01 基础达标 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 利用平方根的意义解下列方程，其中无解的方程是（ ） A. B. C. D. 3. （1）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是________． （2）已知是方程的一个根，则方程的另一根是________． 4. 用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 知识点二 变形后用开平方法解一元二次方程 5. 如果多项式的值为，则的值为（ ） A. 2 B. 2或-2 C. -1 D. 2或-1 6. 若一元二次方程式的两根为，其中、为两数，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 解方程 （1）． （2）． 易错点 忽视的非负性 8. 已知，则的值是________． 02 能力提升 9. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的方程的两根为和，则方程的两根是（ ） A. B. C. D. 11. 已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为（ ） A. 10 B. 10或8 C. 9 D. 8 12. 实数，用符号表示，两数中较小的数，如，若，则 _________． 13. 解下列方程： （1）． （2）． （3）． 14. 已知一元二次方程的一个根是，求的值和另一个根． 03 思维拓展 15. 小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程 解：原方程可变形为 ， 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程变形为 ， 直接开平方整理得：； 上述过程中的______；______；______；______． （2）请用“平均数法”解方程： 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 01 基础达标 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的定义，可知首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故，得． 【详解】解:∵是完全平方公式， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是注意积的2倍的符号，避免漏解． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查的是直接开平方法解一元二次方程，根据平方根的定义对各选项进行分析即可． 【详解】解：A、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意； B、由原方程得到，所以该方程无解，符合题意； C、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意； D、由原方程得到，所以该方程有解，不符合题意． 故选：B． 【3题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义即可求出的取值范围； （2）将代入方程求出，然后利用直接开平方即可求出方程的另一根． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ； （2）∵是方程的一个根， ， 解得：， 则， 解得：，， 则方程的另一根是． 【4题答案】 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）系数化为，用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）移项，系数化为，直接用开平方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：，． 知识点二 变形后用开平方法解一元二次方程 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出关于x的方程（2x-1）2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：依题意，得 （2x-1）2=9， 开平方，得 2x-1=±3， 则2x=1±3， 解得，x=2或x=-1． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用直接开平方法解一元二次方程，得出其两根为，再根据题意：一元二次方程式的两根为，得出，解出后再把，的值代入代数式，计算即可得出答案． 【详解】解： 两边同时除以，可得：， 两边直接开平方，可得：， 移项，可得：， 即， ∵一元二次方程式的两根为， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，解本题的关键在正确求出和的值． 【7题答案】 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）移项，用直接开平方法解方程即可； （2）系数化为，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：，． 易错点 忽视的非负性 【8题答案】 【答案】9 【解析】 【分析】令，通过直接开平方法求出的值，验证后即可求出的值． 【详解】解：令， 则， 即， ， 解得：， ， ，即的值是． 02 能力提升 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】将两边开平方，得，则另一个一元一次方程是． 故选：D． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】对于方程，其两根互为相反数，根据相反数的性质得两根之和为，据此求出的值，再代入得到两根即可． 【详解】解：∵方程的两根互为相反数， ∴两根之和为，即． 整理得， 解得． 将代入两根表达式， 得，． ∴方程的两根为． 【11题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直接开平方法求解方程，再分两种情况解答即可． 【详解】解：解方程，得． 当腰长为4，底边长为2时，其周长为； 当腰长为2，底边长为4时，因为，所以此时不能构成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义和三角形的三边关系等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义知，，故代入求解即可． 【详解】解：由于，故， 由已知，∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法． 【13题答案】 【答案】（1），． （2），． （3），． 【解析】 【分析】（1）先移项，然后系数化为，最后利用直接开平方法解方程即可； （2）方程左边先因式分解，然后再利用平方差公式进行因式分解解方程即可； （3）先化简，然后再利用平方差公式进行因式分解解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 【小问3详解】 解：， 化简，得：， ， 解得：，． 【14题答案】 【答案】；另一个根为． 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 把代入原方程求，再回代方程求另一个根． 【详解】解：把代入方程中得， 解得； 把的值代入方程中得:， 解得 或， 即 另一个根为． 03 思维拓展 【15题答案】 【答案】（1）5，2，， （2）； 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； 【小问1详解】 解： 原方程可变形为 ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； ∴，，，． ∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5，2，，． 【小问2详解】 原方程可变形为， ∴ ∴ ∴直接开平方整理得：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $